泸州市部分中学2022-2023学年高二下学期期末考试
理科数学
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“”的否定是
A． B．
C． D．
2．若复数满足，则的虚部为
A． B． C．4 D．
3．已知一组数据的平均数为，标准差为，则数据的平均数和方差分别为
A． B． C． D．
4．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式
A． B．
C． D．
5．已知随机变量X服从正态分布 ，且，则
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
6．函数的图象大致为
A．B．C．D．
7．展开式的第5项的系数为
A．15 B．﹣60 C．60 D．﹣15
8．为做好社区新冠疫情防控工作，需将四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）种
A．36 B．48 C．60 D．16
9．如图，在正方形内任取一点，则点恰好取自阴影部分内的概率为
A． B．
C． D．
10．已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
11．已知双曲线的左 右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为
A． B． C． D．
12．已知函数在区间内任取两个实数，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为
A．， B．， C．， D．，
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某病毒实验室成功分离培养出奥密克戎BA．1病毒60株、奥密克戎BA．2病毒20株、奥密克戎BA.3病毒40株，现要采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为30的样本，则奥密克戎BA．3病毒应抽取______株.
14．若函数在处有极小值，则实数等于__________.
15．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē nào）．已知四面体为鳖臑，平面，且，若此四面体的体积为1，则其外接球的表面积为__________．
16．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，在处的切线与的准线交于点，连接．若，则的最小值为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.
18．（12分）已知函数．
（1）当时，求在上的值域；
（2）若方程有三个不同的解，求的取值范围．
19．（12分）如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.
(1)若点在线段上，且平面，试确定点的位置；
(2)若，求锐二面角的大小.
20．（12分）已知椭圆的长轴长与短半轴长之比为，且点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线与x轴，椭圆C依次相交于三点，点M为线段上的一点，若，求（O为坐标原点）面积的取值范围．
21．（12分）已知函数，.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）已知，是函数的两个零点，且，求证：.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（10分）（选修4-4 极坐标与参数方程）
已知曲线C的极坐标方程为，以极点为平面直角坐标系的原点O，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）为曲线C上两点，若，求的值．
23．（10分）（选修4-5 不等式选讲）
已知函数．
(1)解关于x的不等式；
(2)记的最小值为m，若a、b、c都是正实数，且，求证：．泸州市部分中学2022-2023学年高二下学期期末考试
理科数学参考答案
1．B 2．A 3．C 4．B 5．C 6．A 7．C 8．A 9．B 10．B 11．D 12．C
17．解：（1）记事件｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，
｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝，｛顾客抽奖1次获一等奖｝，
｛顾客抽奖1次获二等奖｝，｛顾客抽奖1次能获奖｝，
由题意，与相互独立，与互斥，与互斥，
且，，，
∵，，
∴，
，
故所求概率为；
（2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，
∴，
于是；；
；，
故的分布列为
0 1 2 3
的数学期望为.
18．解：（1）当时，则
令，解得或
列表如下；
1 3 4
0 0
0
由表可知，在上的最小值为，最大值为
所以在的值域是
（2）由，得
设，则
由，解得：，由，解得：或
所以在递减；在，递增
所以极大值为：；极小值为：，
画出的图象如图所示；
有三个不同解与有三个不同交点
结合图形知，，解得：，
所以方程有三个不同的解时，的取值范围是
19．（1）点为线段上靠近点的三等分点，
证明如下：如图，
在取点，连接，,使得，
又，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，所以平面.
又平面，，平面，
所以平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，所以在中，，所以，
所以点为线段上靠近点的三等分点.
（2）如图，取的中点，以O为原点OE为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
又，则，
由题意，点P在过点O且垂直AE的平面上，故设，
则，
因为，所以，解得，
故，则，
设平面的法向量为，
则，不妨取，则，
设平面的一个法向量为，则，
记锐二面角的平面角为，所以，
又，则，所以锐二面角的大小为.
20．解：（1）根据题意得，解得，所以椭圆C的方程为．
（2）由题意得，，
将直线l的方程代入椭圆C的方程，整理得：，
，
由得，，
设，，由韦达定理可得，设，
所以，，即，
所以，
所以的面积．因为，
所以的面积．
21．解：令，有，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得最大值，为，
若恒成立，则即.
方法一：，，
，
即，
欲证：，只需证明，只需证明，
只需证明.
设，则只需证明，即证：.
设，，
在单调递减，，，所以原不等式成立.
22．（1）由曲线C的极坐标方程为，可得，
将代入，可得
可得曲线C的普通方程为.
（2）因为，所以，
因为，设，则的点坐标为，
所以
.
23．（1）由，可得，
当时，由，解得，此时；
当时，，此时不等式无解；
当时，由，解得，此时.
综上所述，不等式的解集为或.
（2）由绝对值三角不等式可得，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为，故，
由题意可知，正实数、、满足，
由柯西不等式可得，
当且仅当时，等号成立，故原不等式得证.
