2022-2023学年湖北省宜昌市英杰学校高二下学期期末考试数学试题( 含解析）

2022-2023学年湖北省宜昌市英杰学校高二下学期期末考试
数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知等比数列中，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知函数，则的值为( )
A. B. C. D.
3. 若随机变量X~B(10,0.6),则D(2X-1)=（ ）
A. 4.8 B. 2.4 C. 9.6 D. 8.6
4. 已知，则( )
A. B. C. D.
5. 记，，，为，，，的任意一种排列，则使得为偶数的排列种数为( )
A. B. C. D.
6. 的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
7. 曲线在点处的切线与抛物线相切，则( )
A. B. C. D.
8. 已知有编号为，，的三个盒子，其中号盒子内装有两个号球，一个号球和一个号球号盒子内装有两个号球，一个号球号盒子内装有三个号球，两个号球若第一次先从号盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在两次取球编号不同的条件下( )
A. 第二次取到号球的概率最大 B. 第二次取到号球的概率最大
C. 第二次取到号球的概率最大 D. 第二次取到，，号球的概率都相同
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知随机变量的分布列如表，若，则( )
A. B. C. D.
10. 已知数列的前项和满足，则下列说法正确的是( )
A. 是为等差数列的充要条件
B. 可能为等比数列
C. 若，，则为递增数列
D. 若，则中，，最大
11. 以下几种说法正确的是( )
A. 回归分析中，决定系数的值越大，说明残差平方和越大
B. 对于相关系数，越接近，相关程度越大，越接近，相关程度越小
C. 由一组样本数据得到的回归直线方程为，那么直线必经过点
D. 是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对于两个分类变量适合
12. 定义域为的函数的导数为，若，且，则( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 函数在上的最小值为 ．
14. 在的展开式中第项和第项的二项式系数最大，则 ．
15. 设等比数列的前项和为，若，则 ．
16. 已知数列的前项和为，且，，则 ；的值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知等差数列满足，，数列的前项和满足．
求数列和的通项公式
求数列的前项和
18. 本小题分
已知函数．
若是的极值点，求
当时，在区间上恒成立，求的取值范围．
19. 本小题分
世界卫生组织建议成人每周进行至小时的中等强度运动已知社区有的居民每周运动总时间超过小时，社区有的居民每周运动总时间超过小时，社区有的居民每周运动总时间超过小时，且，，三个社区的居民人数之比为．
从这三个社区中随机各选取名居民，求至少有名居民每周运动总时间超过小时的概率
从这三个社区中随机抽取名居民，求该居民每周运动总时间超过小时的概率
假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量单位：小时，且∽，现从这三个社区中随机选取名居民，求该居民每周运动总时间为至小时的概率．
20. 本小题分
设数列的前项和为数列为等比数列，且成等差数列．
求数列的通项公式；
若，求的最小值．
21. 本小题分
湘潭是伟人故里，生态宜居之城，市民幸福感与日倶增．某机构为了解市民对幸福感满意度，随机抽取了位市民进行调查，其结果如下：回答“满意”的“工薪族”人数是人，回答“不满意”的“工薪族”人数是人，回答“满意”的“非工薪族”人数是人，回答“不满意”的“非工薪族”人数是人．
请根据以上数据填写下面列联表，并依据的独立性检验，分析能否认为市民对于幸福感满意度与是否为工薪族有关联？
满意 不满意 合计
工薪族
非工薪族
合计
用上述调查所得到的满意度频率估计概率，机构欲随机抽取部分市民做进一步调查．规定：抽样的次数不超过，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到时，抽样结束．记此时抽样次数为．
若，求的分布列和数学期望；
请写出的数学期望的表达式不需证明，根据你的理解说明的数学期望的实际意义．
附：
参考公式：，其中．
22. 本小题分
设函数．
讨论的单调性
若函数有两个零点，，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】已知等比数列中，，则．
2.【答案】
【解析】因为，所以，
所以，解得．故选B．
3.【答案】C
【解析】因为X~B(10,0.6),所以D(X)=100.60.4=2.4,所以D(2X-1)=4D(X)=42.4= 9.6.故选C.
