2022-2023学年陕西省宝鸡市教育联盟高二（下）联考数学试卷（理科）（6月份）（含解析）

2022-2023学年陕西省宝鸡市教育联盟高二（下）联考数学试卷（理科）（6月份）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 解道数学题，有两种方法，有个人只会用第一种方法，有个人只会用第二种方法，从这个人中选个人能解这道题目，则不同的选法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2. 已知复数其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3. 若，则( )
A. B. C. D.
4. 新能源汽车的核心部件是动力电池，电池成本占了新能源整车成本很大的比例，而其中的原材料碳酸锂又是电池的主要成分．从年底开始，碳酸锂的价格一路水涨船高，下表是年我国江西某企业的前个月碳酸锂价格与月份的统计数据：
月份代码
碳酸锂价格万元
由上表可知其线性回归方程为，则( )
A. B. C. D.
5. 已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则下列结论中正确的是附：随机变量服从正态分布，则( )
A. 该校学生成绩的均值为 B. 该校学生成绩的标准差为
C. 该校学生成绩的标准差为 D. 该校学生成绩及格率超过
6. 设，，则“或”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 若曲线与相切，则实数( )
A. B. C. D.
8. 一个盒子里装有相同大小的白球、黑球共个，其中黑球个，现从盒中随机的抽取个球，则概率为的事件是( )
A. 没有白球 B. 至多有个黑球 C. 至少有个白球 D. 至少有个黑球
9. 随机变量的概率分别列为，，，，，其中是常数，则的值为( )
A. B. C. D.
10. 已知抛物线：的焦点为，圆：，点，分别为抛物线和圆上的动点，设点到直线的距离为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
11. 在某独立重复实验中，事件，相互独立，且在一次实验中，事件发生的概率为，事件发生的概率为，其中若进行次实验，记事件发生的次数为，事件发生的次数为，事件发生的次数为，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
12. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则实数所在的区间为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 的展开式中的系数为______用数字作答．
14. 定积分的值为______．
15. 我们知道：在平面内，点到直线的距离公式为，通过类比的方法，若在空间中，点到平面的距离为，则满足条件的实数的所有的值之和为______ ．
16. 一批小麦种子的发芽率是，每穴只要有一粒发芽，就不需要补种，否则需要补种，则每穴至少种______粒，才能保证每穴不需要补种的概率大于
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
为调查学生近视情况，某教育主管部门从甲、乙两所学校各抽取名学生参与调查，调查结果分为“近视”与“非近视”两类，结果统计如下表：
近视人数 非近似人数 合计
甲校
乙校
合计
分别估计甲，乙两所学校学生近视的概率；
能否有的把握认为近视人数与不同的学校有关？
附：，其中．
18. 本小题分
已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，．
求的值；
求其展开式中所有的有理项．
19. 本小题分
设甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有个白球和个红球每个球除颜色以外均相同．
从甲袋中取个球，求这个球中恰好有个红球的概率；
先从乙袋中取个球放入甲袋，再从甲袋中取个球，求从甲袋中取出的是个红球的概率．
20. 本小题分
我国机床行业核心零部件对外依存度较高，我国整机配套的中高档功能部件大量依赖进口，根据中国机床工具工业协会的数据，国内高档系统自给率不到，约依赖进口．因此，迅速提高国产数控机床功能部件制造水平，加快国产数控机床功能部件产业化进程至关重要．通过对某机械上市公司近几年的年报公布的研发费用亿元与产品的直接收益亿元的数据进行统计，得到下表：
年份
根据数据，可建立关于的两个回归模型：
模型：；
模型：．
根据表格中的数据，分别求出模型，的相关指数的大小结果保留三位有效数字；
根据选择拟合精度更高、更可靠的模型；若年该公司计划投入研发费用亿元，使用中的模型预测可为该公司带来多少直接收益．
回归模型 模型 模型
附：．
21. 本小题分
