2022-2023学年山东省聊城市东阿三中等四校联考七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省聊城市东阿三中等四校联考七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是( )
A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短
C. 垂线段最短 D. 连接两点的线段叫做两点的距离
2. 若关于，的方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为( )
A. B. C. D.
3. 已知三条线段长分别为、、，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. 如图，下面说法正确的是( )
A. 小红家在广场东偏北方向上，距离米处
B. 广场在学校南偏东方向上，距离米处
C. 广场在小红家东偏北方向上，距离米处
D. 学校在广场北偏西方向上，距离米处
5. 某品牌手机上使用芯片，，则用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
6. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
7. 下列从左到右是因式分解且正确的是( )
A. B.
C. D.
8. 若点在第二象限，且到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
9. 若的结果中不含项，则的值为( )
A. B. C. D.
10. 如图，作一边上的高，下列画法正确的是( )
A. B.
C. D.
11. 在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形如图甲，把余下的部分拼成一个长方形如图乙，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( )
A. B.
C. D.
12. 如图，在中，是边上任意一点，、、分别是、、的中点，，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13. 计算：______．
14. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值为______ ．
15. 若一个多边形的外角和比这个多边形的内角和小，则这个多边形的边数为______．
16. 已知，，______．
17. 如图，直线，含角的直角三角板的直角顶点在直线上，若，则的度数为______
三、解答题（本大题共7小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
计算：
．
19. 本小题分
解方程组：；
解方程组：．
20. 本小题分
因式分解：
；
．
；
．
21. 本小题分
先化简，再求值：，其中，．
22. 本小题分
随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具某汽车店计划购进一批新能源汽车进行销售据了解，购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车的共需万元；购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车的共需万元．
问、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？
若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车两种型号的汽车均购买，销售辆型汽车可获利万元，销售辆型汽车可获利万元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司的共有几种购买方案？最大利润是多少万元？
23. 本小题分
如图，在直角坐标平面内，点、、都是格点
写出图中点、、的坐标是： ______， ______， ______．
的面积是______．
如果点在轴上，且，那么点的坐标是______．
24. 本小题分
探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如下图，弹弓的两边可看成是平行的，即，各活动小组探索与，之间的数量关系．
已知，点不在直线和直线上，在图中，智慧小组发现：．
智慧小组是这样思考的：过点作
请你按照智慧小组作的辅助线补全推理过程．
类比思考：
在图中，与、之间的数量关系为______；
如图，已知，则、、之间的数量关系为______．
解决问题：善思小组提出：如图，，、分别平分、请分别求出图、图中，与之间的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．
故选：．
根据公理“两点确定一条直线”来解答即可．
此题考查的是直线的性质在实际生活中的运用，此类题目有利于培养学生生活联系实际的能力．
2.【答案】
【解析】解：联立得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
把，代入得：，
解得：．
故选：．
联立不含的方程求出与的值，进而求出的值即可．
此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：三条线段长分别为、、，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，
，
即的取值范围是：．
故选：．
根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进而得出答案．
本题考查了三角形的三边关系．用两条较短的线段相加，如果不大于最长那条边就不能够组成三角形．
4.【答案】
【解析】解：、小红家在广场南偏西方向上，距离米处，故A不符合题意；
B、广场在学校北偏西方向上，距离米处，故B不符合题意；
C、广场在小红家东偏北方向上，距离米处，故C符合题意；
D、学校在广场南偏东方向上，距离米处，故D不符合题意；
故选：．
根据方向角的定义，即可解答．
本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：．
．
．
故选：．
绝对值小于的数用科学记数法表示时，一般形式为其中的值由原数左边起第一个不为零数字前面的的个数决定．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为其中，的值由原数左边起第一个不为的数字前面的的个数所决定．
6.【答案】
【解析】解：，
选项的运算不正确，不合题意；
，
选项的运算不正确，不合题意；
，
选项的运算不正确，不合题意；
，
选项的运算正确，符合题意．
故选：．
A、利用同底数幂的乘法法则计算判断即可；、利用幂的乘方与积的乘方的运算法则计算判断即可；、利用同底数幂的除法法则计算判断即可；、根据积的乘方与幂的乘方法则的逆用计算判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂的除法法则，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：中，错误，故不符合要求；
中，不是因式分解，错误，故不符合要求；
中，不是因式分解，错误，故不符合要求；
中，正确，故符合要求．
故选：．
根据因式分解的定义以及因式分解的方法进行判断即可．
本题考查了因式分解的定义，公式法、提公因式法进行因式分解．解题的关键在于熟练掌握因式分解的定义与方法．
8.【答案】
【解析】解：点到轴的距离是，到轴的距离是，
点的横坐标的绝对值为，纵坐标的绝对值为，
又点在第二象限，
点的坐标为．
故选：．
根据到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值进行求解即可．
