2022-2023学年度第二学期
高二级数学科期末考试参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B D C B D A C A BCD AB ACD AC
13． y 2x e； 14．60 ； 15．36； 16．2
部分选填解析：
4、【详解】由 y f x x(sin x sin 2x)，得
f x x sin x sin 2x x sin x sin 2x f x ，
所以 f x 为偶函数，故排除 BD.
π π π π π
当 x 时， y f (sin sin π) 0，排除 A. 2 2 2 2 2
故选：C.
6、【详解】 f (x)的定义域为R ，
x e x ex x ex e x
因为 f x f (x)，所以 f (x)为偶函数，
2 2
4 4
1
所以a f log 3 3 2 f log2 3 f log2 3 ，c f 2 f 2 ，
3
ex e x x ex e x
当 x 0时， f x ，
2
因为 x 0，所以ex 1,0 e x 1，所以 x x xe e x 0， x(e e ) 0，
所以 f (x) 0，所以 f (x)在 (0, )上单调递增，
3 4
因为 y 2x 在R 上单调递增，且 0 1 ，
4 3
3 4 3 4
所以 ，即 0 2 4 20 21 23 0 2 4 1 2 23 ，
因为 y log2 x在 (0, )上为增函数，
3 4
3 4
所以0 2 4 log 3 23 ，所以 f 2
4
f log2 3 f 23 ，即b a c，
2
故选：A
7、【详解】由题意可得F 1,0 ，设直线 l 的方程为 x my 1 m 0 ，
由题意可得直线 l 与抛物线C1必有 2 个交点，
答案第 1 页，共 7 页
{#{QQABDYCQggCAQAAAAQACQwVgCgMQkgCCCAgOwBAQMEIBCANABAA=}#}
x my 1
与抛物线C2 相切，联立方程组
2
2 ，可得 y 4my 4 0，
y 4x
所以 16m2 16 0，解得m 1，故直线 l 的方程为 x y 1，
x y 1
与抛物线C1方程联立 2 ，得 x
2 6x 1 0，
y 4x
设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，则 x1 x2 6，所以 AB x1 x2 2 8 .
故选：C.
8、设e1和e2 分别为 x 轴和 y 轴正方向的单位向量，则e1和 e2 的夹角为 ，根据平面向量基
本定理和坐标表示，可得OM x ，1e1 y1e2 ON x2e1 y2e 2
MN ON OM (x1 x2)e1 (y1 y2)e 2
2
MN MN (x x )2e 2 2(x x 2 2 1 2 1 1 2)(y1 y2)e1 e2 (y1 y2 ) e2
(x x 21 2) 2(x1 x2)(y y )cos (y y )
2 ，故选 A
1 2 1 2
11、 A1， A2 不能同时发生，故 A1， A2 互斥，所以 A 对
C2 C2 2 C
2 C2 9
P(B) 3 2 ， P(C)
5 2 C
C2 5 C2
，故 对
5 5 10
C2
P(BC) 3
3
P(B)P(C) ，B C2 、 不独立，故 B 错 C5 10
3
2 2 3 3 3
P(A ) ， P(A C) ，P(C A2 )
10
2 2 ，故 D 对
5 5 4 10 2 4
5
1
12、 f (x) sin x ln x(x 0) ， f (x) cos x
x
1
x1, x2 , , xn , 是 f (x)的变号零点，即方程 cos x(x 0)的解
x
1
作出曲线 y cos x 和曲线 y 如下图所示：
x
答案第 2 页，共 7 页
{#{QQABDYCQggCAQAAAAQACQwVgCgMQkgCCCAgOwBAQMEIBCANABAA=}#}
由图易知 A 对
xn 1 xn (n为奇数)
，故 B 错误
xn 1 xn (n为偶数）
1 (2n 1)
因为随着 n 增大， x 增大， cos xn n 逐渐与 0 接近，即 cos xn 与 cos 接近 xn 2
(2n 1)
xn 随着 n 的增大而减小，故 C 正确
2
1