某卖场“”促销期间，规定每位顾客购物总金额超过元可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：“在一个不透明的纸箱中放入个大小相同的小球，其中个小球上标有数字，个小球上标有数字，个小球上标有数字每位顾客从该纸箱中一次性取出个球，若取到的个球上标有的数字都一样，则获得一张元的代金券；若取到的个球上标有的数字都不一样，则获得一张元的代金券；若是其他情况，则获得一张元的代金券．然后将取出的个小球故回纸箱，等待下一位顾客抽奖．”
记随机变量为某位顾客在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求随机变量的分布列和数学期望；
该卖场规定，若“”期间在该卖场消费的顾客购物总金额不足元，则可支付元开通该卖场会员服务，获得一次抽奖机会，若您是该位顾客，从收益的角度考虑，您是否愿意开通会员参加这一次抽奖活动？请说明理由．
22. 本小题分
已知函数，，．
若关于的方程有个不等实根，求的取值范围；
若关于的不等式对一切实数恒成立，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，从这个人中选个人能解这道题目，有种选法，
故选：．
根据题意，由组合数公式计算可得答案．
本题考查组合的定义和计算，注意题目的条件，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，
则．
故选：．
由已知结合复数的四则运算先进行化简，然后结合复数的模长公式可求．
本题主要考查了复数的四则运算及复数模长公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据，可得，
解得．
故选：．
根据题目条件，利用排列数和组合数公式计算即可得出结论．
本题主要考查排列数、做合数公式的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】由表中数据可得，
则其样本点的中心为，代入线性回归方程得，
解之得，
故选：．
先求得样本点的中心坐标，代入线性回归方程，解之即得的值
本题考查了线性回归方程的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：某校学生的成绩服从正态分布，则，，，故A，，都错误；
．
故选：．
根据正态分布的定义，确定均值与方差，根据正态分布曲线的对称性计算及格概率即可．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：原命题与逆否命题等价，其逆否命题，若“”则“且”，
“”是“且”的必要不充分条件，
所以“或”是“”的必要不充分条件．
故选：．
利用逆否命题与原命题等价，判断逆否命题中的结论即可得．
本题考查充分必要条件的定义，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设切点坐 标为，
由，得，
曲线与相切，
，且，
将代入得，可得．
故选：．
设切点坐标，求出原函数的导函数，利用切点处的导数值等于曲线的斜率，及切点处的函数值相等列方程组求解．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：表示任取个球中，有个黑球的概率，
表示任取个球中，有个黑球的概率，
表示任取个球中，没有黑球的概率，
所以表示任取个球中，至多有个黑球的概率．
故选：．
利用古典概型的公式结合排列组合知识直接求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由题意知，，，，，，
，，，，
，解得：，
，
．
故选：．
求得的可能取值及对应概率，根据离散型随机变量的期望与方差公式求解即可．
本题考查离散型随机变量的期望与方差，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：圆：，圆心坐标，半径为，
抛物线：的焦点为，准线方程，如图所示，
点到直线的距离比点到准线的距离大，即，
的最小值为，当，，三点共线时的最小值为，
所以．
故选：．
由题意，的最小值为，的最小值为，可求的最小值．
本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，因为，，，故A错误；
对于，因为，，，故B错误；
对于，因为，独立，所以，所以，故C正确；
对于，因为，，，故D错误．
故选：．
由题意可知， 、 、 均满足二项分布，分别求出，，，，，对照四个选项一一验证．
本题考查二项分布的期望与方差，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：，将代入可得，
将代入可得，
故在处的切线为，即，
设上一点为，对函数求导可得：，
故在点处切线斜率，
故在点处的切线方程为，
整理得：，
故可得：，
由上式可得：，
构造函数，，
当时，，故函数在单调递增，
因为，
，故要使得，即得取值范围是，
故选：．
首先求出函数在处的切线，再设出在点处的切线方程，利用待定系数法找出，再构造函数利用零点存在性定理找出的范围即可．
