7.1为什么要证明 同步练习（含答案）北师大版数学八年级上册

7.1 为什么要证明
一、单选题
1．甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．某中学新来了三位年轻老师，蔡老师、朱老师、孙老师，他们每人分别教生物、物理、英语、政治、历史和数学六科中的两科课程．其中，三个人有以下关系：
①物理老师和政治老师是邻居；
②蔡老师在三人中年龄最小；
③孙老师、生物老师和政治老师三人经常一起从学校回家；
④生物老师比数学老师年龄要大些；
⑤在双休日，英语老师、数学老师和蔡老师三人经常一起打排球．
根据以上条件，可以推出朱老师可能教（ ）
A．历史和生物 B．物理和数学 C．英语和生物 D．政治和数学
3．甲、乙、丙三人进行跑步比赛，A、B、C三人对赛后结果进行预测，A说：“甲肯定是第一名。”B说：“甲不是最后一名。”C说：“甲肯定不是第一名。”其中只有一人对比赛结果的预测是对的，预测对的是（ ）
A．C B．A C．B D．都不对
4．下列几个命题中正确的个数为（ ）
①“掷一枚均匀骰子，朝上点数为负”为必然事件（骰子上各面点数依次为1，2，3，4，5，6）；
②5名同学的语文成绩为90，92，92，98，103，则他们的平均分为95，众数为92；
③射击运动员甲、乙分别射击10次，算得甲击中环数的方差为4，乙击中环数的方差为16，则这一过程中乙较甲更稳定；
④某部门15名员工个人年创利润统计表如下，其中有一栏被污渍弄脏看不清数据，所以对于“该部门员工个人年创利润的中位数为5万元”的说法无法判断对错.
个人年创利润/万元 10 8 5 3
员工人数 1 3 4
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列问题你不能肯定的是（ ）
A．一支铅笔和一瓶矿泉水的体积大小问题 B．三角形与矩形的面积关系
C．三角形的内角和 D．边形的外角和
6．下列推理正确的是（ ）
A．弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大了5岁，因为弟弟明年比今年长了1岁
B．如果a>b，b>c，那么a>c
C．∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小差不多
D．因为对顶角相等，所以相等的角必是对顶角
7． 下列结论，你能肯定的是（ ）
A．今天是阴天，明天必然还是阴天
B．三个连续整数的积一定能被6整除
C．小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中他必然能获得一等奖
D．两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必然是同一张底片冲洗出来的
8．下列结论推理合理的是（ ）
A．王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等
B．因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题
C．因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好
D．因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多
9．小明花整数元网购了一本《趣数学》，让同学们猜书的价格．甲说：“至少15元”，乙说“至多13元”，丙说：“至多10元”．小明说：“你们都猜错了．”则这本书的价格为（　　）
A．12元 B．13元 C．14元 D．无法确定
10．最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（　　）
A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子
11．小英、小亮、小明和小华四名同学参加了“学用杯”竞赛选拔赛，小亮和小华两个同学的得分和等于小明和小英的得分和；小英与小亮的得分和大于小明和小华的得分和，小华的得分超过小明与小亮的得分和．则这四位同学的得分由大到小的顺序是（　　）
A．小明，小亮，小华，小英 B．小华，小明，小亮，小英
C．小英，小华，小亮，小明 D．小亮，小英，小华，小明
二、填空题
12.为了说明“两个无理数的和是无理数”是错误的，可举两个无理数________和________，显然它们的和是有理数．
13.已知是锐角，在计算的值时，小明的结果是20°，小丽的结果是30°，小芳的结果是35°，小静的结果是40°,他们四人的结果有一个是正确的，那么________的结果是正确的．
14.现有五名同学，他们分别来自一中、二中、三中．已知：（1）每所学校至少有他们中的一名学生；（2）在二中的联欢会上，作为被邀请的客人演奏了小提琴；（3）过去曾在三中学习，后来转学了，现在同在同一个班学习；（4）是同一所学校的三好学生．根据以上叙述，可以判断所在的学校为_________．
15．四位同学参加数学知识竞赛活动，分别获得第一、二、三、四名，大家猜测谁得第几名时，明明说：“甲得第一，乙得第二”；文文说：“甲得第二，丁得第四”；凡凡说：“丙得第二，丁得第三”．名次公布后，他们每人都只猜对了一半，那么甲、乙、丙、丁的名次顺序为　 　．（按一、二、三、四的名次排序）
16．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是　 　．
17．某中学秉持“尊重自由、激发自觉”的教育理念，开展了丰富多彩的第二课堂及各种有趣有益的竞赛活动．其中“小棋王”争霸赛得到同学们的踊跃参与，经过初选、复试最后十位同学进入决赛这十位同学进行单循环比赛（每两人均赛一局），胜一局得2分、平局得1分、负一局得0分，最后按照每人的累计得分的多少进行排名，得分最高者就是第一名，以此类推．赛完后发现每人最后得分均不相同，第一名和第二名的同学均没负一局，他们两人的得分之和比第三名同学多20分，第四名同学的得分刚好是最后四名同学得分的总和，则第五名的同学得分为　 　分．
