数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.1.2数列的递推公式与前n项和（共26张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.1.2数列的递推公式与前n项和（共26张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-02 11:47:50 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
4.1.2 数列的概念
第二课时 数列的递推公式及前n项和
一、教学目标
1.理解数列递推公式的含义，会用递推公式解决有关问题。
2.了解通项公式和递推公式是给出数列的两种方式，并明确它们的异同。
3.会利用数列的前n项和与通项的关系求通项公式。
二、教学重难点
1、教学重点
理解递推公式的含义.
2、教学难点
会用递推公式解决有关问题，用数列的前n项和与通项的关系求通项公式
1、数列中的每一个数叫做这个数列的。2、各项依次叫做这个数列的(首项)，…，…3、数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…，简记为。{an}项第1项第2项第n项一、数列的概念与一般形式：注意：{an}与an区别与联系{an}表示整个数列a1，a2，a3，…，an，…；an只是表示数列{an}中的第n项，知识回顾1、数列的通项公式：①一些数列的通项公式不是唯一的；②不是每一个数列都能写出它的通项公式.数列{an}的第n项an与序号n之间的关系式叫数列的通项公式2、求数列通项公式的一般方法：①由各项的特点，找出各项共同的构成规律。②通过观察、猜想归纳出数列中的项an与序号n之间的关系，写出一个满足条件的最简捷的公式。二、数列的通项公式：知识回顾注意：1、常用数列①an=n（1, 2, 3, 4,…）②an=2n（2, 4, 6, 8,…）③an=2n+1（3, 5, 7, 9,…）⑤an=2n（2, 4, 8, 16,…）④an=2n-1（1, 3, 5, 7, 9,…）⑥an=n2（1, 4, 9, 16, 25,…）⑦an=n(n+1)⑧an=(2n-1)(2n+1)2、关于(-1)n即符号3、常数数列：an=c知识回顾例4. 图中的三角形图案称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式.
(1)
(2)
(3)
(4)
典例分析
解：在图中，着色三角形的个数依次为1,3,9,27,即所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1.
因此，这个数列的一个通项公式是 .
当不能明显看出数列的项的取值规律时, 可以尝试通过运算未寻找规律, 如依次取出数列的某一项, 减去或除以它的前一项,再对差或商加以观察.
于是从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍.换个角度观察图中的4个图形，可以发现，a1=1, 且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形.这样,例4中的数列的前4项满足a1=1,a2=3a1,a3=3a2,a4=3a3, 由此猜测这个数列满足公式：讲授新课：一、数列的递推公式1、定义：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.如果已知数列的第1项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项. 相同点不同点通项公式均可确定一个数列，求出数列中的任意一项.给出n的值，可求出数列中的第n项an.递推公式由前一项(或前几项)，通过一次(或多次)运算，可求出第n项an.讲授新课：一、数列的递推公式
典例分析
例5 已知数列的第1项是1，以后的各项由公式 给出,写出这个数列的前5项.
解：由题意可知
总结：递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项.
在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一.
我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn,，即
Sn =a1+a2+...+an
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
显然S1=a1,而Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2),于是我们有
探究新知
Sn 与an的关系式
二、 数列的前n项和
已知数列{an}的前几项和公式为Sn =n2+n,你能求出{an}的通项公式吗？
解：因为a1=S1=2，
an=Sn-Sn-1
= n2+n -[(n-1) +(n-1)]
=2n(n≥2),
并且当n=1时，a1=2×1=2依然成立.
所以{an}的通项公式是an=2n.
思考
由Sn 求an需要检验
课堂练习p8：1课堂练习p8：1……累加法或叠加法课堂练习p8：4……累加法或叠加法课堂练习p8：1课堂练习p8：1例1.已知数列{an}的前n项和为 求这个数列的通项公式.可知当n>1时，an= Sn-Sn-1=解:根据Sn=a1＋a2＋a3＋…＋an-1＋an；与Sn-1=a1＋a2＋a3＋…＋an-1(n≥2) .典型例题：数列的前n项和当n=1时，a1=S1=1+5=6;1已知数列{an}的前n项和公式为Sn=n2+5，求{an}的通项公式.解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+5)-[(n-1)2+5]=2n-1.①将n=1代入①式得，2-1=1≠6=a1所以当n=1时，①式不成立.跟踪训练：1(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的式子，
那么数列{an}的通项公式为 an＝Sn－Sn－1；
已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式的步骤：
(1)当n＝1时，a1＝S1.
