湖南省邵阳县黄亭市镇中学湘教版八年级数学上册教学课件：23等腰三角形

课件32张PPT。等腰三角形2.3 我们前面已经学习了三角形的一些性质，那么等腰三角形除了具有一般三角形的性质外，还具有哪些特殊的性质呢？ 任意画一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，如图. 作△ABC 关于顶角平分线AD所在直线的轴反射，由于∠1=∠2，AB=AC，因此：
D
射线AB的像是射线AC，
射线AC的像是射线 ；
线段AB的像是线段AC，
线段AC的像是线段 ；
点B的像是点C，
点C的像是点 ；
线段BC的像是线段CB.
从而等腰三角形ABC关于直线 对称.ABABBAD由于点D的像是点D，
因此线段DB的像是线段 ，
从而AD是底边BC上的 .
由于射线DB的像是射线DC，
射线DA的像是射线 ，
因此∠BDA ∠CDA= °，
从而AD是底边BC上的 .
由于射线BA的像是射线CA，
射线BC的像是射线 ，
因此∠B ∠C.DC中线DA=90高CB=由此得到等腰三角形的性质定理： 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线. 等腰三角形的两底角相等( 简称“等边对等角”). 等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称为“三线合一”).因为△ABC是等边三角形，
所以AB=BC=AC，
从而∠C=∠A=∠B.
由三角形内角和定理可得：
∠A=∠B=∠C=60°. 如图，△ABC是等边三角形，那么∠A，∠B，∠C 的大小之间有什么关系呢？由此得到等边三角形的如下性质：等边三角形的三个内角相等，且都等于60°. 由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E
在边BC上，且AD=AE.
求证：BD=CE.证明 作AF⊥BC，垂足为点F，则AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底边上的高，也是底边上的中线.∴ BF=CF，∴ BF-DF=CF-EF，DF=EF，即 BD=CE. 如图的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅锤线上.（1）AD与BC是否垂直，试说明理由.（2）这时BC处于水平位置，为什么？1. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上
的高，∠BAC=49°，BC= 4，求∠BAD的度
数及DC的长.答：∠BAD=24.5°，
DC=2.2. 如图，点P为等边三角形ABC的边BC上一
点，且∠APD= 80°，AD=AP，求∠DPC
的度数.答：∠DPC =20°. 我们知道，等腰三角形的两底角相等，反过来，两个角相等的三角形是等腰三角形吗？ 如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？我测量后发现AB与AC相等.3cm3cm事实上，如图，在△ABC中，∠B=∠C. 沿过点A的直线把∠BAC对折，得∠BAC的平分线AD交BC于点D，则∠1=∠2.又∠B=∠C，由三角形内角和的性质得
∠ADB=∠ADC.沿AD所在直线折叠，由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，所以射线DB与射线DC重合，射线AB与射线AC重合.从而点B与点C重合，于是AB=AC.有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).三个角都是60°的三角形是等边三角形. 由此并且结合三角形内角和定理，还可以得到等边三角形的判定定理：例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E
分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.
求证：△ADE为等腰三角形.证明 ∵AB=AC，∴ ∠B=∠C.又∵ DE∥BC，∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴ ∠ADE=∠AED.于是△ADE为等腰三角形. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC.由三角形内角和定理得
∠A+∠B+∠C= 180°.如果顶角∠A=60°，则∠B+∠C= 180°-60°=120°.又 AB=AC，∴ ∠B=∠C.∴ ∠B=∠C=∠A=60°.∴ △ABC是等边三角形.由此得到另一条等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形例3 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E
分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE.
求证：△ADE是等边三角形.证明 ∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠B=∠C= 60°.∵∠EAD=∠BAC= 60°，又 AD =AE，∴△ADE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）1. 已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和
∠ACB的平分线相交于点O.
求证：△OBC为等腰三角形.∴ ∠DBC =∠ECB，∴ △OBC是等腰三角形.又∵ △ABC是等腰三角形，∴ ∠ABC =∠ACB，2. 已知：如图，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE
交BC的延长线于点E，且∠ACE= 60°.
求证：△ACE是等边三角形.∴ 在△ACE中，∠CAE= 180°- ∠E -∠ACE =60 °又∵∠ACE=60°，∴ ∠BCD=∠E=60°，∴ ∠ACD =∠DCB，∴ ∠ACD=∠DCB=60°，又 ∵ AE∥DC，∴ ∠CAE = ∠ACE=∠E=60° ∴△ACE是等边三角形.3. 已知：如图，AB=BC ，∠CDE= 120°，
DF∥BA，且DF平分∠CDE.
求证：△ABC是等边三角形.∴△ABC是等边三角形.又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.∴ ∠FDC=∠ABC=60°，∴ △ABC是等腰三角形，∴ ∠EDF=∠FDC=60°，又∵DF∥BA，例1 等腰三角形两边长分别是2cm和5cm，则这个三角形周长为（ ）
A.9cm B.12cm
C.9cm或12cm D.14cmB例2 若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A. 50° B. 80°
C. 65°或50° D. 50°或80°D结 束