陕西省商洛市2022-2023学年高二下学期理数期末考试模拟试卷（含解析）

陕西省商洛市2022-2023学年高二下学期理数期末考试模拟试卷
一、单选题(共12题；共60分)
1．（5分）设全集 ，集合 ， ，则 (　　)
A． B．
C． D．
2．（5分）若复数 满足 （其中 为虚数单位），则复数 的共轭复数 （　　）
A． B． C． D．
3．（5分）已知空间向量，，且，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）求和的等差中项和等比中项分别是（　　）
A．7， 2 B．-7，2 C．7， D．7，-2
5．（5分）若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为(　　)
A．12 B．36 C．27 D．6
6．（5分）采用简单随机抽样抽到一个容量为20的样本数据，分组后，各组的频数如下表：
分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70)
频数 2 3 x 5 y 2
已知样本数据在区间[20，40)内的频率为0.35，则样本数据在区间[50，60)内的频率为（　　）
A．0.70 B．0.50 C．0.25 D．0.20
7．（5分）“x＞1”是“ ”的(　　)
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）函数 的大致图象为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．（5分）已知函数的部分图像如图所示，则的值分别为（　　）
A． B． C． D．
10．（5分）已知定义域为 的奇函数 在区间 上单调递减，且 ，则不等式 的解集为（　　）
A． B．
C． D．
11．（5分）已知函数 ．若存在实数 ，且 ，使得 ，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
12．（5分）经过抛物线 的焦点与圆 x2﹣4x+y2=0相切的直线方程为（　　）
A．225x﹣64y+4=0或x=0 B．3x﹣4y+4=0
C．x=0 D．3x﹣4y+4=0或x=0
二、填空题(共4题；共20分)
13．（5分） 的展开式中x2的系数为　 　．
14．（5分）已知 ，则 　 　.
15．（5分）已知双曲线的离心率为 ，且与椭圆 有相同的焦点，则该双曲线的标准方程为　 　.
16．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则CD=　 　
三、解答题(共7题；共70分)
17．（10分）在 中，角 所对的边分别为 ，满足 .
（1）（5分）求角 的大小；
（2）（5分）若 ，且 ，求 的面积.
18．（10分）新型冠状病毒肺炎，简称“新冠肺炎”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎．某定点医院对来院就诊的发热病人的血液进行检验，随机抽取了1000份发热病人的血液样本，其中感染新型冠状病毒的有200份，以频率作为概率的估计值．
（1）（5分）某时间段内来院就诊的5名发热病人中，恰有3人感染新型冠状病毒的概率是多少？
（2）（5分）治疗重症病人需要使用呼吸机，若该呼吸机的一个系统G由3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统G中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作．为提高G系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p（），且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，问：p满足什么条件时，可以提高整个G系统的正常工作概率？
19．（10分）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， .
（Ⅰ）求异面直线 与 所成角的正弦值；
（Ⅱ）若三棱锥 体积为2，求 的长.
20．（10分）设椭圆的左顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，.
（1）（5分）求椭圆的方程；
（2）（5分）设P，Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP，AQ的斜率之积为.证明直线PQ恒过定点，并求出该点坐标.
21．（10分）已知函数 .
（1）（5分）若 ，求函数 的单调区间；
（2）（5分）当 时，试判断函数 的零点个数，并说明理由.
22．（10分）已知椭圆C： （a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，离心率为 ，点A，B在椭圆上，F1在线段AB上，且△ABF2的周长等于4 ．
（1）（5分）求椭圆C的标准方程；
（2）（5分）过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M，N，求△PMN面积的最大值．
23．（10分）已知函数 ，且 ．．
（1）（5分）判断 的奇偶性，并证明你的结论；
（2）（5分）若 恒成立，求 的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】 ， ， ，所以 ，
故答案为： C.
【分析】根据交集并集补集之间的混合运算得出结果。
2．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为 ，则 ，因此， .
故答案为：B.
【分析】根据题意首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合共轭复数的概念即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】由题意，，解得，
又，
所以，
又，所以与的夹角为．
故答案为：A.
【分析】 根据 求得n，利用夹角公式求得向量与的夹角.
4．【答案】C
【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【分析】令等差中项为，则，解得；令等比中项为，则，解得，
故选C。
5．【答案】B
【知识点】由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由三视图可知：该三棱柱的底面为高为 的正三角形，边长为 ，底面面积为 ，三棱柱的高为4，则三棱柱的体积为 。
【分析】利用三视图还原立体几何图形为棱柱，再利用三视图中的数据对应棱柱中线段的长度结合已知条件此棱柱是一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的几何图形，再利用正三角形的结构特征和线面垂直的定义推出线线垂直，求出三棱柱底面的边长和高，从而结合三角形面积公式求出三棱柱底面的面积，最后再用棱柱的体积公式求出这个棱柱的体积。
6．【答案】D
【知识点】频率分布表
【解析】【解答】由题意得， =0.35，解得x=4，则y=20-2-3-4-5-2=4，故所求频率为 =0.20.