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.
如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的式子，
那么数列{an}的通项公式要分段表示为
小结：数列的前n项和公式
1.已知数列{an}满足 a1 = 1，an = an－1＋1 (n ≥ 2)， 写出这个数列的通项公式.
解：（1）由递推式可得，
a2－a1 = 1，
a3－a2 = 1，
…
an－an－1 = 1
能力提升
把以上 n-1 个式子相加,得 an －a1 = n －1
∴数列的通项为 an = n.
总结：一般递推关系为an+1= f (n)+an，即an+1 - an = f (n)时，可用累加法求通项公式.
又 a1 = 1
2.已知数列{an}满足 写出这个数列的通项公式.
解：由递推式可得
能力提升
∴数列的通项为 .
把以上n-1个式子相乘得
又 a1 = 1
总结：一般递推关系为an+1= f (n)·an, 即 时，可用累乘法求通项公式.
1. 已知数列 {an} 的前 n 项和公式 Sn ，求数列{an}的通项公式.
（1）Sn = 2n2－n＋1， （2）Sn = log2 (n＋1)
解：（1）当 n ≥ 2 时，
巩固练习
故数列{an}的通项公式为
当n = 1时， 不符合上式
2. 已知数列 {an} 的前 n 项和公式 Sn ，求数列{an}的通项公式.
（1）Sn = 2n2－n＋1， （2）Sn = log2 (n＋1)
解： （2）当 n ≥ 2 时，
当n = 1时， ，符合上式
巩固练习
故数列{an}的通项公式为
总结：已知Sn求出an依据的是Sn的定义：Sn=a1+a2+…+an，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式.
1.递推公式：（1）初始值；2）递推关系式
（1）已知数列的递推公式，求前几项并猜出通项公式
（2） 已知数列的递推公式，用累加法求通项公式
（3） 已知数列的递推公式，用累乘法求通项公式
课堂小结
课后作业：教材第8页练习
不渴望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步。
再见!
4.1.2 数列的概念
第二课时 数列的递推公式及前n项和
一、教学目标
1.理解数列递推公式的含义，会用递推公式解决有关问题。
2.了解通项公式和递推公式是给出数列的两种方式，并明确它们的异同。
3.会利用数列的前n项和与通项的关系求通项公式。
二、教学重难点
1、教学重点
理解递推公式的含义.
2、教学难点
会用递推公式解决有关问题，用数列的前n项和与通项的关系求通项公式
1、数列中的每一个数叫做这个数列的。2、各项依次叫做这个数列的(首项)，…，…3、数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…，简记为。{an}项第1项第2项第n项一、数列的概念与一般形式：注意：{an}与an区别与联系{an}表示整个数列a1，a2，a3，…，an，…；an只是表示数列{an}中的第n项，知识回顾1、数列的通项公式：①一些数列的通项公式不是唯一的；②不是每一个数列都能写出它的通项公式.数列{an}的第n项an与序号n之间的关系式叫数列的通项公式2、求数列通项公式的一般方法：①由各项的特点，找出各项共同的构成规律。②通过观察、猜想归纳出数列中的项an与序号n之间的关系，写出一个满足条件的最简捷的公式。二、数列的通项公式：知识回顾注意：1、常用数列①an=n（1, 2, 3, 4,…）②an=2n（2, 4, 6, 8,…）③an=2n+1（3, 5, 7, 9,…）⑤an=2n（2, 4, 8, 16,…）④an=2n-1（1, 3, 5, 7, 9,…）⑥an=n2（1, 4, 9, 16, 25,…）⑦an=n(n+1)⑧an=(2n-1)(2n+1)2、关于(-1)n即符号3、常数数列：an=c知识回顾例4. 图中的三角形图案称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式.
(1)
(2)
(3)
(4)
典例分析
解：在图中，着色三角形的个数依次为1,3,9,27,即所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1.
因此，这个数列的一个通项公式是 .
当不能明显看出数列的项的取值规律时, 可以尝试通过运算未寻找规律, 如依次取出数列的某一项, 减去或除以它的前一项,再对差或商加以观察.
