江西省赣州市大余县2022-2023学年高二下学期期末学情调研数学试题（Word版含答案）

大余县2022-2023学年高二下学期期末学情调研数学
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知空间向量，.若，则实数的值为（ ）
A．2 B．1 C．1 D．2
2．如果直线与直线平行，那么实数k的值为　　
A． B． C． D．3
3．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取3个球，所取的3个球颜色不同的概率为（ ）.
A． B． C． D．
4．设随机变量，若，则（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
5．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条的处钻一个小孔，可以容纳笔尖，各在一条槽内移动，可以放松移动以保证与的长度不变，当各在一条槽内移动时，处笔尖就画出一个椭圆.已知，且在右顶点时，恰好在点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．有限数列中，为的前项和，若把称为数列的“优化和”，现有一个共2019项的数列：，若其“优化和”为2020，则有2020项的数列：的优化和为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
8．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知直线，直线，则下列命题正确的有（ ）
A．直线恒过点 B．直线的斜率一定存在
C．若，则或 D．存在实数使得
10．设，都是单调函数，其导函数分别为，，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，，则单调递增；
B．若，，则单调递增；
C．，，则单调递减；
D．若，，则单调递减；
11．设正项等比数列的前项和为，前项积为，公比为，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若为递增数列，则
C．
D．若为递减数列，当且仅当时，取得最大值
12．如图，已知，是相互垂直的两条异面直线，直线与，均相互垂直，且，动点，分别位于直线，上，若直线与所成的角，线段的中点为，下列说法正确的是（ ）
A．的长度为定值4 B．的长度不是定值
C．三棱锥的体积为定值 D．点的轨迹是圆
三、填空题（共20分）
13．设是首项为1的等比数列，若，，，成等差数列，则通项公式__________.
14．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9； ②他恰好击中目标3次的概率是；
③他至少击中目标1次的概率是； ④他恰好有连续2次击中目标的概率为.
其中正确结论的序号是______
15．已知，，若，则________．
16．若函数（为自然对数的底数）在的区间内有两个极值点，则实数的取值范围为___________.
四、解答题（共70分）
17．（10分）已知是等差数列,,.
（1）求的通项公式；
（2）求的前n项和的最大值.
18．（12分）已知圆C与圆M：相外切，且圆心C与点关于直线l：对称．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求经过点圆C的切线的方程．
19．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
20．（12分）2019年4月，广东省发布了高考综合改革实施方案，试行“高考新模式”为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：
性别 科目 合计
物理 历史
男生 300 400
女生 150
合计 800
（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；
（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得，记3人中男生人数为，求的分布列和数学期望.
附：
0.050 0.010 0.001
3.8410 6.635 10.828
21．（12分）某公司生产一种产品，第一年投入资金1000万元，出售产品后收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元．同时，当预计投入资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品的收入与上一年相同．
(1)设第年的投入资金和收入金额分别为万元，万元，请求出、的通项公式；
(2)预计从第几年起该公司开始并持续盈利？请说明理由（盈利是指总收入大于总投入）．
22．（12分）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴的正半轴上，过焦点作斜率为的直线交抛物线于两点，且，其中为坐标原点.
（1）求抛物线的方程；
（2）设点，直线分别交准线于点，问：在轴的正半轴上是否存在定点，使，若存在，求出定点的坐标，若不存在，试说明理由.
五、附加题（20分）【注：本题未作答则不计分，若作答则将按比例计入总分】
23．已知函数，.
(1)设，求函数的极大值点；
(2)若对，不等式恒成立，求m的取值范围.
1．A
因为，，
所以，
又，
所以，得，
故选：A.
2．D
直线与直线平行，
，经过验证满足两条直线平行．
故选D．
3．C
3个球颜色不同，即分为：两白一红，两红一白，两种情况，列式为，总的事件个数为，概率为.
故选：C.
4．D
随机变量服从正态分布，且正态曲线的对称轴是：，由，可得，则.
故选：
5．C
曲线在处的切线方程为，
即.
故选：.
6．D
解：由题意知与的长度不变，已知，
设，则，
当滑动到位置处时，点在上顶点或下顶点，则短半轴长，
当在右顶点时，恰好在点，则长半轴长，
故离心率为.
故选：D.
7．B
由，得，
其中，，，，
∴所求的优化和为：
.
故选：B．
8．A
因为，
所以．
令，则，所以函数在上单调递增，
所以当时，，即有成立，
所以，得，所以.
因为，所以令，
则，所以函数在上单调递增，
所以当时，，即有成立，
所以，即，所以，即．
综上:．
故选：A
9．AD
解：将点代入直线中可得等号成立，
所以直线恒过点，故A正确；
当时，直线的斜率不存在，故B错误；
当时，，解得或，
当时直线即与直线重合，故，所以，故C错误；
当时，，，此时，故D正确．
故选：AD．
10．BC
，函数为增函数，时，函数为减函数，同理时，函数为增函数，时，函数为减函数，
不妨取，，则满足，，
，显然是减函数，排除A选项；
取，，满足，，
则，故是增函数，排除选项D；
当，时，函数为增函数，为减函数，则为增函数，
所以为增函数，故B正确；
当，时，为减函数，为增函数，为减函数，
所以为减函数，故C正确.
