合江县2022-2023学年高二下学期期末考试
理科数学
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数（为虚数单位），则下列命题正确的是
A．是纯虚数 B．的实部为2 C．的共轭复数为 D．的模为
2．已知命题p：对，有，则为
A．对，有 B．对，有 C．，使得 D．，使得
3．若随机变量，则
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知函数的导函数的图象如图所示，则关于的结论正确的是
A．在区间上为减函数 B．在处取得极小值
C．在区间，上为增函数 D．在处取得极大值
5．的展开式中的常数项为
A．240 B．﹣240 C．480 D．﹣480
6．3男2女站成一排，其中2名女生必须排在一起的不同排法有
A．24种 B．48种 C．96种 D．120种
7．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据：）
A．3.1419 B．3.1417 C．3.1415 D．3.1413
8．已知曲线在点处的切线方程为，则
A． B． C． D．
9．直线与抛物线交于，两点，则
A． B． C． D．
10．已知函数在处取得极大值10，则的值为
A． B．或2 C．2 D．
11．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A． B． C．2 D．
12．已知在上恰有两个极值点，，且，则的取值范围为
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若直线与直线平行，则___________.
14．已知具有相关关系的两个变量的一组观测数据如下表所示，若据此利用最小二乘估计得到回归方程，则_______.
3 4 5 6
2.5 4 4.5
15．已知直线，圆，若直线与圆相交于两点,则的最小值为______．
16．已知函数与的图象在区间上存在关于轴对称的点，则的取值范围为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．（12分）为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访男性、女性各50名，其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”，否则称其为"非健身族”，调查结果如下：
健身族 非健身族 合计
男性 40 10 50
女性 30 20 50
合计 70 30 100
（1）若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟，则称该社区为“健身社区”. 已知被随机采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健分时间分别是1.2小时，0.8小时，1.5小时，0.7小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？
（2）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关？
参考公式： ，其中.
参考数据：
0. 50 0. 40 0. 25 0. 05 0. 025 0. 010
0. 455 0. 708 1. 321 3. 840 5. 024 6. 635
18．（12分）已知函数.
（1）求在点处的切线；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
19．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，.
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成的线面角的正弦值为，求长.
20．（12分）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过定点的直线交椭圆于不同的两点 (点在点 之间)，且满足，求的取值范围.
21．（12分）已知函数，其中．
(1)若函数在单调递增，求m的取值范围；
(2)已知函数存在两个极值点（），当时，求的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（10分）（选修4-4 极坐标与参数方程）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
(1)求C的普通方程和l的直角坐标方程；
(2)动点D在曲线C上，动点A，B均在直线l上，且，求△ABD面积的最小值．
23．（10分）（选修4-5 不等式选讲）
已知函数，不等式的解集为．
(1)求的值；
(2)若三个实数，，，满足．证明：合江县2022-2023学年高二下学期期末考试
理科数学参考答案
1．D 2．C 3．D 4．B 5．A 6．B 7．A 8．D 9．D 10．A 11．A 12．D
13． 14．3 15． 16．
17．解：（1）随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为
小时，
由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时，
因为1.15小时小时=70分钟，所以该社区不可称为“健身社区”；
（2）由联立表可得，
，
所以能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.
18．解：（1），又，所以切线方程为，
即；
（2）由（1）知或，∴在上单减，在上单增，
又，∴在上的最大值为3，最小值为0.
19．（1）证明：∵平面，平面，∴，
∵，平面，，∴平面.
（2）∵，，
∴为等腰直角三角形，
∵，∴为等腰三角形.
以中点为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：
设，则，，，，
∴.
设平面的法向量为，∵，，
∴，令，则，，∴.
∴，解得.∴.
20．解：（1）由题意可知：，解得：
椭圆的标准方程为：．
（2）①当直线斜率不存在，方程为，则，.
②当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立 得：.
由得：.
设，，
则，，
又，，，则，
，所以，所以 ，解得：,
又，综上所述：的取值范围为.
21．（1），，
函数在单调递增，在上恒成立，
即在上恒成立，令，则时，，
所以在时，单调递增，所以，
所以，即.
（2）因为函数存在两个极值点（），
所以，可得，令，则，
所以取对数可得
，令，则，
令，则，
所以在上单调递增，因为，所以在恒成立，
所以在恒成立，所以在上单调递增，
所以，即，即
22．解：（1）对于曲线C，，，
所以．因为当有意义时，，
所以，则，即，
所以C的普通方程为．
由，得，即，
将，代入上式，可得l的直角坐标方程为．
（2）设，则点D到直线l的距离
，
所以当且仅当，即（）时，d取得最小值，
，所以△ABD面积的最小值为
23．解：（1）∵不等式的解集为，
∴，即，∴，经检验得符合题意.
（2）∵，
∴
，
由柯西不等式可知：
，
∴，
即，
当且仅当，，时等号成立.
