第七章 平行线的证明 单元复习题 （含解析）北师大版八年级数学上册

北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明 单元复习题
一、选择题
1．下列说法正确的是（　　）
A．过直线上一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．不相交的两条直线叫做平行线
C．直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
2．下列语句是命题的是（　　）
A．作直线AB的垂线 B．在线段AB上取点C
C．垂线段最短吗？ D．同旁内角互补
3．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠2＋∠4＝180°
C．∠1＝∠4 D．∠1＋∠4＝180°
4．如图，.，则的度数为（　　）
A．58° B．112° C．120° D．132°
5．在中，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．下列说法正确的个数有（　　）
①有两组边对应相等，一组角对应相等的两个三角形全等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③三角形的中线把三角形的面积平分；④等腰三角形高所在的直线是对称轴．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列命题中是假命题的是（　　）.
A．同旁内角互补，两直线平行
B．直线，则a与b相交所成的角为直角
C．如果两个角互补，那么这两个角是一个锐角，一个钝角
D．若，，那么
8．下列画出的直线a与b不一定平行的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，，，记，，当时，α与β之间的数量关系为（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，△ABC≌△DEF，若∠A=100°，∠F=47°，则∠E的度数为（　　）
A．100° B．53° C．47° D．33°
二、填空题
11．在说明命题“若|a|＞3，则a＞3”是假命题的反例中，a的值可以是 　 　.
12．如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则∠P＝　 　
13．如图，已知 AB//CF，E为DF的中点，若AB=13cm，CF=7cm，则BD=　 　cm .
14．已知等腰三角形的顶角是底角的4倍，则顶角的度数为　 　.
三、解答题
15．以下是两位同学在复习不等式过程中的对话：
小明说：”不等式a> 2a永远都不会成立，因为如果在这个不等式两边同时除以a，就．会出现1>2这样的错误结论!”
小丽说：“如果a>b，c>d，那么一定会得出a-c>b-d．"
你认为小明的说法　 　(填“正确”或“不正确”)；小丽的说法　 　(填“正确”或“不正确”)，并选择其中一个人判断阐述你的理由(若认为正确，则进行证明；若认为不正确，则给出反例)．
16．如图，C为∠AOB平分线上一点，点D在射线OA上，且OD＝CD.
求证：CD∥OB.
17．已知，如图，，，，求证：.
18．如图，在中，，，平分交于点M，求证：．
四、综合题
19．探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为　 　；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为　 　；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述）：　 　．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
20．如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA.
（1）AB与CD有怎样的位置关系？为什么？
（2）若∠C=50°，求∠CEA的度数.
21．如图，在四边形中，P为边上的一点，.、分别是、的角平分线.
（1）若，则的度数为　 　，的度数为　 　；
（2）求证：；
（3）设，，过点P作一条直线，分别与，所在直线交于点E、F，若，直接写出的长（用含a的代数式表示）
22．如图，在中，，AB的垂直平分线DE分别交AC，AB于点D，E.
（1）若，求的度数：
（2）若且周长为12，求BC的长.
23．问题情境
在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且和直角三角形，，，.
（1）在图1中，，求的度数；
（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值，请写出这个定值，并说明理由；
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A、 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项错误；
B、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故该选项错误；
C、 直线外一点到该直线的所有线段中垂线段最短，故该选项错误；
D、 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线；平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；垂线段的性质可得答案．
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A.作直线AB的垂线为描述性语言，它不是命题，所以A选项不符合题意；
B.在线段AB上取点C为描述性语言，它不是命题，所以B选项不符合题意；
C.垂线段最短吗为疑问句，它不是命题，所以C选项不符合题意；
D.同旁内角互补为命题，所以D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】判断一件事情的语句叫做命题，据此判断即可.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A.由∠1＝∠3，可得直线a与b平行，故A能判定；
B. 如下图，由∠2＋∠4＝180°，∠5＋∠4＝180°，可得∠2＝∠5，故直线a与b平行，故B能判定；
C.由∠1＝∠4，∠4＝∠3，可得∠1＝∠3，故直线a与b平行，故C能判定；
D.由∠1＋∠4＝180°，不能判定直线a与b平行，
故答案为：D．
【分析】根据平行线的判定方法逐项判断即可。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故A正确.
故答案为：A.
【分析】根据二直线平行，同位角相等可得∠3的度数，进而根据对顶角相等可得∠2的度数.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵中，，，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据内角和定理进行计算即可.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：①有两组边对应相等，且夹角对应相等的两个三角形全等，故原命题错误，不符合题意；
②同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故原命题错误，不符合题意；
③三角形的中线把三角形的面积平分，正确，是真命题，符合题意；
④等腰三角形底边上的高所在的直线是对称轴，故原命题错误，不符合题意.
