陕西省西安市鄠邑区2022-2023学年高二下学期期末理科数学试题（含答案）

2022—2023学年度第二学期期末质量检测
高二数学（理科）试题
考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22题，满分150分，考试时间120分钟，请将答案填写在答题纸相应的位置。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．若，z满足，且z为纯虚数，则（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
2．下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（ ）
A． B． C． D．
4．有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法正确的是（ ）
A．相关系数r变小 B．解释变量x与预报变量y的相关性变弱
C．变量x，y负相关 D．残差平方和变小
5．展开式中项的系数为160，则（ ）
A．2 B．4 C．－2 D．
6．用反证法证明命题：“平面四边形四个内角中至少有一个不大于90°”时，应假设（ ）
A．四个内角都大于90° B．四个内角都不大于90°
C．四个内角至多有一个大于90° D．四个内角至多有两个大于90°
7．随机变量的分布列如下图，若，则（ ）
－3 0 3
P a b
A．6 B．2 C．0 D．
8．7支不同的笔全部放入两个相同的笔筒中，每个笔筒至少放2支，则不同的方法有（ ）种．
A．56种 B．84种 C．112种 D．28种
9．数轴上一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率为，向左移动的概率为，共移动6次，则质点位于2位置的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．下图是函数的导函数的图象，则下列命题错误的是（ ）
A．函数在上的图象越来越陡 B．1不是函数的极值点
C．在处切线的斜率小于零 D．在区间上单调递增
11．某校从4名女生和2名男生中选3人参加学校的汇演活动，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．若函数存在极值，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）
13．用数学归纳法证明能被6整除的过程中，当时，为了应用假设，式子需变形为 ．
14．已知随机变量服从正态分布，若，则 ．
15．由下列事实：
……
可得到第n个等式合理的猜想是 ．
16．一组成对数据，，，…，的样本中心点为（，），由这组数据拟合的线性回归方程为，用最小二乘法求回归方程是为了使 最小．
①总偏差平方和
②残差平方和
③回归平方和
三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分10分）
冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，已成为最火爆的商品，出现了“一墩难求”的现象．某调查机构随机抽取100人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查，结果如下表：
年龄/岁
抽取人数 10 20 25 15 18 7 5
有意向购买的人数 10 18 22 9 10 4 2
（1）若从年龄在的被调查人群中随机选出两人进行调查，求这两人恰有一人打算购买冰墩墩的概率；
（2）若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关？
年龄低于40岁的人数 年龄不低于40岁的人数 合计
有意向购买冰墩墩的人数
无意向购买冰墩墩的人数
合计
附：，其中
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若函数在点处的切线倾斜角为，求a的值；
（2）若在上单调递增，求a的最大值．
19．（本小题满分12分）
某医学协会欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少的关系，该协会分别到气象局与某医院抄录了1到6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到数据资料见下表：
月份 1 2 3 4 5 6
昼夜温差（℃） 10 11 13 12 8 6
就诊人数（个） 22 25 29 26 16 12
该协会的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻的两个月的概率；
（2）已知选取的是1月和6月的两组数据．
①请根据2月到5月份的数据，求就诊人数y关于昼夜温差x的线性回归方程（a，b若不是整数用分数表示）；
②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2人，则认为得到的线性回归方程式是理想的，试问该协会所得线性回归方程是否理想？
附：，
，
20．（本小题满分12分）
在下列两个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．
条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；
条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去所有项的系数之和等于64；
问题：已知二项式，若 ，求：
（1）求n；
（2）展开式中的常数项．
21．（本小题满分12分）
某运动员射击一次所得环数x的分布列如下：
X 8 9 10
P 0.4 0.4 0.2
现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为．
（1）求该运动员两次命中的环数相同的概率；
（2）求的分布列和数学期望．
22．（本小题满分12分）
已知函数
（1）当时，求证：；
（2）证明：在上单调递减；
（3）求证：当时，方程有且仅有2个实数根．
2022—2023学年度第二学期期末质量检测
高二数学（理科）试题参考答案
一、单选题（共12小题，每小题5分，共40分．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D D A D C A A A C C B A
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．）
13．
14．0．1
15．
16．②
三、解答题（共6小题，第17题满分10分，其余满分均为12分．）
17．（本小题满分10分）
解：
（1）因为年龄在之间抽取的人数为5人，有意向购买的人数为2人
从5人中抽取2人基本事件共有个
其中恰有一人打算购买冰墩墩的基本事件共有个
则所求概率
（2）年龄低于年龄不低于
合计
年龄低于40岁的人数 年龄不低于40岁的人数 合计
有意向购买冰墩墩的人数 50 25 75
无意向购买冰墩墩的人数 5 20 25
合计 55 45 100
所以99.9%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关．
18．（本小题满分12分）
解：
（1）
函数在点处的切线倾斜角为，则有
∴
（2）由在上单调递增，可得在上恒成立．
即在上恒成立
令
解得
当时，，在上单调递减
当时，，在上单调递增
所以当时，取得最小值为
∴，即a的最大值为2
19．（本小题满分12分）
解：
（1）从6组数据中选出2组数据共有种，
设事件A＝“抽到相邻两个月的数据”，共包含5个基本事件
则选取的2组数据恰好是不相邻的两个月的概率
（2）①由数据求得，
由公式
所以线性回归方程为
②当时，预估数据，
当时，预估数据，
所以该协会所得线性回归方程是理想的．
20．（本小题满分12分）
解：
（1）选①：由题意得，
即
解得或（负值舍去）
选②：令，可得展开式中所有项的系数之和为0．
由即，
解得
（2）展开式的通项为（，1，2，3，4，5，6），
令，解得
则常数项为
21．（本小题满分12分）
解：
（1）该运动员两次都命中8环的概率为
两次都命中9环的概率
两次都命中10环的概率
该运动员两次命中的环数相同的概率
（2）的可能取值为8，9，10
所以的分布列为：
8 9 10
P 0.16 0.48 0.36
22．（本小题满分12分）
解：
（1）令
的定义域为，
当时，，则在上单调递减
所以当时，
即当时，
（2）
当时，，则在上单调递减
（3）
由（2）知在上单调递减
∵，
根据零点存在性定理可得：
存在唯一实数使得
当时，，即则在上单调递增
当时，，即则在上单调递减
所以在处取得极大值也是最大值
∵，，
∴在和上各有一个零点
即当时，方程有且仅有2个实数根．