由图可知，当 x ((2n 1) , x2n )时， cos x ，即 f (x) 0， f (x) 单调递减；
x
4n 1 1
当 x (x , )时， cos x ，即 f (x) 0， f (x)2n 单调递增，所以 x x2n时，
2 x
4n 1 (4n 1)
f (x)取得极小值，所以 f (x2n ) f ( ) 1 ln ，故 D 错误
2 2
16、如图，P 处的切线 PM 平分 F1PF2 ，延长F1M 交 PF2延长线于点 N，
1 2， M 为F1N 的中点，又 O 为F1F2 的中点，
1 1 1
OM F2N PF1 PF2 2a a 2
2 2 2
解答题：
17．（1）设等差数列 an 的公差为 d，等比数列 bn 的公比为 q，
5 4
因为a1 2，所以 S5 10 d 30，解得d 2，所以an 2 2(n 1) 2n，2 分 2
由题意知：2 b b 24 2 b3 b5 ，因为 2 ，所以2 2q2 2 2q 2q3，
q 2 b 2n 1解得 ，所以 n ； ．．．．．．．5 分
n n 1 n n n 1
（2）由（1）得cn ( 1) 2n 2 ( 1) 2n ( 1) 2 ，
T20 ( 2 4 6 8 40) 1 2 22 23 219
1
20
1 2 220 1 220 +59 2 10 20 . ．．．．．．．10 分
1 ( 2) 3 3
18．（1）零假设为H0 ：蜜蜂进入不同颜色的蜂蜜罐与蜜蜂种类没有关联（相互独立）
2 120 600 40
根据列表得 4.444 3.841 x0.05 ，3 分
602 9 30 9
所以依据 0.05的独立性检验，蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联，4 分
答案第 3 页，共 7 页
{#{QQABDYCQggCAQAAAAQACQwVgCgMQkgCCCAgOwBAQMEIBCANABAA=}#}
2 1
M 品种进入黄色蜂蜡罐的频率为 ，M 品种进入褐色蜂蜡罐的频率为 ，5 分
3 3
5 1
N品种进入黄色蜂蜡罐的频率为 ，N品种进入褐色蜂蜡罐的频率为 ，6 分
6 6
依据频率分析，M 品种的蜜蜂选择褐色蜂蜡罐的频率是N 品种的蜜蜂的两倍，
所以品种M N 的蜜蜂选择进入黄色蜂蜡罐与褐色蜂蜡罐有显著差异。 ．．．．．．．7 分
a a 1 b a
（2）由已知上式知，P A , P B A , P A , P B A
a b a b 1 a b a b 1
则P(B) P(AB) P(AB) P(A) P B A P(A) P B A ，
a a 1 b a
所以P(B) ，11 分
a b a b 1 a b a b 1
a a b 1 a a
所以P B ，所以P B . ．．．．．．．12 分
a b a b 1 a b a b
AC2 BC2 AB2 16 9 4 7
19．（1）在 ABC中，由余弦定理可得cos ACB ，2 分
2AC BC 2 4 3 8
7
因为BC CD，所以sin ACD cos ACB ，3 分
8
1 1 7 7 15
所以 ACD的面积 S AC CD sin ACD 4 15 ； ．．．．．．．5 分
2 2 8 4
π π π
（2）设 BCA ，0 ，则 ACD ， BAC ．6 分
3 2 3
BC AC
8 π
在 ABC中，由正弦定理可得 π 2π ，则BC sin ，7 分
sin sin
3 33 3
AD AC
在 ACD 中，由正弦定理可得 π πsin ，则 AD 8cos ，8 分 sin
2 6
3 1 4 3 8 π
所以 AD BC 4 cos sin
6 2
3
3 3
4 3 4 3 4 6 π
cos sin sin ，10 分
3 3 3 4
π 3 1 4 6
当 时， AD BC 取得最大值 ； 4 6 2 3
7 15 3 1 4 6
综上， ACD的面积为 ， AD BC
4 6 2
的最大值 . ．．．．．．．12 分
3
答案第 4 页，共 7 页
{#{QQABDYCQggCAQAAAAQACQwVgCgMQkgCCCAgOwBAQMEIBCANABAA=}#}
20．1）证明：如图：连接BD，在正方形 ABCD中BD AC ，
又PA 平面 ABCD，故PA BD .
