重庆市南岸区2022-2023学年高二下学期期末数学试题（含答案）

2022-2023学年（下）期末考试
高2024届数学试题
考试说明：1．考试时间120分钟
2．试题总分150分
3．试卷页数5页
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若函数，则（ ）
A．－3 B．－1 C．3 D．4
2．由1，2，3，4这4个数组成无重复数字的四位数且为偶数，共有多少种排法（ ）
A．12 B．24 C．48 D．256
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数在闭区间上的最大值、最小值分别是（ ）
A．2，0 B．2，－16 C．4，－16 D．10，－18
5．端午节为每年农历五月初五，又称端阳节、午日节、五月节等．端午节是中国汉族人民纪念屈原的传统节日，以围绕才华横溢、遗世独立的楚国大夫屈原而展开，传播至华夏各地，民俗文化共享，屈原之名人尽皆知，追怀华夏民族的高洁情怀．小华的妈妈为小华煮了8个粽子，其中5个甜茶粽和3个艾香粽，小华随机取出两个，事件A“取到的两个为同一种馅”．事件B“取到的两个都是艾香粽”，则（ ）
A． B． C． D．
6．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．2022年北京冬奥会结束了，有7名志愿者合影留念，计划站成一横排，但甲不站最左端，乙不站最右端，丙不站正中间．则理论上他们的排法有（ ）
A．3864种 B．3216种 C．3144种 D．2952种
8．已知，为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对但不全得2分．
9．给出下列命题，其中正确命题是（ ）
A．若样本数据，，，（数据各不相同）的平均数为2，则样本数据，，，的平均数为3
B．随机变量X的方差为，则
C．随机变量X服从正态分布，，则
D．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次，用X表示出现正面向上的次数，则
10．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
11．小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分．现3人共进行了4次游戏，每次游戏互不影响，记小明4次游戏得分之和为X，则下列结论正确的是（ ）
A．每次游戏中小明得1分的概率是 B．X的均值是2
C．X的均值是3 D．X的标准差是
12．已知直线与曲线相交于，两点，与相交于B，C两点，，B，C的横坐标分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为______．
14．某市政府调查市民收入增减与旅游需求的关系时，采用独立性检验法抽查了5000人，计算发现，根据这一数据，市政府断言市民收入增减与旅游需求有关的可信度是______%．
附：常用小概率值和临界值表：
α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
15．已知直线l：是函数与函数的公切线，若是直线l与函数相切的切点，则______．
16．有穷数列满足，且，，成等比数列．若，，则满足条件的不同数列的个数为______．
四、解答题：17题10分，其余各题12分．共70分．
17．为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情，某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的概率为，高一年级胜高三年级的概率为．且每轮对抗赛的成绩互不影响．
（1）若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛．求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率；
（2）若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止．否则开始新一轮对抗但对抗不超过5轮．求对抗赛轮数X的分布列与数学期望．
18．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上取得最小值4，求m的值．
19．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）具有较强的相关性，且两者之间有如下对应数据：
2 4 5 6 8
28 36 52 56 78
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）根据（1）中的线性回归方程，当广告费支出为10万元时，预测销售额是多少？
参考数据：，，．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，．
20．已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围．
21．某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送元旦礼品．而每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个．
（1）记事件：一次性购买n个甲系列盲盒后集齐，，玩偶；事件：一次性购买，n个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；
（2）礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第n次购买甲系列的概率为．
①；
②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．
22．已知函数
（1）当，求的最小值；
（2）令，若存在使得，求证
2022-2023学年（下）期末考试
高2024届数学参考答案及评分标准
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A B C B D B D BCD ABC ACD ACD
二、填空题
13． 14．90 15． 16．32
三、解答题
17．（1）由题意，知高三年级胜高二年级的概率为．
设高三年级在4轮对抗赛中有x轮胜出，“至少有3轮胜出”的概率为P，则
（2）由题意可知，3，4，5，
则，，
，
，
故X的分布列为
X 2 3 4 5
P
18．（1）当时，，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
综上，函数的递增区间为，递减区间为
（2）
①当时，，，在单调递增，
，解得不满足，故舍去
②当时，时，，单调递减
时，，单调递增，
解得，不满足．故舍去
③当时，，，在单调递减，
．
解得，满足，综上：
19．（1），，
∴
因此所求回归直线方程为
（2）当时，万元
答：当广告费支出为10万元时，预测销售额大约为92.5万元
20．（1）函数的定义域为，求导得
，
而，当时，由得，由得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，由得，由得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）当时，由（1）知，函数在上单调递增，而，则
，
任意，存在，使等价于，恒成立，则有，成立，令，，
则，当时，，当时，，
即有在上单调递增，在上单调递减，，
因此当时，最大值为，则，
所以实数m的取值范围是
21．（1）由题意基本事件共有：种情况，其中集齐，，玩偶共有3类．
，，玩偶中，每个均出现两次，共有种；
，，玩偶中，一个出现一次，一个出现两次，一个出现三次，共种
，，玩偶中，两个出现一次，另一个出现四次，共种
故
又根据题意，一次性购买5个乙系列盲盒没有聚齐，玩偶的概率，即
所以
（2）①由题意可知：，当时，，所以
故是以为首项，为公比的等比数列，所以．
②因为每天购买盲盒的100人都已购买过很多次，
所以，对于每一个人来说，某天来购买盲盒时，可以看作n趋向无穷大，
所以购买甲系列的概率近似于，假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则，所以，即购买甲系列的人数的期望为40．
所以礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个．
22（1），在单调递增，
且，∴在递减，在递增 ∴的最小值
，∴，∴，，
∴令 ∴ ∴
∴，
令
则 ∴在上单调递增，∴ ∴ ∴ ∴