八年级数学上册试题 3.2 平面直角坐标系--面积问题专项练习-北师大版（含答案）

3.2 平面直角坐标系--面积问题专项练习
1．如图，已知A（﹣1，5），B（﹣1，1），C（﹣4，3）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A′B′C′；
（2）求△ABC的面积．
2．已知平面直角坐标系中，四边形ABCD四个顶点坐标分别为：A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），C（a+8，2a+8），D（1，2），且轴．
（1）点C的坐标为 　 　；
（2）在所给的平面直角坐标系中画出四边形ABCD．
（3）若网格中每个小正方形的边长均为1，则四边形ABCD的周长为 　 　；面积为 　 　．
3．如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）的面积______；
（2）在坐标系中作出关于轴对称的，并写出点、、的坐标．
4．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，﹣2），B（1，2），C（5，1）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 　 　；
（3）△ABC的面积为 　 　；
（4）已知点P为y轴上一点，若S△ACP＝5时，则点P的坐标为 　 　．
5．已知点P（2a＋3，a－1）．试分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点P的纵坐标比横坐标大3；
（2）点P在过A（2，－3）点，且与x轴平行的直线上．
6．中，A、B、C三点坐标分别为、、．
（1）求的面积；
（2）若B、C点坐标不变，A点坐标变为，则的面积为______．
7．画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．求：
（1）△A1B1C1三个顶点的坐标．
（2）△A1B1C1的面积．
8．如图，ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）若A1B1C1与ABC关于y轴成轴对称，则A1B1C1三个顶点坐标分别为：A1 ，B1 ，C1 ；
（2）计算ABC的面积．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（2，0），顶点B（0，3），顶点C（﹣1，2）．
（1）求△AOC的面积：
（2）求△ABC的面积；
（3）若点D在坐标轴上，且S△OCD＝1，直接写出满足条件的D点坐标．
10．已知A(0，0)，B(9，O)，C(7，5)，D(2，7)，求四边形ABCD的面积．
11．在如图的平面直角坐标系中：
（1）写出各点坐标：A　 　；C　 　
（2）△ABC的面积为 　 　
（3）设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，点P的坐标为 　 　
12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）在网格中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）直接写出A1、B1、C1的坐标；
（3）若网格的单位长度为1，求△A1B1C1的面积．
13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（a，b）在第一象限，点B（﹣b﹣1，0），且实数a、b满足＋（b﹣4）2＝0
（1）求点A，B的坐标；
（2）若点P以2个单位长度/秒的速度从O点出发，沿x轴的负半轴运动，设点P运动时间为t秒，三角形ABP的面积为S，求S与t的关系式；
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，S△ABP：S△AOP＝2：3
14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在网格的格点处．
（1）请写出A，B，C的坐标；
（2）请求出△ABC的面积；
（3）若点P在x轴上，且△PAB的面积与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知是等边三角形，边上有一点，且、两点之间的距离为6．
（1）求的坐标（用含有的式子表示）；
（2）如图，若点在线段上运动，点在轴的正半轴上运动．当的值最小时，．请求出此时的值．
（3）在（2）条件下，连接，请求出的值．
16．已知、、，当在y轴上，且的面积等于的面积时，求代数式的值．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0），B（c，c），C（0，c），且满足（a+8）2+＝0，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
