泸县2022-2023学年高二下学期期末考试
数学（理工类）参考答案
1．A 2．D 3．D 4．B 5．A 6．B 7．C 8．B 9．D 10．C 11．C 12．A
13．9 14．72 15． 16．①②④
17．解：（1）因为
所以，
由题意可得，，解得，，，
（2）由（Ⅰ）可得，
所以，因为，，
易得，当，时，，函数单调递减，当，时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极小值也就是最小值
18．解：(1)从地区2020年脱贫家庭中随机抽取1户，该户人均年纯收入超过10000元的事件为M，
由表格中数据知，A地区抽出的300户家庭中，2020年人均年纯收入超过10000元的有50户，则人均年纯收入超过10000元的频率为，由此估计；
(2)X的可能值为0，1，2，
从地区2020年脱贫家庭中随机抽取1户，该户人均年纯收入超过10000元的事件为N，则，
而M与N相互独立，
，
，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
X的数学期望为：.
19．（1）证明：连结，如图，
∵平面，平面，∴，
∵底面是平行四边形，，∴，
∵，∴平面；
（2）以C为原点，为x轴，为y轴，过点C作平面的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，
∵，，∴，，，，
∴，，
设平面的一个法向量，
则，取得，
∵平面，∴平面的一个法向量为，
则，
又二面角为钝角，
∴二面角的余弦值为.
20（1）由已知，线段的长度等于到：的距离，
则点的轨迹是以为焦点，：为准线的抛物线，所以，的方程为．
（2）将代入得．则
易知直线斜率存在，设为，知，直线方程为．
由得．则，．①
则，，
因为直线，的斜率互为相反数，
所以，，
则．②
联立①②，得，所以或．
若，则的方程为，恒过点，不合题意；
所以，即直线的斜率为定值．
21．解：（1）由已知，当时，，当时，，
∴的减区间是，增区间；
（2）函数的定义域是，定义域是，
不等式为，
∴不等式在上恒成立，
∴在上恒成立，
设，则，时，，，
又在上是增函数，，，
∴存在，使得，时，，时，，，即在上递增，在上递减，
，，
，∴，
∵，∴，∴整数的最小值为2．
22．解：（1）曲线的极坐标方程是，
即为，
由，，，可得，即；
（2）直线的参数方程是为参数）
令，可得，，即，
将直线的参数方程代入曲线，可得：
，
即为，解得，，
由参数的几何意义可得，
．
23．解：（1），且，
，解得．
．
．
（i）当时，由，解得（不合题意，舍去）；
（ii）当时，由，解得，经检验满足题意．
综上所述，．
（2）由（1）得．．
，
．当且仅当，即时等号成立．
．泸县2022-2023学年高二下学期期末考试
数学（理工类）
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是
A． B． C． D．
2．函数的图象大致为
A．B．C．D．
3．函数的单调递增区间为
A．() B．(1，+) C．(1，1) D．(0，1)
4．已知，是两条不同的直线，是平面，且 则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
5．执行如图的程序框图，若输出的，则输入的整数的最小值是
A． B． C． D．
6．已知点是抛物线上的一点,F是抛物线的焦点,则点M到F的距离等于
A．6 B．5 C．4 D．2
7．甲 乙两机床同时加工直径为100的零件，为检验质量，从它们生产的零件中随机抽取6件，其测量数据的条形统计图如下.则
A．甲的数据的平均数大于乙的数据的平均数
B．甲的数据的中位数大于乙的数据的中位数
C．甲的数据的方差大于乙的数据的方差
D．甲的数据的极差小于乙的数据的极差
8．已知随机变量X服从正态分布，若，则
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
9．已知命题p：，，命题q：函数在R上单调递增，则下列命题中，是真命题的为
A． B． C． D．
10．已知函数.曲线在点处的切线方程为
A． B． C． D．
11．已知，则下列关系正确的是
A． B． C． D．
12．已知，，若，使得成立，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．如图是一个边长为4的正方形二维码,为了测算图中黑色部分的面积,在正方形区域内随机投掷1600个点,其中落入白色部分的有700个点,据此可估计黑色部分的面积为______________．
14．3本不同的数学书与3本不同的语文书放在书架同一层，则相同科目的书不相邻的放法共有______种．
15．抛物线的焦点为，已知抛物线在点处的切线斜率为2，则直线与该切线的夹角的正弦值为______．
16．在正方体中，棱长为1，，分别为，的中点，为线段上异于，的动点，现有下列结论：
①与为异面直线；②；③周长的最小值为；④三棱锥的体积为定值. 其中所有正确结论的编号是_______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．（12分）已知函数在点（1，）处的切线方程为.
（1）求实数和的值；
（2）求在[1，3]上的最小值.
18．（12分）在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，完成了消除绝对贫困的艰巨任务.为了解我市脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对，两个地区2020年脱贫家庭进行随机抽样调查，共抽取600户作为样本，统计数据如下表：
地区 地区
2020年人均年纯收入超过10000元 50户 200户
2020年人均年纯收入未超过10000元 250户 100户
假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立.（将频率视为概率）
（1）从地区2020年脱贫家庭中随机抽取1户，估计该户人均年纯收入超过10000元的概率；
（2）分别从地区和B地区2020年脱贫家庭中各随机抽取1户，记为这2户家庭中2020年人均年纯收入未超过10000元的户数，求的分布列和数学期望.
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20．（12分）平面直角坐标系中，点，直线：．动点到的距离比线段的长度大2，记的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）设点在上，，为上异于的两个动点，且直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出该定值．
21．（12分）已知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）若是函数的导函数，且在定义域内恒成立，求整数a的最小值.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（10分）（选修4-4 极坐标与参数方程）
已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是为参数）
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设直线与轴的交点是，直线与曲线交于，两点，求的值．
23．（10分）（选修4-5 不等式选讲）
已知函数，且不等式的解集为．
(1)求实数的值；
(2)若正实数满足，证明：．