故选：BC
11．BC
因为数列为等比数列，所以，又因为，
所以或，
当时，则，解得或（舍去），
则，
当时，则，解得或（舍去），
则，
综上，故选项A错误，C正确；
若为递增数列，则，，，
即，，故，故选项B正确；
若为递减数列，则，，，，，，
故当且仅当或时，取得最大值，故选项D错误；
故选：BC.
12．AD
过点Q作QH∥AB且，连接PH，AH，如图1，则且四边形ABQH为平行四边形，所以AH∥BQ，因为与，均相互垂直，所以QH⊥AH，QH⊥a，，所以QH⊥平面APH，因为平面APH，所以QH⊥PH，所以，A正确，B错误；
如图2，因为与相互垂直，，是相互垂直，，所以⊥平面ABP，因为平面ABP，所以，设，，则由勾股定理得：，，因为，所以，即，三棱锥的体积不是定值，C错误；
在图2的基础上连接AM，因为与相互垂直，，是相互垂直，，所以⊥平面ABQ，因为平面ABQ，所以⊥，又M为PQ中点，PQ长度不变为4，所以AM=2，故M点的轨迹为以A为圆心，以2为半径的圆，D正确.
故选：AD
13．
设等比数列的公比为，
由于成等差数列，
所以，
即，解得，
所以
故答案为：
14．①③
∵射击一次击中目标的概率是0.9，
∴由独立事件的性质可知，第3次击中目标的概率是0.9，故①正确；
∵连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，故射击次数服从二项分布，
故恰好击中目标3次的概率是，故②错误；
∵一次都未击中目标的概率为，
∴至少击中目标1次的概率是，故③正确；
恰好有连续2次击中目标的概率为，故④错误.
故答案为：①③.
15．
由的系数相等可得①，
再根据的系数相等可得②．
由①②求得，
故选：D
16．
在的区间内有两个极值点，
则在的区间内有两个解，即在的区间内有两个解，
令，则，
易得，当，，函数单调递减，当，，函数单调递增，
又时，，且，
故，
故答案为：
17．（1）（2）56
解：由题意得
（1）
（2）由知数列是递减数列
所以令,解得且
的最大值为:
18．(1)
(2)或
（1）因为，故点在直线上，
故点关于直线的对称点是其本身，
故圆心坐标为，
因为圆C与圆M：相外切，设圆C的半径为，
所以，解得：，
故圆C的标准方程为；
（2）当切线斜率不存在时，即，
此时圆心到的距离为3，等于半径，故满足相切关系，
当切线斜率存在时，设为，
则圆心到直线的距离，
解得：，
故切线方程为，即，
所以切线方程为或.
19．(1)证明见解析
(2)
（1）取的中点，连接，，如图所示．
∵，分别为，的中点，
∴且，
又，，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面．
（2）∵，，
∴四边形是直角梯形，
∴在中，边上的高，
∴，
∵平面，，是的中点，
∴点到平面的距离为，
∴，
∴，
∴．
20．（1）列联表见解析，有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关.（2）分布列见解析，数学期望为.
（1）
性别 科目 物理 历史 合计
男生 300 100 400
女生 250 150 400
合计 550 250 800
因为，
所以有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关.
（2）按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人.
随机变量X的所有可能取值为0，1，2.
所以，，.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以.
所以数学期望为.
21．(1)，
(2)该公司从第8年开始盈利，理由见解析.
（1）由题知：，
当，，解得，
所以.
.
（2）当时，
总利润.
因为，
为增函数，
且，，
所以当时，，当时，，
因为，
，
所以时，，即前6年未盈利.
当时，，
令，解得，所以该公司从第8年开始盈利.
22．(1) (2) 在轴的正半轴上存在定点，使，且定点的坐标为
（1）由题意知，
设抛物线的标准方程为，直线的方程为（，且），
联立，消去，得.
设，
则.
所以，
解得.
所以抛物线的标准方程为.
（2）假设在轴上存在定点，使，
设，
由（1），知.
又，设直线的斜率分别为，
则，，
则直线的方程为，
令，得，
同理，得.
故
.
由，得，
即，
故，
解得或(负值舍去），
即在轴的正半轴上存在定点，使，且定点的坐标为.
23．(1)；
(2).
（1）函数，求导得，由，得，
当时，，即，函数单调递增；
当时，，即，函数单调递减，
因此函数在处有极大值，
所以函数的极大值点为.
（2）依题意，，，不等式，
当时，成立，则，
当时，，，
令，，求导得，
令，，求导得，
因此在上单调递增，即有，而，
又函数在上的值域是，则函数，即在上的值域是,
当时，，当且仅当时取等号，于是函数在上单调递增，
对，，因此，
当时，存在，使得，当时，，函数在上单调递减，
当时，，不符合题意，
所以m的取值范围为.