陕西省西安市西咸新区2022-2023学年高二下学期期末文科数学试题（含答案）

西咸新区2022～2023学年度第二学期期末质量监测
高二数学（文科）试题
注意事项：
1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，．则
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则
A． B． C． D．
3．已知向量，，且，则
A． B． C． D．
4．已知抛物线C：的焦点为F，点在C上，则
A．7 B．6 C．5 D．4
5．设是等比数列，且，，则
A．8 B．－8 C．4 D．－4
6．已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为
A． B． C． D．
7．如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为
A．24 B．26 C．28 D．30
8．某学校举办作文比赛，共3个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为
A． B． C． D．
9．有一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，则
A．，，，的平均数等于，，…，的平均数
B．，，，的中位数等于，，…，的中位数
C．，，，的标准差不小于，，…，的标准差
D．，，，的极差大于，，…，的极差
10．设α，β为两个平面，则的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
11．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则
A． B． C． D．
12．已知函数在区间上存在单调减区间，则实数m的取值范围为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知等差数列的前n项和为，若，则 ．
14．已知是偶函数，则实数 ．
15．若实数x，y满足约束条件，则的最大值为 ．
16．若函数在区间只有一个极值点，则实数a的取值范围为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．
18．（本小题满分12分）
如图，已知多面体FABCDE的底面ABCD是边长为3的正方形，DE⊥底面ABCD，，且．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面ADEF；
（Ⅱ）求四棱锥C-ADEF的体积．
19．（本小题满分12分）
推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节，为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取500名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制成频数分布表如下：
得分
男性人数 22 43 60 67 53 30 15
女性人数 12 23 40 54 51 20 10
（Ⅰ）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？
不太了解 比较了解 总计
男性
女性
总计
（Ⅱ）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取5人，再从这5人中随机抽取3人组成一个环保宣传队，求抽取的3人恰好是两男一女的概率．
附：，其中．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的左，右焦点分别为，，垂直于x轴的直线与该椭圆交于P，Q两点，且．
（Ⅰ）求该椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率；
（Ⅱ）求的面积及弦长的值．
21．（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的最小值；
（Ⅲ）证明：．
22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
已知曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求A，B两点间的距离．
23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若的最小值为，求的最小值．
西咸新区2022～2023学年度第二学期期末质量监测
高二数学（文科）试题参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．A 2．A 3．C 4．D 5．A 6．B 7．D 8．C 9．B 10．B 11．D 12．D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．70 14．2 15．8 16．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题：共60分
17．解：
（Ⅰ）∵，
∴．
∵，
∴，可得，
∵，
∴．
（Ⅱ）∵，，，
∴，即，
∴，
∴．
18．解：
（Ⅰ）∵DE⊥底面ABCD，
∴．
又，，
∴CD⊥平面ADEF．
（Ⅱ）由题意易知四边形ADEF为直角梯形，
∴．
∴．
19．解：
（Ⅰ）由题意得完成的2×2列联表如下：
不太了解 比较了解 总计
男性 125 165 290
女性 75 135 210
总计 200 300 500
∵，
∴有90%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关．
（Ⅱ）由题意可知，抽到的女性有人，抽到的男性有人，
记抽到的男性为a，b，c，抽到的女性为d，e，则所有基本事件为（a，b，c），（a，b，d），（a，b，e），（a，c，d），（a，c，e），（a，d，e），（b，c，d），（b，c，e），（b，d，e），（c，d，e），共10种，
其中抽取的3人恰好是两男一女的事件为（a，b，d），（a，b，e），（a，c，d），（a，c，e），（b，c，d），（b，c，e），共6种，
∴抽取的3人恰好是两男一女的概率是．
20．解：
（Ⅰ）由椭圆的方程，可得，
∴该椭圆的长轴长为10，短轴长为6，焦点坐标为，离心率．
（Ⅱ）∵，
∴，
即，
∴，即．
∴的面积为．
设点，则的面积为，可得，
∴．
21．解：
（Ⅰ）∵，
∴，
∴，．
∴所求切线方程为，即．
（Ⅱ）当时，，
令，
则，
当时，，单调递减，
∴
∴，
∴函数在上单调递减，
∴，
即函数的最小值为0．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知在上单调递减，
又，
∴，即，
∴．
（二）选考题：共10分．考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
解：
（Ⅰ）由于曲线C的参数方程为（t为参数），
则消去参数t，可得．
由于直线l的极坐标方程为，且，，
则直线l的直角坐标方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，圆C的圆心为，半径为3，
则圆心C到直线l的距离为，
则由垂径定理可得，．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
解：
（Ⅰ），即，
当时，不等式，可化为，解得；
当时，不等式，可化为，即，恒成立；
当时，不等式，可化为，解得．
综上，不等式的解集为．
（Ⅱ），当且仅当时等号成立，
∴，
∴，
当且仅当时等号成立，
∴的最小值为．