泸县2022-2023学年高二下学期期末考试
数学（文史类）参考答案
1．A 2．D 3．D 4．B 5．A 6．B 7．C 8．C 9．D 10．C 11．B 12．A
13． 14．9 15． 16．，或，或
17．解：（1）因为
所以，
由题意可得，，解得，，，
（2）由（Ⅰ）可得，
所以，因为，，
易得，当，时，，函数单调递减，当，时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极小值也就是最小值
18．解：（1）由频率分布直方图知学习达人人数为人，
特优达人人数为人，
根据分层抽样抽取人中学习达人抽取人令为，，，，
特优达人抽取人令为，
则人中抽取两人的所有种类有：，，，，，
，，，，共种
其中抽取的两人中至多有一人为“学习达人”种类有种，
抽取的两人中至多有一人为“学习达人”的概率；
（2）由题知，，
，，，
，线性方程为.
19．（1）因为平面，平面，平面，
所以，，因为，，所以.
因为，，
所以，所以，，
由，，可得，平面.
（2）由题意可知，
，
由（Ⅰ）可知，平面，平面，
所以，同理可得，
又，，
所以，
所以四棱锥的表面积.
20．（1）由已知，线段的长度等于到：的距离，
则点的轨迹是以为焦点，：为准线的抛物线，
所以，的方程为．
（2）将代入得．则
易知直线斜率存在，设为，知，直线方程为．
由得．
则，．①则，，
因为直线，的斜率互为相反数，
所以，，
则．②
联立①②，得，所以或．
若，则的方程为，恒过点，不合题意；
所以，即直线的斜率为定值．
21．解：（1）∵是奇函数，∴，
∴对，恒成立，
即对，恒成立，∴，又，∴，
∴曲线在点处的切线方程为；
（2）∵，
令，得或.
①若即时，时，；时，.
∴在、上单调递增，在上单调递减；
②若即时，时，；时，.
∴在与上单调递增，在上单调递减；
③若即时，，∴在上单调递增.
综上可知，
若时，在与上单调递增；在上单调递减；
若时，在与上单调递增；在上单调递减；
若时，在上单调递增；
（3）由（2）知，要使有两个零点，则，
又，∴，∴，
解得或或 ，故实数的取值范围为．
22．解：（1）曲线的极坐标方程是，
即为，
由，，，可得，即；
（2）直线的参数方程是为参数）
令，可得，，即，
将直线的参数方程代入曲线，可得：
，
即为，解得，，
由参数的几何意义可得，
．
23．解：（1），且，
，解得．
．
．
（i）当时，由，解得（不合题意，舍去）；
（ii）当时，由，解得，经检验满足题意．
综上所述，．
（2）由（1）得．．
，
．当且仅当，即时等号成立．
．泸县2022-2023学年高二下学期期末考试
数学（文史类）
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是
A． B． C． D．
2．函数的图象大致为
A．B．C．D．
3．函数的单调递增区间为
A．() B．(1，+) C．(1，1) D．(0，1)
4．已知，是两条不同的直线，是平面，且 则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
5．执行如图的程序框图，若输出的，则输入的整数的最小值是
A． B． C． D．
6．已知点是抛物线上的一点,F是抛物线的焦点,则点M到F的距离等于
A．6 B．5 C．4 D．2
7．甲 乙两机床同时加工直径为100的零件，为检验质量，从它们生产的零件中随机抽取6件，其测量数据的条形统计图如下.则
A．甲的数据的平均数大于乙的数据的平均数
B．甲的数据的中位数大于乙的数据的中位数
C．甲的数据的方差大于乙的数据的方差
D．甲的数据的极差小于乙的数据的极差
8．在圆内随机取一点P，则点P落在不等式组，表示的区域内的概率为
A． B． C． D．
9．已知命题p：，，命题q：函数在R上单调递增，则下列命题中，是真命题的为
A． B． C． D．
10．已知函数.曲线在点处的切线方程为
A． B．
C． D．
11．已知函数，若，，，则
A． B． C． D．
12．已知，，若，使得成立，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．抛物线的焦点到准线的距离是 ___________.
14．如图是一个边长为4的正方形二维码,为了测算图中黑色部分的面积,在正方形区域内随机投掷1600个点,其中落入白色部分的有700个点,据此可估计黑色部分的面积为______________．
15．若圆锥的母线长为，轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的体积是______．
16．已知偶函数，对任意的都有，且，则不等式的解集为_________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．已知函数在点（1，）处的切线方程为.
（1）求实数和的值；
（2）求在[1，3]上的最小值.
18．（12分）2021年3月31日起，中国共产党党史学习知识达人挑战赛线上报名通道开启，全国掀起了学习党史的热潮，为了解我市居民对党史知识的了解情况，某机构随机抽取了人参与问卷调查，得到如图的频率分布直方图：
（1）参与本次调查的人若得分在80～90分的称为“学习达人”，在分以上的称为“特优达人”，现从分以上的人中按“学习达人”、“特优达人”分层抽样抽取人，在这人中任取人，求至多有一人为“学习达人”的概率；
（2）该机构统计了被调查人不同年龄阶段的问卷平均得分，如下表：
年龄段
代码数值
平均得分
若平均得分与代码数值之间存在线性相关关系，求与的线性回归方程.
参考数据：对一组数据，，其回归直线方程的斜率和截距用最小二乘法估计，分别为，
19．（12分）如图，在四棱锥中，，，，，平面.
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的表面积.
20．（12分）平面直角坐标系中，点，直线：．动点到的距离比线段的长度大2，记的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）设点在上，，为上异于的两个动点，且直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出该定值．
21．（12分）设函数.
（1）若该函数为奇函数，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数有三个零点，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（10分）（选修4-4 极坐标与参数方程）
已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是为参数）
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设直线与轴的交点是，直线与曲线交于，两点，求的值．
23．（10分）（选修4-5 不等式选讲）
已知函数，且不等式的解集为．
(1)求实数的值；
(2)若正实数满足，证明：．