正确的有1个.
故答案为：A.
【分析】根据全等三角形的判定定理可判断①；同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，据此判断②；根据中线的概念结合三角形的面积公式可判断③；根据等腰三角形的性质可判断④.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：根据平行线的判定，可知“同旁内角互补，两直线平行”，是真命题；
根据垂直的定义，可知“直线，则与相交所成的角为直角”，是真命题；
根据互补的性质，可知“两个角互补，这两个角可以是两个直角”，是假命题；
根据垂直的性质和平行线的性质，可知“若，，那么”，是真命题.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的判定定理可判断A；根据垂直的定义可判断B；根据互补的性质可判断C；根据垂直的性质以及平行线的性质可判断D.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：A.直线a与b不一定平行，故本选项符合题意；
B.根据同旁内角互补，两直线平行可得a∥b，故本选项不符合题意；
C.根据同位角相等，两直线平行可得a∥b，故本选项不符合题意；
D.根据同位角相等，两直线平行可得a∥b，故本选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】直接根据平行线的判定定理进行判断即可.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
整理得，，
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的性质可得AB=AC，∠BAO=∠CAD，由等腰三角形的性质可得∠BAC=∠OAD=α，由内角和定理可得∠ABC=(180°-α)，根据平行线的性质可得∠OBC=180°-∠O=90°，即∠ABO+∠ABC=90°，据此求解.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠D=100°，
∴∠E=180°-∠D-∠F=180°-100°-47°=33°.
故答案为：D
【分析】利用全等三角形的对应角相等，可求出∠D的度数，再利用三角形的内角和为180°，可求出∠E的度数.
11．【答案】﹣4（答案不唯一）
【解析】【解答】解：当a＝﹣4时，|a|＝4＞3，而﹣4＜﹣3，
∴“|a|＞3，则a＞3”是假命题，
故答案为：﹣4（答案不唯一）.
【分析】原命题为假命题时，应满足|a|>3，但a≤3，据此解答.
12．【答案】90°
【解析】【解答】解：根据点P到AB、BC、CD的距离相等可得：BP平分∠ABC，CP平分∠BCD，根据平行线的性质可得：∠ABC+∠BCD=180°，则∠PBC+∠PCB=90°，则∠P=90°．
【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得BP、CP分别是和的平分线，再根据两直线平行，同旁内角互补和角平分线的定义解答即可。
13．【答案】6
【解析】【解答】解：∵ABCF，
∴∠ADE=∠CFE，
∵E为DF的中点，
∴DE=EF，
在△ADE和△CFE中，
∵，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AD=CF=7cm，
∵AB=13cm，
∴BD=13-7=6cm.
故答案为：6.
【分析】根据平行线的性质可得∠ADE=∠CFE，由中点的概念可得DE=EF，利用ASA证明△ADE≌△CFE，得到AD=CF=7cm，然后根据BD=AB-AD进行计算.
14．【答案】120°
【解析】【解答】解：设底角的度数为x，则顶角的度数为4x，根据题意得：
x+x+4x=180
解得：x=30.
当x=30时，顶角=4x=4×30°=120°.
故答案为120°.
【分析】设底角的度数为x，则顶角的度数为4x，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得x+x+4x=180，求出x的度数，进而可得顶角的度数.
15．【答案】不正确；不正确
【解析】【解答】这种说法不对．理由如下：
①小明的说法：
当a＜0时，由1＜2得a＞2a．
故小明的说法不正确；
②小丽的说法：
设a＝2，b＝1，c＝3，d＝﹣3，
则符合题设条件，
此时a﹣c＜b﹣d，
故小丽的说法不正确
【分析】根据不等式的性质进行解答
16．【答案】证明：∵OD＝CD，
∴∠DOC＝∠DCO，
∵OC平分∠AOB，
∴∠DOC＝∠BOC，
∴∠BOC＝∠DCO，
∴DC∥OB.
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得∠DOC＝∠DCO，由角平分线的概念可得∠DOC＝∠BOC，则 ∠BOC＝∠DCO，然后根据平行线的判定定理进行证明.
17．【答案】证明：∵，
∴，
在和中，，
∴.
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠CAB=∠E，由已知条件可知∠ACB=∠D，AB=AE，然后根据全等三角形的判定定理进行证明.