而PA， AC 是平面PAC 上的两条相交直线，
所以BD 平面PAC .2 分
在△PBD中，EF 为中位线，故EF∥BD .
所以EF 平面PAC . 又EF 平面EFG，
所以平面EFG 平面PAC . ．．．．．．．4 分
（2）如图：以 AB， AD， AP 所在直线为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系 A xyz ，5 分
则 A 0,0,0 ，B 2,0,0 ，C 2,2,0 ，P 0,0,2 ，D 0,2,0 ，E 1,0,1 ，F 0,1,1 ，6 分
AE 1,0,1 ， AF 0,1,1 ，设平面 AEF 的一个法向量为m x1, y1, z1 ，
AE m 0 x1 z1 0
则 ，即 ，取m 1,1, 1 ，7 分
AF m 0 y1 z1 0
1
设PG PC 0 1, ，
2
则 AG AP PG AP PC (0,0,2) (2,2, 2) (2 ,2 ,2 2 ) .
6 2 1
则 sin cos m, AG ，
3 4 2 4 2 (2 2 )2 3
1 1
整理得12 2 8 1 0，解得 或 （舍去），9 分
6 2
1 1 1 1 2
故 PG PC，故G 到平面PAB的距离h BC ，故 S BE h .10 分
6 6 3 △EBG 2 6
因为 AE BC 1,0,1 0,1,0 0，所以 AE BC，
又 AE BP 1,0,1 2,0,2 0，所以 AE BP，
又BP BC P，所以EA 平面PBC ，
故A 到平面BEG的距离为EA 2 . 11 分
1 1 2 1
三棱锥E ABG体积为V V . ．．．．．．．12 分 E ABG A EBG S△EBG EA 2
3 3 6 9
a 2x 1 x a
21. （1） f x 2x 2a 1 x 0 ，1 分
x x
1
令 f x 0得 x , x2 a，
2
1
当 a 时， f x 0，则函数 f x 在 0, 上单调递增，2 分
2
答案第 5 页，共 7 页
{#{QQABDYCQggCAQAAAAQACQwVgCgMQkgCCCAgOwBAQMEIBCANABAA=}#}
1 1 1
当0 a 时， 0 x a或 x 时， f x 0；a x 时， f x 0，所以函数 f x 在
2 2 2
1 1
0,a ， , 上单调递增，在 a, 上单调递减，3 分
2 2
1 1 1
当 a 时， 0 x 或 x a时， f x 0， x a 时， f x 0，
2 2 2
1 1
所以函数 f x 在 0, ， a, 上单调递增，在 ,a 上单调递减. 4 分
2 2
1
综上所述，当a 时，函数 f x 的单调递增区间为 0, ，无单调递减区间；
2
1 1 1
当0 a 时，函数 f x 的单调递增区间为 0,a ， , ，单调递减区间为 a, ；
2 2 2
1 1 1
当 a 时，函数 f x 的单调递增区间为在 0, ， a, ，单调递减区间为 ,a .