本题主要考查利用导函数研究函数切线及函数零点问题，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：展开式中含的项为，
所以的系数为，
故答案为：．
求出展开式中含的项，进而可以求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
直接利用定积分运算法则求解即可．
本题考查定积分的运算法则的应用，考查计算能力．
15.【答案】
【解析】解：平面内点到直线的距离公式，
类比平面内点到直线的距离公式可得空间点到平面的距离公式为：，
则空间中点到平面的距离为，解得或，
故满足条件的实数的所有的值之和为．
故答案为：．
类比平面内点到直线的距离公式可得空间点到平面的距离公式，再代入公式，求出的值，再求和即可．
本题考查类比推理，考查空间点到平面的距离公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：记事件为“种一粒种子，发芽”，
则，．
因为每穴种粒相当于做了次独立重复试验，记事件为“每穴至少有一粒种子发芽”，
则，
所以，
根据题意得，
即，
所以，
两边同时取以为底的对数，得，
即，
解得，
因为，
且，所以的最小正整数值为．
故答案为：．
记事件为“种一粒种子，发芽”，每穴种粒相当于做了次独立重复试验，记事件为“每穴至少有一粒种子发芽”，求出、，根据，求出的最小正整数值．
本题考查了次独立重复实验恰有次发生的概率计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：由表格数据得，
甲校学生近视的概率是，
乙校学生近视的概率是；
由题意可得，
所以有的把握认为近视人数与不同的学校有关．
【解析】根据古典概型公式列式计算即可；
计算，对照题目中的表格，得出统计结论．
本题主要考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
18.【答案】解：因为，，所以，
当为奇数时，此方程无解，
当为偶数时，方程可化为，解得；
由通项公式，
当为整数时，是有理项，则，，，
所以有理项为．
【解析】先利用题给条件列出关于的方程，解之即可求得的值；
利用二项展开式的通项公式即可求得其展开式中所有的有理项．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
19.【答案】解：依题意，从个球中取个球有种取法，
其中个球中恰好有个红球，即恰好有个红球、个白球，有种取法，
所以个球中恰好有个红球的概率；
记为从乙袋中取出个红球、个白球，为从乙袋中取出个红球，为从甲袋中取出个红球，
则，
，
所以．
【解析】利用组合数求出从个球中取个球，个球中恰好有个红球、个白球的取法数，进而求概率；
应用全概率公式求从甲袋中取出的是个红球的概率即可．
本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于中档题．
20.【答案】解：因为，
所以，
则模型的相关指数，
模型的相关指数；
由知，，所以模型的拟合精度更高、更可靠；
由回归方程，可得当时，，
所以若年该公司计划投入研发费用亿元，大约可为该公司带来亿元的直接收益．
【解析】根据所给数据公式求相关指数；
比较相关系数可得； 代入模型回归方程计算．
本题考查了相关指数的计算和应用以及回归方程的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：由题意可知随机变量的可能取值为，，，
有，，，
所以随机变量的分布列为：
则．
由，故从收益的角度考虑，我愿意开通会员参加这一次抽奖活动．
【解析】由题意可知随机变量的可能取值为，，，利用超几何分布的概率公式求出相应的概率，进而得到的分布列，再利用期望公式计算即可．
比较与的大小，即可作出判断．
本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，考查了超几何分布的概率公式，属于中档题．
22.【答案】解：由题意，函数，，，
可得，
则，
所以在单调递减，在单调递增，在上单调递减，
因为方程有个不等实根，
则满足，即，解得，
所以．
记，
则，对恒成立，
当时，，单调递增；
当且时，，所以不满足恒成立，
当时，，恒成立，所以，；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
可得，所以，
记，，可得
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以最大值为．
【解析】根据题意得到，求得，得出函数的单调性，结合方程有个不等实根，列出不等式组求得，进而求得的取值范围；
记，由对恒成立，利用导数，分类讨论求得函数的单调性与，得到，令，，利用导数求得单调性，得到，即可求解．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．
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