18．【答案】证明：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】先求出∠ABC的度数，再利用角平分线的定义可得，可得，再利用等角对等边的性质可得。
19．【答案】（1）∠ABC+∠DEF＝180°；∠ABC＝∠DEF；如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补
（2）解：这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．
【解析】【解答】解：（1）①∠ABC+∠DEF＝180°．∠ABC＝∠DEF，
理由：如图1中，∵BC∥EF，∴∠DPB＝∠DEF，∵AB∥DE，
∴∠ABC+∠DPB＝180°，∴∠ABC+∠DEF＝180°．
如图2中，∵BC∥EF，∴∠DPC＝∠DEF，
∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DPC，∴∠ABC＝∠DEF．
②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
(2) 设两个角分别为x和2x-30°，
由题意得：x=2x-30°或x+2x-30°=180°，
解得：x=30°或70°，
∴这两个角的度数为30°和30°或70°和110°．
【分析】(1 )①利用平行线的性质和邻补角的性质逐一进行推导即可得出答案 ；
② 根据①中的结论总结即可；
(2)设两个角分别为x和2x-30°，根据②的结论列出方程x=2x-30°或x+2x-30°=180°，分别求解，即可解答.
20．【答案】（1）解：ABCD，理由如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵∠CAE=∠CEA，
∴∠BAE=∠CEA，
∴ABCD
（2）解：∵∠C=50°，
∴∠CAE+∠CEA=180°-∠C=130°，
∵∠CAE=∠CEA，
∴∠CEA=∠CAE=×130°=65°.
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义并结合已知得∠BAE=∠CEA=∠CAE，进而根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD；
（2）根据三角形的内角和定理可得∠CAE+∠CEA=180°-∠C=130°，进而结合∠CAE=∠CEA即可得出答案.
21．【答案】（1）55°；90°
（2）证明：如图1，延长交的延长线于点，
由（1）得，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，
∴
（3）解：或
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∵、分别是、的角平分线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：55°，90°
（3）解：或，
分两种情况讨论，
①将沿向右平移到，且经过点P，交于点E，交的延长线与点F，则，
由（2）的证明过程，同理可证，
∴，
∴，
∵，，，
∴在中，，
解得，，
由（2）可知，，
∴；
②如图3，若点F在上，，过点P作与点N，与点M.
由角平分线性质定理可得，
在中，，
∴，
则，
在和
∵，，，
由勾股定理可得出，，
∴.
【分析】（1）由平行线的性质可得∠ABC+∠BAD=180°，根据角平分线的概念可得∠ABP=∠ABC，∠BAP=∠BAD=35°，则∠ABP+∠BAP=(∠ABC+∠BAD)=90°，由内角和定理可得∠APB=90°，然后根据∠ABP=90°-∠BAP进行计算；
（2）延长BP交AD的延长线于点G，由（1）得∠APB=90°，利用ASA证明△ABP≌△AGP，得到BA=GA，BP=GP，由平行线的性质可得∠CBP=∠DGP，证明△BCP≌△GDP，得到BC=GD，据此解答；
（3）①将AB沿AD向右平移到EF，且经过点P，交AD于点E，交BC的延长线与点F，则BF=AE，由（2）可得AE=BF=EG，由勾股定理可得AB=5a，由（2）可知AG=AB=5a，据此求解；②若点F在BC上，EF=AB，过点P作PN⊥AD与点N，PM⊥AB与点M，由角平分线性质定理可得PM=PN，根据等面积法可得PM，由勾股定理可得AN、EN，然后根据AE=AN+EN进行解答.
22．【答案】（1）解：，
（2）解：是的垂直平分线
又
周长为
，
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠C=∠ABC，然后利用内角和定理进行计算；
（2）根据垂直平分线的性质可得DA=DB，结合AB=AC可得△CBD的周长为AB+BC=12，据此求解.
23．【答案】（1）解：如图标出，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：定值为：，理由如下：
过点作，
则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
∵平分，
∴，
过点作，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）对图形进行角标注，根据平角的概念可得∠3=180°-∠1-∠BCA=44°，由平行线的性质可得∠2=∠3，据此解答；
（3）过点B作BD∥a，则BD∥a∥b，由平行线的性质可得∠ABD=180°-∠2，∠DBC=∠1，然后根据∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°进行解答；
（3）根据角平分线的概念可得∠BAM=2∠BAC=60°，过点C作CE∥a，则CE∥a∥b，由平行线的性质可得∠2=∠BCE，∠1=∠BAM=60°，则∠ECA=∠CAM=30°，∠2=∠BCE=∠ACB-∠ACE，求出∠2的度数，据此解答.