1.1菱形的性质与判定 同步练习（含答案）北师大版数学九年级上册

1.1 菱形的性质与判定
一、单选题
1．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的大小为（ ）
A．75° B．65°
C．55° D．50°
2．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120° 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为
A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°
3．如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为(　　)
A．2.4cm B．4.8cm C．5cm D．9.6cm
4．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（　　）
A．8 B．7 C．4 D．3
5．已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1：2，则菱形的面积为（　　）
A．8 B．8 C．4 D．2
6．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（　　）
A．18 B．18 C．36 D．36
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA=OB；③∠ADB=∠CDB；④△ABC是等边三角形，其中一定成立的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．①③
8．菱形中，．点、分别在边、上，且．若，则的面积为（ ）．
A. B． C． D．
9．如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC 中，点 D 是边 BC 上的点（与 B、C 两点不重合），过点 D作 DE∥AC，DF∥AB，分别交 AB、AC 于 E、F 两点，下列说法正确的是（ ）
A．若 AD 平分∠BAC，则四边形 AEDF 是菱形
B．若 BD＝CD，则四边形 AEDF 是菱形
C．若 AD 垂直平分 BC，则四边形 AEDF 是矩形
D．若 AD⊥BC，则四边形 AEDF 是矩形
11．如图，在菱形中，相交于，，是线段上一点，则的度数可能是（ ）
A． B． C． D．
12．尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线，已知：如图（1），直线及外一点，求作的垂线，使它经过点，小红的做法如下：
①在直线上任取一点B，连接
②以为圆心，长为半径作弧，交直线于点；
③分别以为圆心， 长为半径作弧，两弧相交于点；
④作直线，直线即为所求如图（2），小红的做题依据是（ ）
A．四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对角线互相垂直
B．直径所对的圆周角是直角
C．直线外一点到这条直线上垂线段最短
D．同圆或等圆中半径相等
13．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（ ）
A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB=CD
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（　　）
A.（4，5） B．（5，4） C．（4，4） D．（5，3）
15．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是边AB、AD的中点，连接EF，若，，则菱形ABCD的面积为　　
A．24 B．20 C．5 D．48
16．如图，在菱形ABCD中，点P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，设点P运动时间为x，△APC的面积为y，则y与x之间的函数图象可能为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
1．如图，菱形中，，，交于点，若是边的中点，，则的长等于__________，的度数为__________．
2.如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为______．
3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF分别与AB、DC相交于E、F两点，若AC＝10，BD＝4，则图中阴影部分的面积等于_____．
4．如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为_____．
5．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是______．
6．如图，已知∠A，以点A为圆心，恰当长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D，继续分别以点B，D为圆心，线段AB长为半径画弧交于点C，连接BC，CD，则所得四边形ABCD为菱形，判定依据是：_____．
7．在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点F为BC中点，过点F作FE⊥BC于点F交BD于点E，连接CE，若∠BDC＝34°，则∠ECA＝_____°．
8．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是__________．
三、解答题
1．如图，已知等腰，，平分，为上一动点，作平行，交于F，在上取一点，使得，连接.
（1）根据题意补全图形；
（2）求证四边形是平行四边形；
（3）若，写出一个的度数，使得四边形是菱形.
2．如图，矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，延长AB到G，使BG＝AB，连接GO并延长，交BC于E，交AD于F，且AC＝2AB，连接AE、CF．求证：四边形AECF是菱形．
3．如图，已知在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC＝8，求菱形ABCD的周长和面积．
4．已知：如图，平行四边形 ABCD的两条对角线相交于点O， E是BO的中点．过B点作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：FB=AO；
（2）当平行四边形 ABCD满足什么条件时，四边形AFBO是菱形？说明理由．
5．在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边的中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD．
（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；
（2）若DF＝8，BC＝6，DB＝5，求 CDBF的面积．
6．如图，在四边形ABCF中，∠ACB＝90°，点E是AB边的中点，点F恰是点E关于AC所在直线的对称点．
(1)证明：四边形CFAE为菱形；
(2)连接EF交AC于点O，若BC＝10，求线段OF的长．
7．如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点、在菱形的对角线上.
（1）求证：；
（2）若为中点，，求菱形的周长．
答案
一、单选题
B．D.B．A．D．B.D．D．C．A．B．A．D．B.A．A．
二、填空题
1.5，16°．
2.2．
3.10.
38．3
4.3.
5.AD=BC．
6．四条边相等的四边形是菱形．
7.22．
8．8
三、解答题
1.（1）补全图形如下：
（2） ，
．
，
．
∵AD平分，
，
，
，
．
，
∴四边形BEFG是平行四边形；
（3），理由如下：
若四边形BEFG是菱形，则有，
，
，
．
∵四边形BEFG是平行四边形，
，
．
2.证明：连接CG，
∵在矩形ABCD中AC＝2AB，
∴∠CAG＝60°，
∵BG＝AB，
∴AG＝AC，
∴△ACG是等边三角形，
∵O为AC的中点，
∴GF⊥AC，
∵在矩形ABCD中，BC‖AD，
∴∠DAC＝∠BCA，AO＝OC，∠AOF＝∠COE＝90°，
∴△AOF≌△COE，
∴CE＝AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
3.∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝8．
∴菱形ABCD的周长＝4×8＝32，
∵BO＝＝4，
∴BD＝2BO＝8，
∴菱形ABCD的面积＝×8×＝32．
4.（1）如图，取BC的中点G，连接EG．
∵E是BO的中点，
∴EG是△BFC的中位线，
∴EG=BF．
同理，EG=OC，
∴BF=OC．
又∵点O是 ABCD的对角线交点，
∴AO=CO，
∴FB=AO；
（2）当平行四边形ABCD是矩形时，四边形AFBO是菱形．
理由：∵BF=AO，BF∥AC，
∴四边形AOBF为平行四边形，
∵平行四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
∴平行四边形AFBO是菱形．
5.（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠ECF＝∠EBD．
∵E是BC中点，
∴CE＝BE．
∵∠CEF＝∠BED，
∴△CEF≌△BED（ASA）．
∴CF＝BD．
∴四边形CDBF是平行四边形；
（2）解：∵四边形CDBF是平行四边形，
∴BE＝BC＝3，DE＝DF＝4，
∴，
∴∠BED＝90°，
∴BC⊥DE，
∴四边形CDBF是菱形，
∴＝BC DF＝×6×8＝24．
6.(1)证明　∵∠ACB＝90°，点E是AB边的中点，
∴CE＝AB＝EA，
∵点F是点E关于AC所在直线的对称点，
∴AE＝AF，CE＝CF，
∴CE＝EA＝AF＝CF，
∴四边形CFAE为菱形；
(2)解　∵四边形CFAE为菱形；
∴OA＝OC，OE＝OF，
∴OE＝BC＝5，
∴OF＝5.
7.（1）∵四边形EFGH是矩形，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴∠GFH=∠EHF，
∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF，
∴∠BFG=∠DHE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF=∠EDH，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG=DE；
（2）连接EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵E为AD中点，
∴AE=ED，
∵BG=DE，
∴AE=BG，AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AB=EG，
∵EG=FH=2，
∴AB=2，
∴菱形ABCD的周长=8．