18．为了从2018枚外形相同的金蛋中找出唯一的有奖金蛋，检查员将这些金蛋按1﹣2018的顺序进行标号．第一次先取出编号为单数的金蛋，发现其中没有有奖金蛋，他将剩下的金蛋在原来的位置上又按1﹣1009编了号（即原来的2号变为1号，原来的4号变为2号……原来的2018号变为1009号），又从中取出新的编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现有奖金蛋……如此下去，检查到最后一枚金蛋才是有奖金蛋，问这枚有奖金蛋最初的编号是　 　．
19．甲、乙、丙三人相约进行一场田径比赛，在赛前约定三人都必须参加相同项目的比赛并决出第一、二、三名（没有同名次），每项比赛第一、二、三名的得分依次记为5、2、1分，谁累计得分最多，谁就是优胜，比赛一开始，甲获得了铅球第一名，但谁也不甘示弱，三个人你追我赶，100米、跳高、……比赛在热烈的气氛中一项接着一项进行下去，最后，乙经过超强的努力获得了优胜，累计得分22分，而甲和丙都各得9分．下列四个结论：
①获得铅球第二名的是乙；
②甲获得第三名的次数与丙获得第二名的次数一样多；
③甲获得第一名1次，第二名1次，第三名2次；
④获得100米第二名的是甲．
其中正确结论的序号是　 　．（填所有正确结论的序号）
20.如图，观察所给算式，找出规律:
1+2+1=4，
1+2+3+2+1=9，
1+2+3+4+3+2+1=16，
1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，
……
根据规律计算1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=____________
三、解答题
21．在学习中，小明发现：当n＝1，2，3时，n2﹣6n的值都是负数．于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2﹣6n的值都是负数．小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由．
22．甲、乙、丙三人中一个是教师，一个是护士．一个是工人．现在只知道丙比工人年龄大，甲和护士不同岁，护士比乙年龄小．请你猜猜他们当中谁是教师，并说明理由．
23．从前有一个国王，他企图谋杀一个大臣．国王对这个大臣说：“我已经写好了两个阄，一个写有“杀’字，另一个写有‘赦’字．你从里面抓一个，抓到哪一个，我就按上面的方法处置你．”这位聪明的大臣已事先得知两个阄上写的都是“杀”字，无论他抓到哪一个，都逃脱不了死亡的命运，但这位大臣动用逻辑的方法想出了一个好主意，从而免去了杀身之祸．你知道这位大臣想出的是什么主意吗？他这样做的依据是什么？
24.如图，已知，和的面积相等吗？若在上再取一些点，使其分别和两点构成三角形，那么它们的面积相等吗？不妨验证一下．
25.求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半
（1）在图中按照下面“已知”的要求，画出符合题意的图形，并根据题设和结论，结合图形，用符号语言补充写出“己知”和“求证”．
已知：在锐角中，，______
求证：______
（2）证明上述命题
26.证明“全等三角形的对应角平分线相等”
命题证明应有四个步骤：画出图形，写出已知，求证，及证明过程．把下列证明补完整．
图形：如图所示
已知：
求证：
证明：
答案
一、单选题
D．C．A．A.B.B.B.D．C．A．C．
二、填空题
12.，．
13.小明.
14.一中
15.甲、丙、乙、丁．
16.1和3．
17.11
18.1024．
19.①②．
20.10000．
三、解答题
21.答：不正确．
解法一：（利用反例证明）例如：当n＝7时，n2﹣6n＝7＞0；
解法二：n2﹣6n＝n（n﹣6），当n≥6时，n2﹣6n≥0．
22.解：乙是教师，
理由如下：∵甲和护士不同岁，护士比乙年龄小，
∴甲、乙都不是护士，
∴丙是护士，
∵护士比工人年龄大，护士比乙年龄小，
∴乙不是工人，
∴乙是教师．
23.解：如果两个阄，一个写有“杀”字，另一个写有“赦”字，获得活的可能性为；
如果两个阄上写的都是“杀”字，无论他抓到哪一个都是死，获得活的可能性为0；
这位大臣从里面抓一个阄后吞进肚子里，让别人验看剩下的那个阄，剩下的是个“杀”字，则证明他吞下的是“赦”字，这样他就可以逃脱死亡的命运．
24.解： 和面积相等．
验证；如图，过点作于点，过点作于点．
则根据平行线间的距离相等，得．
因为，，
两个三角形同底等高，所以面积相等．
若在上再取一些点，使其分别和两点构成三角形，那么它们的面积相等．
如图，在上取异于两点的点，过点作于点，则．
和是同底等高，所以面积相等．
故答案为：面积相等，见解析.
25.（1）解：已知：如图，在锐角△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D．
求证：∠DBC＝∠A．
故答案为：BD⊥AC于点D，∠DBC＝∠A．
（2）证明：∵AB＝AC，
∴ ∠ABC＝∠C．
∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴2∠C＝180°－∠A．
即∠C＝（180°－∠A）．
∵BD⊥AC，
∴∠DBC＋∠C＝90°．
∴∠DBC＝90°－∠C＝90°－（180°－∠A）＝∠A．
即等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．
26.已知：如图，△，，分别是和△的角平分线．
求证：．
证明：△，
，，，
∵BD，分分别是和△的角平分线，
，
，
在和△中
∵
△．
．