故答案为：D
【分析】利用频数分布表及频率的计算公式进行计算，即可求出答案。
7．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】 ，所以“x＞1”是“ ”的充分而不必要条件，
故答案为：B.
【分析】联系充分条件与必要条件的相关知识，结合题干分析即可得到答案。
8．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】函数 的定义域为 ，且 ， ，所以，函数 为偶函数，排除BC选项；
故答案为：A
【分析】函数 的定义域为 ，且 ，根据奇偶函数的定义进行判定可得答案。
9．【答案】A
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】据五点法可得
，解得，，选.
10．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质；其他不等式的解法；不等式的综合
【解析】【解答】因为定义域为 的奇函数 在区间 上单调递减，且 ，
所以 ，且 在 也单调递减， ，
则由 ，可得 ，
当 时， ，解得 ，即 ，
当 时， ，解得 ，此时无解，
当 时， ，解得 ，此时无解，
综上，不等式的解集为 .
故答案为：A.
【分析】首先由奇函数的性质计算出函数的值，然后由已知条件结合函数的单调性的定义即可得出函数的单调性，然后由函数的单调性即可得出不等式，对x分情况讨论，结合已知条件求解出x的取值范围从而得出不等式的解集。
11．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】 ，令 ，得 ， ．
其单调性及极值情况如下：
x 0
+ 0 _ 0 +
极大值 极小值
若存在 ，使得 ，
则 （如图1）或 （如图2）．
（图1）
（图2）
于是可得 ，
故答案为：D.
【分析】首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果.
12．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的焦点为（0，1），圆的圆心为（2，0），半径为2，（i）若过点（0，1）的直线无斜率，则直线方程为x=0，
圆心到直线x=0的距离为d=2，符合题意；
（ii）若过点（0，1）的直线有斜率，设直线方程为y=kx+1，
则圆心到直线y=kx+1的距离d= =2，解得k= ．
∴直线方程为y= x+1，即3x﹣4y+4=0．
故选：D．
【分析】对直线的斜率进行讨论，根据直线与圆的位置关系列方程求出斜率即可得出直线方程．
13．【答案】84
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】（1+3x）6（1﹣x）3＝[1+ 3x+ （3x）2+ + （3x）6]（1﹣3x+3x2﹣x3），
故它的展开式中x2的系数为1×3+6×3×（﹣3）+ ×9＝84，
故答案为：84．
【分析】首先由二项式定理展开多项式，再由项的系数的性质即可得出答案。
14．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
故答案为： .
【分析】由题意利用诱导公式，二倍角公式，同角三角函数的基本关系式，化简所给的式子，即可求出答案。
15．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】在椭圆 中， ，所以 ，所以焦点坐标为 ， ，设双曲线的方程为 ，由题意可得 ，所以 ，
所以 ，故双曲线的方程为 .
故答案为：
【分析】由椭圆的方程即可求出a与b的值，然后由椭圆里a、b、c的关系，计算出c的值，从而得出椭圆的焦点坐标，结合题意设出双曲线的方程，由离心率公式代入计算出a的值，由双曲线里a、b、c的关系计算出b的值，由此得出双曲线的方程。
16．【答案】
【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：连接BC，∵AC⊥l，α⊥β，α∩β=l，
∴AC⊥β，BC β，∴AC⊥BC，
同理BD⊥α，CD α，BD⊥CD，
设CD=x，BC2=12+x2，
AB2=BC2+AC2=1+1+x2=4，
∴x=，故答案是．
【分析】利用面面垂直的性质可得线面垂直，进而得到△ACB与△BDC为直角三角形，设CD=x，结合勾股定理列方程求x．
17．【答案】（1）解：由题意得： .
，即
又 ，
（2）解： ， ，即
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角，解三角方程，得答案。
（2）由余弦定理解得bc的值，代入三角形面积公式求答案。
18．【答案】（1）解：每人被感染的概率为，设“恰有3人被感染”为事件，则
；
（2）解：①原系统正常工作的概率为：；
②当系统有5个电子元件时，原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，系统才能正常工作．
（i）若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，
则概率为；
（ii）若前3个电子元件中有2个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作，
则概率为；
（iii）若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作．
系统均能正常工作，则概率为．
所以新增两个元件后系统能正常工作的概率为，
于是由知，当，即时，可以提高整个系统的正常工作概率．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【分析】根据题意由n次独立重复试验的概率公式求出原系统正常工作的概率 ；然后由题意分情况讨论各个情况下的概率值，再把结果加起来即可。
19．【答案】解：（Ⅰ）由已知 ，故 或其补角即为异面直线 与 所成的角
因为 平面 ，所以 .
