2022-2023 学年第二学期期末五校联考高二数学试卷
【答案】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10. 11. 12.
13. 278 14.
9
20 15. 3 16.
9
16
17. 解：(1)在等差数列 中，因为 1, 3, 4成等比数列，
所以 23 = 1 4，即( 1 + 2 )2 = 1( 1 + 3 )，
解得 21 + 4 = 0，
因为 = 1，所以 1 = 4，
所以数列 的通项公式 = 5， ∈ ．
(2)由(1)知 = 5,
所以 = 2 +5 + = 2 + ， = 1 + 2 + 3 + +
= (2 + 22 + 23 + + 2 ) + (1 + 2 + 3 + + )
2(1 2 ) (1+ )
= 1 2 + 2
= 2 +1 + ( +1)2 2．
18. 解：(1)由题意知， (1) = 3，即切点为(1, 3)，
又 ′( ) = 3 2 6 9，所以 ′(1) = 12，
所以 ( )在 = 1 处的切线方程为： + 3 = 12( 1)，即 12 + 9 = 0;
(2) ′( ) = 3 2 6 9 = 3( 3)( + 1)，
令 ′( ) < 0 得 1 < < 3， ′( ) > 0 得 < 1或 > 3，
故 ( )的减区间为( 1,3)，增区间为( ∞, 1)和(3, + ∞)，
函数 ( )的极大值 ( 1) = 13，函数 ( )的极小值 (3) = 19，
又 ( 2) = 6， (4) = 12，
∴ ( )在[ 2,4]上的最大值是 13，最小值是 19．
19. (1)根据题意，(0.005 + + 0.020 + 0.025 + 0.040) × 10 = 1
解得 = 0.010．
所以样本中学生身高在[185,195]内(单位： )的人数为 40 × 0.01 × 10 = 4
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(2)设样本中男生身高的平均值为 ，则 = 150 × 0.05 + 160 × 0.2 + 170 × 0.4 + 180 × 0.25 +
190 × 0.1 = 7.5 + 32 + 68 + 45 + 19 = 171.5．
估计该校男生的平均身高为 171.5 .
(3)由 = 0.010，根据直方图，
因为(0.005 + 0.020 + 0.040) × 10 = 0.65 < 0.85
(0.005 + 0.020 + 0.040 + 0.025) × 10 = 0.9 > 0.85
所以样本中的 85%分位数落在 175,185 内，
设 85%分位数为 ，则( 175) × 0.025 = 0.2，解得 = 183．
所以估计该校男生身高的 85%分位数为 183
20. 解(1)由题意知 的可能取值是 0，1，2，3，
( = 0) = 0 1 3 13·( 3 ) = 27，
( = 1) = 1 23· 3 ·(
1 2
3 ) =
6
27，
( = 2) = 2 2 2 1 123·( 3 ) · 3 = 27，
( = 3) = 3 2 3 83·( 3 ) = 27，
的分布列如下表：
0 1 2 3
1 6 12 8
27 27 27 27
1 6 12 8
( ) = 0·27 + 1·27 + 2·27 + 3·27 = 2;
(2)设“甲恰好比乙多击中目标 2次”为事件 ，
“甲恰好击中目标 3次且乙恰好击中目标 1次”为事件 1，
“甲恰好击中目标 2次且乙恰好击中目标 0次”为事件 2，
则 1， 2为互斥事件，
则 ( ) = ( 1) + ( 2) = (
2 )3 × 13 3 ×
1
2 × (
1
2 )
2 + 2 × ( 2 )2 × 13 3 3 × (
1
2 )
3 = 16，
1
所以甲恰好比乙多击中目标 2次的概率为6．
21. 解：(1) ( ) = sin2 + 3cos2 = 2sin(2 + 3 )
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故函数 ( ) 2 的最小正周期 = 2 =
由 2 2 ≤ 2 +
3 ≤ 2 +
5
2得 12 ≤ ≤ + 12 ( ∈ )
∴函数 ( ) 5 的单调递增区间为[ 12 , +
12 ]， ∈ .
(2) ∵ ∈ [ , ] 2 6 6 ，∴ 2 + 3 ∈ [0, 3 ]，
∴ sin(2 + 3 ) ∈ [0,1]，∴ ( ) = 2sin(2 +
3 ) ∈ [0,2]
故 ( )的最小值为 0．
22. (1)证明：∵ 1 ⊥平面 ， 平面 ，
∴ 1 ⊥ ，
在正方形 中， ⊥ ，
又 1 ∩ = ， 1， 平面 1 1 ，
∴ ⊥平面 1 1 ，
∵ 平面 1 ，
∴平面 1 1 ⊥平面 1 ；
(2)如图，取 1 的中点 ，连接 ， 1 ．
易知 = 1 = 1 ，
∵ 是 1 的中点
∴ ⊥ 1 ，
又∵在正方形 1 1 中，
∴ 1 ⊥ 1 ，
∴ ∠ 1为二面角 1 1的平面角．
设正方体的棱长为 2，
∴ = 1 = 1 = 2 2，
1 = 2, = 6, 1 = 2 3．
2 2 2
由余弦定理有 cos∠ = + 1 11 2 × 1
= 6+2 12 = 3．2× 6× 2 3
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{#{QQABTYCUogioQAIAAAACQwVQCgKQkhGCCIgOwAAUMEABiANABAA=}#}二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分。在每小题有多项符合题目要求，全部选对得 5分，选对但不全
2022-2023 学年第二学期期末五校联考高二数学试卷
得 2 分，有选错的的 0 分）
考试时间：120 分钟
注意事项： 9. 下列函数中，是奇函数且在区间(0,1)上是减函数的是 ( )
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
A. ( ) = B. ( ) = sin C. ( ) = 1 2
2．请将答案正确填写在答题卡上
D. ( ) = + 4
10. 下列计算正确的是( )
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
班 级 A. ( )′ = B. ( 1 )′ = 12 C. (sin2 )′ = 2cos2 D. (lg ) =
1
′
1. 已知全集 = ，集合 = { |( 1)( + 2) ≥ 0} = { | 1 ≤ ≤ 3} ( ) ∩ =( ) ， ，则
11. 已知数列{ }的前 项和为 ，若 = 10， = + 3，则下列说法正确的是( )A. [ 2, 1] B. [ 1,2] C. [ 1,1) D. [1,2] 1 +1
2. 2 A.