4.【答案】
【解析】令，得令，得，
所以．
5.【答案】
【解析】因为只有为偶数，所以使得为偶数的排列种数为
故选A．
6.【答案】
【解析】因为的展开式的通项为，所以的展开式中的系数为．故选A．
7.【答案】
【解析】由，则，
因为，切线的方程为，
联立方程
消去后整理为，
有，得．故选C．
8.【答案】
【解析】两次取球编号不同的条件下，第二次取到号球的概率
两次取球编号不同的条件下，第二次取到号球的概率
两次取球编号不同的条件下，第二次取到号球的概率．
故两次取球编号不同的条件下，第二次取到号球的概率最大．
9.【答案】
【解析】由题意得：
，
解得，，故AB均正确；
，故C正确；
，故D错误．故选：．
10.【答案】
【解析】，
当时，，
当时，，满足通项公式，数列为等差数列
当为等差数列时，，，故A正确
当时，，是等比数列，B正确
，取，则，C错误
当时，从第二项开始，数列递减，且，故，故，最大，D正确．故选：
11.【答案】
【解析】在回归分析中，决定系数 越大，残差平方和越小，回归效果就越好，A错误；
在回归分析中，相关指数的绝对值越接近于，相关程度就越大，B正确；
回归直线必经过样本中心点，C正确；
是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对于两个分类变量适合，D正确．故选BCD．
12.【答案】
【解析】因为，，
所以，
设，则，
所以在上是单调递减函数，
则，所以，故A正确
，所以，无法得到，故B错误
，所以，故C正确
由知无法判断，即有可能，此时，由于，则，故D错误．
故选AC．
13.【答案】
【解析】 ，令 ，得 ，
当 时， 当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，所以 的最小值为
14.【答案】
【解析】若展开式中第项与第项二项式系数最大，即，则．故答案为：．
15.【答案】
【解析】法一：设等比数列的公比为，显然
因为，所以，
所以．
法二：设，则因为为等比数列，所以，，，仍成等
比数列因为，所以，，所以，即．
16.【答案】

【解析】由，，
得当时，
，所以；
当时，，
两式相减，得，
即，即，
且，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
所以
．
17.【答案】因为为等差数列，且满足，，
则，所以．
又数列满足，则时，．
时，，两式相减可得，即，
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以．
由可得，
所以，
，
两式相减可得，
所以，
所以．
18.【答案】因为，所以．
因为是的极值点，所以，解得．
当时，．
令，得令，得．
所以在，上单调递增，在上单调递减，
故是的极小值点．
综上，．
因为，所以．
令，得，令，得或，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
因为在区间上恒成立，所以
解得又因为，所以，故的取值范围是．
19.【答案】设从，，三个社区中各选取的名居民的每周运动总时间超过小时分别为事件，，，
则，，．
设选取的名居民中至少有名居民每周运动总时间超过小时为事件，则事件的对立事件为选取的名居民每周运动总时间都没有超过小时，
所以，
故选取的名居民中至少有名居民每周运动总时间超过小时的概率为．
设，，三个社区的居民人数分别为，，，
则社区每周运动总时间超过小时的人数为，
社区每周运动总时间超过小时的人数为，
社区每周运动总时间超过小时的人数为，
所以，
故从这个社区中随机抽取名居民且每周运动总时间超过小时的概率．
因为∽，所以．
因为，所以，
所以．
20.【答案】由题意得：
设数列的公比为，由，得，
所以，即，
因为成等差数列
所以，即，解得，或舍去
所以．
由，当时，，
两式相减得，，对也成立，
所以，
设，
当为奇数时，为递减数列，所以
当为偶数时，为递增数列，所以，
故，
而，故，，
所以的最小值为．
【解析】本题考查等比数列的通项公式，等差数列的性质，数列的函数特征，数列的通项公式，属于中档题．
设数列的公比为，根据题意得出，，由成等差数列得出，代入，可求得的值，即可求解．
利用数列的递推关系得出数列设，设，分类讨论当为奇数时和当为偶数时两种请况的取值范围，即可求解．
21.【答案】由题意可得，列联表为：
满意 不满意 合计
工薪族
非工薪族
合计
，
根据的独立性检验，认为市民对幸福感的满意度与是否为工薪族有关，此推断犯错误的概率不大于；
当时，的取值为，，，，．
由可知市民的满意度和不满意度的概率分别为和，
所以，，
，
，
，
所以的分布列为：
所以；
由上可得
，
令，，
，，
得，，
，
当趋向于正无穷大时趋向于，可以理解为平均每抽取个人，就会有一个不满意的市民．
【解析】本题考查独立性检验，离散型随机变量的分布列和数学期望，错位相减求和，是较难题．
根据题意，补全列联表，根据公式计算出的值即可得到答案；
当时，的取值为，，，，，利用独立事件的乘法公式计算分别求出对应的概率，即可得分布列与期望；
结合可得到的数学期望，利用错位相减法化简即可．
22.【答案】，
设，
当时，，，在上单调递减；
当时，由得或，
记，
则
因，
所以当时，，
当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
不妨设，由已知得，，即，，
，
，
要证，即要证，只需证，
只需证，即要证，
设，则，只需证，
设，只需证，
，
在上单调递增，
，得证．
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，属较难题．
求出，分和讨论函数的单调性；
由和，得出，要证转化为要证，令，构造函数设，利用导数研究函数的单调性可证得结论．