本题考查了平面直角坐标系各象限坐标符号的特征和点到坐标轴的距离，掌握各象限坐标符号的特征和点到坐标轴的距离是关键．
9.【答案】
【解析】解：
，
的结果中不含项，
，
解得：．
故选：．
先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，由题可得含的平方的项的系数为，求出即可．
本题考查了多项式乘以多项式，能熟练地运用法则进行化简是解此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：选项C中，线段的边上的高．
故选：．
根据三角形的高的定义，判断即可．
本题考查作图基本作图，三角形的角平分线，中线和高等知识，解题的关键是理解三角形的高的定义，属于中考常考题型．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平方差公式的几何背景：利用几何方法证明平方差公式．
图甲中阴影部分的面积为两正方形的面积之差，即为，图乙中阴影部分为边长分别为和，其面积为，利用据两个图形中阴影部分的面积相等即可得到平方差公式．
【解答】
解：因为图甲中阴影部分的面积，图乙中阴影部分的面积，
而两个图形中阴影部分的面积相等，
所以．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：连接，如图所示：
点是的中点，
，，
，
，
点是的中点，
，
点是的中点，
．
故选：．
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
13.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
根据零次幂和绝对值的意义，进行计算即可．
本题考查零次幂和绝对值的性质，掌握零次幂和绝对值的性质是正确计算的前提．
14.【答案】
【解析】解：点在轴上，
，
解得．
故答案为：．
直接利用轴上点的纵坐标点得出，进而得出答案．
此题主要考查了点的坐标，熟知轴上的点的纵坐标为零是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：设这个多边形的边数为，
，
解得：．
故答案为：．
设这个多边形的边数为，根据题意列出方程，解方程即可．
本题考查了多边形的内角与外角，考查方程思想，掌握边形的内角和，外角和是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，
当，时，
原式
．
故答案为：．
利用完全平方公式的变形，整体代入求解即可．
本题考查了完全平方公式，掌握“”是解决本题的关键．
17.【答案】
【解析】解：如图：
，，
，
直线，
．
故答案为：．
根据平角等于列式计算得到，根据两直线平行，同位角相等可得．
本题主要考查了平行线的性质，熟记平行线的性质并准确识图是解题的关键．
18.【答案】解：
；
．
【解析】先算幂的乘方，多项式乘多项式，再算除法，最后合并同类项即可；
可利用平方差公式及完全平方公式对所求的式子进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19.【答案】解：得：
，
解得，
把代入得：
，
解得，
方程组的解为；
由得，
得：，
得：，
解得，
把代入得：
，
解得，
方程组的解为．
【解析】用加减消元法，先消去，求出的值，再代入可得的值，即可得到答案；
先化简，再用加减消元法，先消去，求出的值，然后代入可得的值，即可得到答案；
本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法，把二元化为一元进行解答．
20.【答案】解：
；
；
；
．
【解析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
原式变形后，提取公因式即可；
原式利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
21.【答案】解：原式
．
当，时，
原式．
【解析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是能熟练运用完全平方公式、平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则，本题属于基础题型．
根据整式的混合运算的法则进行化简，然后将与的值代入原式即可求出答案．
22.【答案】解：设种型号的新能源汽车每辆进价为万元，种型号的新能源汽车每辆进价为万元，
根据题意得：，
解得：．
答：种型号的新能源汽车每辆进价为万元，种型号的新能源汽车每辆进价为万元；
设购买辆种型号的新能源汽车，辆种型号的新能源汽车，
根据题意得：，
，
，均为正整数，
或或或，
该公司共有四种购买方案．
当，时，获得的利润为万元；
当，时，获得的利润为万元；
当，时，获得的利润为万元；
当，时，获得的利润为万元．
，
最大利润是万元．
【解析】设种型号的新能源汽车每辆进价为万元，种型号的新能源汽车每辆进价为万元，根据“购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车的共需万元；购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车的共需万元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买辆种型号的新能源汽车，辆种型号的新能源汽车，利用总价单价数量，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出该公司共有四种购买方案，再求出各方案可获得的利润，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
23.【答案】 或
【解析】解：，，；
故答案为：，，；
．
故答案为：；
，，
，
设点的坐标为，
，
，
解得或，
的坐标是或．
故答案为：或．
根据平面直角坐标系中点的位置直接写出点的坐标即可；
利用割补法求出的面积即可；
设点的坐标为，根据列出方程求出即可．
本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，利用割补法求出的面积是解题的关键．
24.【答案】
【解析】解：探索发现：，，
，
，，
，
；
类比思考：；理由如下：
过点作，延长到，延长到，如图所示：
，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
；理由如下：
过点作，如图所示：
，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
解决问题：如图，；理由如下：
过点作，过点作，如图所示：
，，
平分，
，
，
，，，
，，
，，
平分，
，
，
，，
，
故答案为：；
如图，；理由如下：
过点作，过点作，延长到，延长到，如图所示：
，，
平分，
，
，
，，，
，，
，，
平分，
，
，
，，
，，
，
即，
．
探索发现：由，，推出，得出，，推出，即可得出结论；
类比思考：过点作，延长到，延长到，由平行线的性质得出，由，，推出，得出，则，即可得出结果；
过点作，由平行线的性质得出，由，，推出，得出，即可得出结果；
解决问题：如图，过点作，过点作，由平行线的性质得出，，由角平分线的性质得出，即，由，，，推出，，得出，，由角平分线的性质得出，即，推出，，即可得出结果；
如图，过点作，过点作，延长到，延长到，由平行线的性质得出，，由角平分线的性质得出，即，由，，，推出，，得出，，由角平分线的性质得出，即，由，，得出，，即可得出结果．
本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质、平角的定义等知识，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
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