2 2 2
．．．．．．．5 分
1
（2）当0 a 时，函数 f x 仅有一个零点的个数，理由如下，
2
1 1 1
由（1）得当a 0, 时，函数 f x 在 0,a ， , 单调递增，在 a, 单调递减； 则
2 2 2
函数 f x 的极大值为 f a a ln a a2 2a 1 a a ln a a 1 ，6 分
1 1
且极小值为 f f a ，令 g x ln x x 1， x 0, ，
2 2
1 1 x 1
则 g x 1 0， x 0, ，
x x 2
1 1 3
所以 g x 在 x 0, 上单调递增，所以 g x g ln 2 0，
2 2 2
1
所以当a 0, 时， f a a ln a a 1 0， 8 分
2
1
所以当 x 0, 时， f x <0, 函数 f x 无零点；9 分
2
1
x ， 2 2 4 2 2 2所以当 时 f e a ln e e 2a 1 e e 1 e 2a ，
2
1 2
因为a 0, ，所以2a 0,1 ，e
2 1 0,e2 2a 0，可得 f e 0，
2
所以函数 f x 有一个零点；11 分
综上：如下图，作出函数 f x 的大致图象，
1
由图象可得当0 a 时，函数 f x 仅有一个零点的个数.
2
．．．．．．．12 分
答案第 6 页，共 7 页
{#{QQABDYCQggCAQAAAAQACQwVgCgMQkgCCCAgOwBAQMEIBCANABAA=}#}
x2 y2
22．（1）设椭圆的标准方程为 1(a b 0)，
a2 b2
4 3
1，a2 b2
2
c 1 a 8， x2 y2
由已知得 ， 解得 所以椭圆的标准方程为 . ．．．．．．．3 分
a 2 b2
1
6， 8 6
c2 a2 b2 ，
t k
（2）因为直线 l ：y＝kx＋t 与圆(x－1)2＋y2＝1 相切，所以 ＝1，
1 k 2
1 t2
整理得2k (t≠0)． 4 分
t
y kx t
由 2 2 2x2 y2 消去 y 整理得(3＋4k )x ＋8ktx＋4t －24＝0，5 分
1
8 6
因为直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，
64k 2t2 4 3＋4k2所以 4t2－24 16 24k 2 3t2 18 0，
1 t2
将 2k 代入上式可得 0恒成立．
t
8kt
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有 x1＋x2＝－
3 4k 2
，
6t
所以 y1＋y2＝kx1＋t＋kx2＋t＝k(x1＋x2)＋2t＝ 2 ， 7 分 3 4k
8kt 6t
因为 OC x1 x ,2 , y1 y2 )，
3 4k
2 3 4k 2
8kt 6t
所以可得 C , ，8 分
3 4k 2 3 4k 2
又因为点 C 在椭圆上，
8k 2t2 6t2
所以 2 ＋ 2 ＝1,
3 4k 2 2 3 4k 2 2
2 2t
2 2
2 2
所以 3 4k 1 1 ，10 分
1
t2 2 t
2
2 1 1因为 t ＞0，所以 2 ＋ 1 1 t 2
＋ ＞ ，11 分
t
所以0 2 2，所以 的取值范围为 2,0 0, 2 . ．．．．．．．12 分
答案第 7 页，共 7 页
{#{QQABDYCQggCAQAAAAQACQwVgCgMQkgCCCAgOwBAQMEIBCANABAA=}#}2022-2023 学年度第二学期
高二级数学科期末考试试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 5 页，满分为 150分．考试用时 120 分钟．
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置
上，用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上．
2、选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案；不能答在试卷上．
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位
置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上
要求作答的答案无效．
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1
1．设集合M = x 0 x 3 ，N = x x 6 ，则 ( RM ) N =（ ）
3
1
A． x 0 x 6 B． x 3 x 6 C． x 3 x 6 D． x x 3
3
4i
2．复数 z = ，则 z =（ ）
1+ i
A． 2 2i B． 2+ 2i C． 2 + 2i D．2 2i
3．函数 y = x(sin x sin2x)的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