在 中，由已知，得 ，故 .
所以异面直线 与 所成角的正弦值为 .
（Ⅱ）因为 平面 ，直线 平面 ，所以 .
又因为 ，所以 ，又 ，所以 平面 .所以 ，
在 中，由 ， ，可得 .
又因为 平面 ，所以 ，
所以
所以 .
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（Ⅰ）分析得 为异面直线 与 所成角,再求解 即可.（Ⅱ）先证明 平面 ,再利用三棱锥 体积为2换顶点求解 的长即可.
20．【答案】（1）解：由于，①
又，②
由①②解得，
椭圆的方程为.
（2）证明：在（1）的条件下，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，消去得：，
设，则，.
又，由题知，
则，且，
则.
，
则，
或
当时，直线的方程为，
此时直线过定点，显然不适合题意，
当时，直线的方程为.
此时直线过定点.
当直线的斜率不存在时，若直线过定点，
点的坐标分别为.
满足.
综上，直线过定点.
【知识点】恒过定点的直线；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可得，， ，从而可求得椭圆的方程；
（2） 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 代入椭圆方程中消去，利用根与系数的关系，再结合化简可得，从而可得或，进而可求出定点， 当直线的斜率不存在时，若直线过定点，求出两点坐标，求解即可，
21．【答案】（1）解：
当 即 ， ，
所以 的单增区间为 和 ，单减区间为 ，
当 即 ， 或 ，
所以 的单增区间为 和 ，单减区间为 ，
当 ， ，所以 的单增区间为（0， ）.
综上所述：当0当 ， 的单增区间为 ，
当 时，所以 的单增区间为 和 ，单减区间为
（2）解：当 时， ， ，所以由（1）可知， 的单增区间为 和 ，单减区间为
所以f(x)的极大值为f(1)=-1<0,，极小值为f(3)<0，
当 时 , 所以 在 上只有一个零点.
综上， 只有一个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点
【解析】【分析】（1）先求导，再分三种情况讨论a， 当0（2）先求导，由（1）可知 的单增区间，再利用导数研究函数的极值，即可判断函数 的零点个数 .
22．【答案】（1）解：∵△ABF2的周长等于4 ，且F1在边AB上，
∴（BF1+BF2）+（AF1+AF2）=4 ，
∴2a+2a=4 ，即a= ，
又∵e= ，∴c= ，
∴b= ，
∴椭圆C的标准方程为：
（2）解：依题意，设P（x0，y0），设过P点的直线为y﹣y0=k（x﹣x0），
记b=﹣kx0+y0，整理得：y=kx+b，并代入椭圆方程，得：
x2+3k2x2+6kbx+3b2﹣3=0，
令△=0，得9k2b2﹣3b2﹣9k2b2+9k2+3=0，
∴9k2﹣3b2+3=0，即3k2﹣b2+1=0，
又∵b=﹣kx0+y0，
∴3k2﹣k2x02+2kx0y0﹣y02+1=0，
∵△=3y02+x02﹣3＞0，
∴k1 k2= ，
又∵x02+y02=4，即y02=4﹣x02，
∴k1 k2= =﹣1，
∴过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线均垂直，
∴MN为圆O的直径，
∴当P点为（0，±2）时，△PMN面积的最大，最大值为 ×4×2=4
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【分析】（1）通过椭圆定义及△ABF2的周长等于4 ，可知a= ，利用e= ，可知c= ，通过b= 可知b=1，进而可得结论；（2）通过设P（x0，y0）及过P点的直线为y﹣y0=k（x﹣x0），并与椭圆方程联立，通过令根的判别式为0，计算可知过圆O：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线均垂直，进而计算可得结论．
23．【答案】（1）解：由 ，解得 ，
故
为定义域在 上的奇函数，证明如下：
即
所以 为奇函数
（2）解：由条件得 ，即 恒成立，
设 ，则 ， （当且仅当 时，等号成立）
所以 的最小值是 ，-
所以 ，
即 的最大值是
【知识点】函数单调性的性质；函数奇偶性的判断；基本不等式在最值问题中的应用；不等式的综合
【解析】【分析】(1)根据题意由奇函数的性质整理即可计算出a的值，由此得到函数的解析式，再由奇函数的定义验证即可得证出结论。
(2)利用分离参数的方法即可得到不等式，构造函数，整理得到，利用基本不等式即可求出函数的最大值，由此即可得出m的最大值。