{ }是递增数列 B. 10是数列{ }中的项
命题“ > 0， 2 + 1 ≥ 0”的否定是 ( )
A. > 0， 2 2 + 1 < 0 B. > 0， 2 2 + 1 < 0 C. 数列{ }中的最小项为 4 D. 数列
是等差数列
2
学 校 C. ≤ 0， 2 + 1 < 0 D. ≤ 0，
2 2 + 1 < 0 12. 下列结论正确的是( )
3. 已知(1 + )2 = 2 + 3 ，则 =( ) A. 1 1若随机变量 服从两点分布， ( = 1) = 3，则 ( ) = 3
A. 32 B.
3
2+ C. 1
3 3
2 D. 1 + 2 B. 若随机变量 的方差 ( ) = 2，则 (2 1) = 4
4. 已知 ， ∈ (0, + ∞) 1，且 +
4
= 1，则 +
1
的最小值为 ( ) C. 若随机变量 服从二项分布 5, 2 ，则 ( = 2) =
5
16
姓 名 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 D. 若随机变量 服从正态分布 5, 2 , ( < 7) = 0.75，则 < 3 = 0.25
5. 已知向量 = ( , 1)， = ( 3,2)，若 // ，则 4 =( ) 三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
A. 26 B. 26 C. 13 D. 13 313. 16 4
81 +
5
3 4+
4 =_______3 5
6. 第 24届冬季奥运会于 2022年 2月 4日至 2022年 2月 20日在北京市和河北省张家口市成功举行， 14. 已知角 的终边过点 ( 4,3)，则 2 + tan 的值是
举世瞩目．中国奥运健儿取得了多项历史性的突破，比赛期间要安排甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去
准考证号 15. 在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， = 5, = 3，sin = 2sin ，则△ 的面积为
国家高山滑雪馆，国家速滑馆，首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每人去一个场馆，每个场馆都
16. 如图，圆柱体 1
2内接于球 ， 点为圆柱的上底面与球 表面的一个公共点，若∠ 1 = 3，圆
要有人去，则不同的方案种数为 ( )
A. 120 B. 150 C. 240 D. 300 柱 1 2的体积为 ，球
的体积为 ，则 11 2 = ．2
7. 有 7件产品，其中 4件正品，3件次品，现不放回从中取 2件产品，每次一件，则在第一次取得次
品的条件下，第二次取得正品的概率为( )
A. 47 B.
2 1 1
3 C. 3 D. 6
8. 1 1已知二项式(2 2 ) 的所有二项式系数之和等于 128，那么其展开式中含 项的系数是( ) 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题 10.0分)已知等差数列 的公差 为 1，且 1, 3, 4成等比数列．A. 84 B. 14 C. 14 D. 84
(1)求数列 的通项公式；(2)设数列 = 2 +5 + ，求数列 的前 项和 ．
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18. (本小题 12.0分)设函数 ( ) = 3 3 2 9 + 8． 20. (本小题 12.0分)甲、乙两人各进行 3 2次射击，甲每次击中目标的概率为3，乙每次击中目标的概率
(1)求 ( )在 = 1 处的切线方程;
1
2，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(2)求 ( )在[ 2,4]上的最大值和最小值．
(1)记甲击中目标的次数为 ，求 的概率分布列及数学期望 ( )；
(2)求甲恰好比乙多击中目标 2次的概率
21. (本小题 12.0分)已知函数 ( ) = 2sin cos + 3cos 2 ．
(1)求函数 的最小正周期及其单调递增区间；
19. (本小题 12.0分)某中学(含初高中 6个年级)随机选取了 40名男生，将他们的身高作为样本进行统
计，得到如图所示的频率分布直方图． (2)当 ∈ [ 6 , 6 ]时，求 ( )的最小值．
22. (本小题 12.0分)如下图，在正方体 1 1 1 1中
(1)求证：面 1 1 ⊥面 1 ;
(1)求 的值及样本中男生身高在[185,195](单位： )的人数； (2)求二面角 1 1的平面角的余弦值．
(2)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；
(3)根据频率分布直方图估计该校男生身高的 85%分位数．
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