4．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为 1，下底面半径为 2，且该圆台侧
面积为3 5 ，则原圆锥的母线长为（ ）
A．4 B．2 5 C．2 D． 5
5．某兴趣小组研究光照时长 x(h) 和向日葵种子发芽数量 y (颗)之间的关系，采集 5 组数据，作如图所示
的散点图．若去掉D(10, 2)
y
后，下列说法正确的是（ ）
A、相关系数 r 变小 E(8,11)
B、决定系数R2 变小 B(2,6)
C、残差平方和变大 C(3,5)
x y A(1,4) D、解释变量 与预报变量 的相关性变强
D(10,2)
O x
试卷第 1 页，共 5 页
{#{QQABDYCQggCAQAAAAQACQwVgCgMQkgCCCAgOwBAQMEIBCANABAA=}#}
x(ex e x ) 1 3 4
6．已知函数 f (x) = ，则a = f (log2 )，b = f (2 4 )，c = f ( 23 ) 的大小关系为（ ）
2 3
A．b a c B．a b c C．c a b D．a c b
2 2
7．已知抛物线C1 : y = 4x的焦点为F ，过F 且斜率大于零的直线 l 与C1及抛物线C2 : y = 4x的所有公共
点从左到右分别为点 A、B 、C ，则 BC =（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
8．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则
这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P 作两坐标轴的平行线，其在 x 轴和 y 轴上
的截距 a ，b 分别作为点P 的 x 坐标和 y 坐标，记为P(a,b) ．若斜坐标系中， x 轴正方向和 y 轴正方
向的夹角为 ，则该坐标系中M (x1, y1) 和 N (x2 , y2 )两点间的距离为（ ）
y
A． (x x )2 21 2 + (y 1 y2 ) + 2(x x )(y y )cos 1 2 1 2
b P(a,b)
B． (x1 x )
2
2 + (y
2
1 y2 ) 2(x1 x )(y y )cos 2 1 2
C． (x x )2 + (y y )2 + 2 (x x )(y y ) cos 1 2 1 2 1 2 1 2
D． (x x 2 2 O a x 1 2 ) + (y 1 y2 ) 2 (x1 x2 )(y 1 y2 ) cos
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的 4 个选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量Y 的方差D(Y ) = 2，则D(3Y + 2) = 8
1 1
B．若随机变量 X 服从两点分布，P(X =1) = ，则E (X ) =
2 2
1 1
C．若随机变量 服从二项分布 B 4, ，则P( = 3) =
2 4
D．若随机变量
2
服从正态分布N (5, )，P( 2) = 0.1，则P(2 8) = 0.8
f (x) = 3 sin xcos x cos2
1
10．已知函数 x + ，则下列说法正确的是（ ）
2
π
A． f (x) = sin 2x
6
B．函数 f (x)的最小正周期为 π
π
C．函数 f (x)的图象的对称轴方程为 x = kπ + (k Z)
12
π
D．函数 f (x)的图象可由 y = cos 2x的图象向左平移 个单位长度得到
12
试卷第 2 页，共 5 页
{#{QQABDYCQggCAQAAAAQACQwVgCgMQkgCCCAgOwBAQMEIBCANABAA=}#}
11．一口袋中有除颜色外完全相同的 3 个红球和 2 个白球，从中无放回的随机取两次，每次取 1 个球，
记事件 A1：第一次取出的是红球；事件 A2 ：第一次取出的是白球；事件B ：取出的两球同色；事件
C ：取出的两球中至少有一个红球，则（ ）
A．事件 A1， A2 为互斥事件 B．事件B 、C 为独立事件
2 3
C．P(B) = D．P(C A 2 ) =
5 4
12．已知函数 f (x) = sin x + ln x ，将 f (x) 的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列{xn}，
对于正整数n ，则下列说法中正确的有（ ）
A． (n 1) xn n B． xn+1 xn
(2n 1) (4n 1)
C． xn 为递减数列 D． f (x2n ) 1+ ln
2 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．函数 f (x) = x ln x在 x = e处的切线方程为___________________．
n
1
14．若 2x 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式中的常数项是___________.