（1）直接写出点B的坐标，AO和BC位置关系是　　；
（2）如图（1）当P、Q分别在线段AO，OC上时，连接PB，QB，使S△PAB＝2S△QBC，求出点P的坐标；
（3）在P、Q的运动过程中，当∠CBQ＝30°时，请直接写出∠OPQ和∠PQB的数量关系．
18．已知：，，．
（1）在坐标系中描出各点，画出．
（2）求的面积；
（3）设点在轴上，且，求点的坐标．
19．如图，四边形OABC为长方形，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．已知点A的坐标为（0，5），点C的坐标为（9，0）．
（1）直接写出点B的坐标为　 　；
（2）有一动点D从原点O出发，以1个单位长度/秒的速度沿线段OA向终点A运动，当直线CD将长方形的周长分为3：4两部分时，求D点的运动时间t值；
（3）在（2）的条件下，点E为坐标轴上一点，若三角形CDE的面积为18，直接写出点E的坐标．
20．如图1，若B（x1，y1）、C（x2，y2）均为第一象限的点，O、B、C三点不在同一条直线上．
（1）求△OBC的面积（用含x1、x2、y1、y2的代数式表示）；
（2）如图2，若三个点的坐标分别为A（2，5），B（7，7），C（9，1），求四边形OABC的面积．
21．在平面直角坐标系中，画出点，点，点与点关于轴对称．
（1）连结、、，并画出的边上的中线．
（2）求出的面积．
答案
1．
解：（1）如图所示， 即为所求；
（2）如图所示：．
2．
解：（1）∵轴，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
（2）如图：
（3）由图可知： , , ,
∴四边形ABCD的周长为 ，
如图：
四边形ABCD的面积等于：
．
3．
解：（1）,
故答案为：7.5；
（2）如图，即为所求，并写出
4．
解：（1）在图中分别标记出三点，连接、、即可，如下图：
（2）点D与点C关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数
∵
∴
（3）由图形可知：△ABC的面积为长方形面积减去三个直角三角形的面积，
（4）设，则
，即，解得或
即或
5．
解：（1）∵点P（2a＋3，a－1），且点P的纵坐标比横坐标大3，
∴a-1=2a+3+3，
解得a=-7，
∴点P（-11，-8）；
（2）∵点P在过A（2，－3）点，且与x轴平行的直线上，
∴a-1=-3，
解得a=-2，
∴点P（-1，-3）．
6．
解：（1）分别过点作的垂线交于两点，并反向延长，交于点，如下图：
则：、、、、、
由图形可得：
所以，
（2）分别过点作的垂线，分别相交于点，如下图：
则：、、、、
由图形可得：
所以，
7．
解：（1）如图所示：△A1B1C1三个顶点的坐标：A1（﹣3，4），B1（﹣1，2），C1（﹣5，1）；
（2）3×4﹣×2×3﹣×2×2﹣×1×4＝5．
8．
解：（1）∵A1B1C1与ABC关于y轴成轴对称，且A（1，1），B（4，2），C（3，4），
∴A1B1C1三个顶点坐标分别为：A1（﹣1，1），B1（﹣4，2），C1（﹣3，4）；
故答案为：(﹣1，1)；(﹣4，2)；(﹣3，4)；
（2）ABC的面积为3×3﹣﹣﹣
＝9﹣1.5﹣1﹣3
＝3.5．
9．
解：（1），
（2）过点C作CD垂直x轴，如下图：
，
．
（3）D点在y轴上时，，解得
yD＝2或yD＝﹣2，
此时D点（0，2），（0，﹣2），
D点在x轴上时，，解得
∴xD＝1或xD＝﹣1，
此时D点（﹣1，0），（1，0）．
10．
解：过点C作CF⊥x轴于点F，过D作DE⊥x轴于点E
则AE=2，DE=7，BF=2，CF=5，EF=5
∴
．
11．解：（1）由图可得： , ；
（2）过点C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，如图所示：
则四边形DCEO为矩形，
∴
．
（3）设点P的坐标为（x，0），
则BP＝|x 2|．
∵△ABP与△ABC的面积相等，
∴×1×|x 2|＝4，
解得：x＝10或x＝ 6，
∴点P的坐标为（10，0）或（ 6，0），
12．
解：（1）按要求作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1如下：
（2）因为关于轴对称，横坐标不变纵坐标变为原来的相反数，即；
（3）如图：
，
，
．
13．
解：（1）∵a，b满足+（b﹣4）2＝0，，（b﹣4）2≥0．
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝4，
∴A（3，4），B（﹣5，0）；
（2）过点A作AH⊥x轴于点H，AH＝4，
分两种情况：
①点P在线段OB上（0≤t＜），
如图1，BP＝5﹣2t，
S＝＝＝10﹣4t．
②点P在线段OB的延长线上（t>），