于是从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍.换个角度观察图中的4个图形，可以发现，a1=1, 且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形.这样,例4中的数列的前4项满足a1=1,a2=3a1,a3=3a2,a4=3a3, 由此猜测这个数列满足公式：讲授新课：一、数列的递推公式1、定义：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.如果已知数列的第1项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项. 相同点不同点通项公式均可确定一个数列，求出数列中的任意一项.给出n的值，可求出数列中的第n项an.递推公式由前一项(或前几项)，通过一次(或多次)运算，可求出第n项an.讲授新课：一、数列的递推公式
典例分析
例5 已知数列的第1项是1，以后的各项由公式 给出,写出这个数列的前5项.
解：由题意可知
总结：递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项.
在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一.
我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn,，即
Sn =a1+a2+...+an
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
显然S1=a1,而Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2),于是我们有
探究新知
Sn 与an的关系式
二、 数列的前n项和
已知数列{an}的前几项和公式为Sn =n2+n,你能求出{an}的通项公式吗？
解：因为a1=S1=2，
an=Sn-Sn-1
= n2+n -[(n-1) +(n-1)]
=2n(n≥2),
并且当n=1时，a1=2×1=2依然成立.
所以{an}的通项公式是an=2n.
思考
由Sn 求an需要检验
课堂练习p8：1课堂练习p8：1……累加法或叠加法课堂练习p8：4……累加法或叠加法课堂练习p8：1课堂练习p8：1例1.已知数列{an}的前n项和为 求这个数列的通项公式.可知当n>1时，an= Sn-Sn-1=解:根据Sn=a1＋a2＋a3＋…＋an-1＋an；与Sn-1=a1＋a2＋a3＋…＋an-1(n≥2) .典型例题：数列的前n项和当n=1时，a1=S1=1+5=6;1已知数列{an}的前n项和公式为Sn=n2+5，求{an}的通项公式.解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+5)-[(n-1)2+5]=2n-1.①将n=1代入①式得，2-1=1≠6=a1所以当n=1时，①式不成立.跟踪训练：1(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的式子，
那么数列{an}的通项公式为 an＝Sn－Sn－1；
已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式的步骤：
(1)当n＝1时，a1＝S1.
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.
如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的式子，
那么数列{an}的通项公式要分段表示为
小结：数列的前n项和公式
1.已知数列{an}满足 a1 = 1，an = an－1＋1 (n ≥ 2)， 写出这个数列的通项公式.
解：（1）由递推式可得，
a2－a1 = 1，
a3－a2 = 1，
…
an－an－1 = 1
能力提升
把以上 n-1 个式子相加,得 an －a1 = n －1
∴数列的通项为 an = n.
总结：一般递推关系为an+1= f (n)+an，即an+1 - an = f (n)时，可用累加法求通项公式.
又 a1 = 1
2.已知数列{an}满足 写出这个数列的通项公式.
解：由递推式可得
能力提升
∴数列的通项为 .
把以上n-1个式子相乘得
又 a1 = 1
总结：一般递推关系为an+1= f (n)·an, 即 时，可用累乘法求通项公式.
1. 已知数列 {an} 的前 n 项和公式 Sn ，求数列{an}的通项公式.
（1）Sn = 2n2－n＋1， （2）Sn = log2 (n＋1)
解：（1）当 n ≥ 2 时，
巩固练习
故数列{an}的通项公式为
当n = 1时， 不符合上式
2. 已知数列 {an} 的前 n 项和公式 Sn ，求数列{an}的通项公式.
（1）Sn = 2n2－n＋1， （2）Sn = log2 (n＋1)
解： （2）当 n ≥ 2 时，
当n = 1时， ，符合上式
巩固练习
故数列{an}的通项公式为
总结：已知Sn求出an依据的是Sn的定义：Sn=a1+a2+…+an，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式.
1.递推公式：（1）初始值；2）递推关系式
（1）已知数列的递推公式，求前几项并猜出通项公式
（2） 已知数列的递推公式，用累加法求通项公式
（3） 已知数列的递推公式，用累乘法求通项公式
课堂小结
课后作业：教材第8页练习
不渴望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步。
再见!