陕西省西安市西咸新区2022-2023学年高二下学期期末考试理科数学试题（含答案）

西安市西咸新区2022-2023学年高二下学期期末考试
数学（理科）试题
注意事项：
1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.
第I卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设全集，集合，，则
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则
A.3-4i B.4-3i C.3+4i D.4+3i
3.已知向量，，且，则
A. B. C. D.
4.已知某同学投篮一次的命中率为，连续两次均投中的概率是，若该同学在投中一次后，随后一次也投中的概率是
A. B. C. D.
5.设是等比数列，且，，则
A.8 B.-8 C.4 D.-4
6.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有
A.64种 B.48种 C.32种 D.16种
7.已知抛物线：的焦点为F，点M在C上，若M到直线的距离为5，则
A.7 B.6 C.5 D.4
8.“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
9.有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则
A. ，，，的平均数等于的平均数
B. ，，，的中位数等于的中位数
C. ，，，的标准差不小于的标准差
D. ，，，的极差大于的极差
10.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，是指在下雨时可以用圆台形的盆接雨水来测量降雨量.若一个圆台形盆的上口直径为40cm，盆底直径为20cm，盆深20cm，某次下雨盆中积水10cm，则这次降雨量最接近（注：降雨量等于盆中水的体积除以盆口面积）
A.3.4cm B.3.8cm C.4.0cm D.5.8cm
11.一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD为正方形，E、F分别为PB、PC的中点，在此几何体中，下面结论错误的是
A.直线AE与直线BF异面 B.直线AE与直线DF异面
C.直线平面PAD D.直线平面ABCD
12.已知，，，则
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知等差数列的前n项和为，若，则__________.
14.已知函数，若是偶函数，则实数__________.
15.若函数在区间（0，2）只有一个极值点，则实数a的最小值为__________.
16.双曲线的左、右焦点分别为，，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，则__________，直线的斜率为___________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，.
（I）求角B的大小；
（Ⅱ）若，，求的面积.
18.（本小题满分12分）
推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节，为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取500名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制成频数分布表如下：
得分
男性人数 22 43 60 67 53 30 15
女性人数 12 23 40 54 51 20 10
（Ⅰ）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于600分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度"与"性别"有关
不太了解 比较了解 总计
男性
女性
总计
（Ⅱ）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取5人，再从这5人中随机抽取3人组成一个环保宣传队，求环保宣传队中女性人数X的数学期望
附：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.10 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19.（本小题满分12分）
如图，在长方体中，，.
（I）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆：的左，右焦点分别为，，M为C上一点且在第一象限，为等腰三角形，且.
（I）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若的周长为10，求点M的坐标.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（I）当时，求函数的最大值；
（Ⅱ）若，，求的取值范围.
（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
已知曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（I）求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线C相交于A，B两点，求A，B两点间的距离.
23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数.
（I）求不等式的解集；
（Ⅱ）若的最小值为，求的最小值
西安市西咸新区2022-2023学年高二下学期期末考试
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.A 2.A 3.C 4.B 5.A 6.B 7.D 8.A 9.B 10.C 11.B 12.D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.70 14.-4 15.4 16.2（2分） （3分）
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.解：（I）∵，∴.
∵，∴，可得，
∵，∴.
（Ⅱ）∵，，，
∴，即，∴，
∴.
18.解：（I）由题意得完成的2×2列联表如下：
不太了解 比较了解 总计
男性 125 165 290
女性 75 135 210
总计 200 300 500
∵，
∴有90%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关.
（Ⅱ）由题意可知，抽到的女性有人，抽到的男性有人
∴X可取的值为0，1，2，
∴，，.
∴.
19.解：（I）证明：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，
∴，∴.
（Ⅱ）∵，
∴，，.
设平面的法向量，
则即取，得.
设直线与平面所成角为，
则.
20.解：（I）由题意可知，，，
∴，得，
即椭圆的离心率为.
（Ⅱ）∵的周长为，即，
又，∴，.
∴，∴椭圆的方程为：.
设，则在中，，
∴，
∴在中，边上的高为，
∴，得，
代入椭圆的方程得，得，
∴.
21.解：（I）当时，，则，
当时，；当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴.
（Ⅱ）由，得，易知在上单调递减.
①由（I）可知，当时，，符合题意；
②当时，，，
∴存在，使得，
故当时，，单调递减，
∴，不符合题意；
③当时，，，
∴存在，使得，
故当时，，单调递减，，
令，则，
故在上单调递减，
∴，故，符合题意.
综上，的取值范围是.
（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
解：（I）由于曲线的参数方程为（为参数），
则消去参数，可得.
由于直线的极坐标方程为，且，，
则直线的直角坐标方程为.
（Ⅱ）由（I）可知，圆C的圆心为（2，-2），半径为3，
则圆心C到直线的距离为，
则由垂径定理可得，.
23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】
解：（I），即，
当时，不等式，可化为，解得；
当时，不等式，可化为即3≤5，恒成立；
当时，不等式，可化为，解得.
综上，不等式的解集为.
（Ⅱ），当且仅当时等号成立，
∴，
∴，
当且仅当时等号成立，
∴的最小值为.