如图2，BP＝2t﹣5，
S＝＝＝4t﹣10．
（3）由题意可得，
分两种情况：
①点P在线段OB上（0≤t＜），
∵S△ABP：S△AOP＝2：3，
∴（10﹣4t）：4t＝2：3，
解得t＝．
②点P在线段OB的延长线上（t>），
∵S△ABP：S△AOP＝2：3，
∴（2t﹣5）：2t＝2：3，
解得t＝．
综合以上可得，t＝或时，S△ABP：S△AOP＝2：3．
14．
解：解（1）由图可知，A（-3，-2），B（2，0）,C（-1，2）；
（2）S△ABC=S矩形ADEF-S△ADC-S△CEB-S△ABF，
=，
=，
=8；
（3）设，由点P在x轴上，点B也在x轴上，以PB为底，
∵点A到轴的距离为2，
∴△PAB的高为2，
∵S△PAB=S△ABC，
∴，
∴，
∵BP=|2-|，
∴|2-|=8，
解得或，
点P的坐标为（10，0）或（-6，0）．
15．解：（1）∵边上有一点，且、两点之间的距离为6，
所以B点的横坐标为m-6，
∴点；
（2）如图，作点关于轴对称点，过点作，
由垂线段最短可得此时，的值最小，
∵，，，
∴，∴，
∴，∴，
（3）连接BP，
∵
∴
∴，
∴
，
∴．
16．解：∵在y轴上，
∴，
∴，
∵的面积等于的面积，
∴O、B到直线AC的距离相等，
∵A点的纵坐标为n+2=5，C点的纵坐标为n-1=2，
∴ AC与x轴不平行，
∴AC∥BO，
∴，
∴，
∴．
17．
解：（1）∵，
∴a+8＝0，c+4＝0，
∴a＝﹣8，c＝﹣4，
∴A（﹣8，0），B（﹣4，﹣4），C（0，﹣4），
∴BC//AO，
故答案为：平行；
（2）过B点作BE⊥AO于E，设时间经过t秒，S△PAB＝4S△QBC，则AP＝2t，OQ＝t，BE＝4，BC＝4，CQ＝4﹣t，
∴S△APB＝AP BE＝×2t×4＝4t，S△BCQ＝CQ BC＝（4 t）×4＝8 2t，
∵S△APB＝4S△BCQ，
∴4t＝4（8﹣2t）
解得，t＝ ，
∴AP＝2t＝ ，
∴OP＝OA﹣AP＝ ，
∴点P的坐标为（，0）；
（3）∠PQB＝∠OPQ＋30°或∠BQP＋∠OPQ＝150°．理由如下：
当点Q在点C的上方时，过Q点作QH∥AO，如图2所示，
∴∠OPQ＝∠PQH，
∵BC∥AO，QH∥AO，
∴QH∥BC，
∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，
∴∠OPQ＋∠CBQ＝∠PQH＋∠BQH，
∴∠PQB＝∠OPQ＋∠CBQ，即∠PQB＝∠OPQ＋30°；
②当点Q在点C的下方时；过Q点作HJ∥AO 如图3所示，
∴∠OPQ＝∠PQJ，
∵BC∥AO，QH∥AO，
∴QH∥BC，
∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，
∴∠HQB＋∠BQP＋∠PQJ＝180°，
∴30°＋∠BQP＋∠OPQ＝180°，
即∠BQP＋∠OPQ＝150°，
综上所述，∠PQB＝∠OPQ＋30°或∠BQP＋∠OPQ＝150°．
18．解：（1）如图所示：
（2）如（1）图，过点向、轴作垂线，垂足为、．
四边形的面积，
的面积，
的面积，
的面积．
的面积四边形的面积的面积的面积的面积；
（3）当点在轴上时，
，，
设点的坐标为，
解得：，．
点的坐标为或．
19．
解：（1）∵四边形OABC为长方形，
而点A的坐标为（0，5），点C的坐标为（9，0），
∴B点坐标为（9，5）；
故答案为（9，5）；
（2）由题意得：OD＝t，AD＝5﹣t，OC＝9，BC＝5，AB＝9，
∵直线CD将长方形OABC的周长分为3：4两部分，
∴（OD+OC）：（AD+AB+BC）＝3：4，
即（t+9）：（5﹣t+9+5）＝3：4，
∴t＝3，
∴D点的运动时间为3 秒；
（3）由（2）得：D点坐标为（0，3），C点坐标为（9，0），
当E在x轴上时，设E点坐标为（a，0），
∵三角形CDE的面积是18，
∴×3×|9﹣a|＝18，解得a＝-3或a＝21，
∴E点坐标为（-3，0）或（21，0）．
当E在y轴上时，设E点坐标为（0，a），
∵三角形CDE的面积是18，
∴×9×|3﹣a|＝18，解得a＝﹣1或a＝7，
∴E点坐标为（0，-1）或（0，7）．
∴点E的坐标为（﹣3，0）或（21，0）或（0，7）或（0，﹣1）．
20．
解：（1）过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E．
S△OBC=S梯形BCED+S△OBD-S△OCE
=（y1+y2）（x2-x1）+x1y1-x2y2
=（x2y1-x1y2）．
∴△BOC的面积为（x2y1-x1y2）．
（2）连接OB．
则有S四边形OABC=S△OAB+S△OBC
=(7×5-2×7)+(9×7-7×1)
=38.5．
∴四边形OABC的面积为38.5．
21．
解：∵点与点关于轴对称且，
∴
如下图所示，依次在图中画出点A、点B与点并连接即可，
又∵ 是边上的中线，
∴
如图所示，连接AE即可；
（2）