x
15．某高中学校在新学期增设了“传统文化”、“数学文化”、“综合实践”、“科学技术”和“劳动技术”5 门校本
课程．小明和小华两位同学商量每人选报 2 门校本课程．若两人所选的课程至多有一门相同，且小明必须
选报“数学文化”课程，则两位同学不同的选课方案有 种．（用数字作答）
16．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P
x2 y2
为双曲线（F1，F2 为焦点）上一点，点P 处的切线平分 F1PF2 ．已知双曲线C : =1，O为坐标
4 2
10
原点， l 是点P(3, ) 处的切线，过左焦点F1作 l 的垂线，垂足为 M，则 OM = ．
2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10 分）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，数列 bn 为等比数列，满足a1 = b2 = 2，
S5 = 30，b4 + 2是b3 与b5 的等差中项．
（1）求数列 an ， bn 的通项公式；
n
（2）设cn = ( 1) (an + bn )，求数列 cn 的前 20 项和T20 .
试卷第 3 页，共 5 页
{#{QQABDYCQggCAQAAAAQACQwVgCgMQkgCCCAgOwBAQMEIBCANABAA=}#}
18．（本小题满分 12 分）近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的
生活理念和方式.可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任．某环保可持续
性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡，食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再
建造．为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄 褐两种颜色的蜂蜡
罐，对M ， N 两个品种的蜜蜂各 60 只进行研究，得到如右
黄色蜂蜡罐 褐色蜂蜡罐
表数据：
（1）依据小概率值 = 0.05的独立性检验，分析蜜蜂进入 M 品种蜜蜂 40 20
不同颜色的蜂蜡罐是否与蜜蜂种类有关联？ N 品种蜜蜂 50 10
（2）假设要计算某事件的概率P(B)，常用的一个方法就是
找一个与事件B 有关的事件 A，利用公式：P(B) = P(AB) + P(AB) = P(A) P (B A)+ P(A) P (B A)求解，
现从装有a 只M 品种蜜蜂和b 只N 品种蜜蜂的蜂蜡蠸中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到M 品种蜜
蜂为事件 A，第二次抽到M 品种蜜蜂为事件B ，求P(B)．（用a ，b 表示）
2 n(ad bc)
2
附： = ，其中n = a + b + c + d ．
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．（本小题满分 12 分）如图，在平面四边形 ABCD中， AC = 4，BC ⊥ CD．
（1）若 AB = 2，BC = 3，CD = 15 ，求 ACD的面积；
2π π 3 1
（2）若 B = ， D = ，求： ( + ) AD BC 的最大值．
3 6 6 2
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{#{QQABDYCQggCAQAAAAQACQwVgCgMQkgCCCAgOwBAQMEIBCANABAA=}#}
20．（本小题满分 12 分）如图，四棱锥P ABCD的底面为正方形， AB = AP = 2，PA⊥平面 ABCD，
E， F 分别是线段PB， PD的中点，G 是线段PC 上的一点．
（1）求证：平面EFG ⊥平面PAC ；
1
（2）若直线 AG与平面 AEF 所成角的正弦值为 ，且G 点不是线段PC 的中点，
3
求三棱锥E ABG体积．
21．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) = a ln x + x2 (2a +1) x ，其中a 0．
（1）求函数 f (x)的单调区间；
1
（2）当0 a 时，判断函数 f (x)零点的个数．
2
1
22．（本小题满分 12 分）已知中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆过点P (2, 3 )，且它的离心率e = .
2
（1）求椭圆的标准方程；
2
（2）与圆 (x 1) + y2 =1相切的直线 l : y = kx+ t 交椭圆于M 、 N 两点，若椭圆上一点C 满足
OM +ON = OC ，求实数 的取值范围．
y
N
O x
M
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{#{QQABDYCQggCAQAAAAQACQwVgCgMQkgCCCAgOwBAQMEIBCANABAA=}#}
