湖南省邵阳县黄亭市镇中学湘教版八年级数学上册教学课件：25全等三角形

课件73张PPT。全等三角形2.5 如图是两组形状、大小完全相同的图形. 用透明纸描出每组中的一个图形，并剪下来与另一个图形放在一起，它们完全重合吗？我发现它们可以完全重合 我们把能够完全重合的两个图形叫作全等图形.能完全重合的两个三角形叫作全等三角形. 全等三角形中，互相重合的顶点叫作对应顶点， 互相重合的边叫作对应边， 互相重合的角叫作对应角.其中A与A′，B与B′，C与C′是对应顶点；∠A与∠A′，∠B与∠B′，∠C与∠C′是对应角. 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”. 在表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上. 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等. 我们知道，能够完全重合的两条线段是相等的，能够完全重合的两个角是相等的，由此得到：例1 如图，已知△ABC≌△DCB，AB=3，
DB=4，∠A=60°.（1）写出△ABC和△DCB的对应边和对应角；
（2）求AC，DC的长及∠D的度数.解（1）AB与DC，AC与DB，BC与CB是对应边；∠A与∠D，∠ABC与∠DCB，∠ACB与∠DBC是对应角.∴ AC = DB = 4，
DC = AB =3.（2）∵ AC与DB，
AB与DC是全等三角形的对应边，∵∠A与∠D是全等三角形的对应角，∴∠D =∠A = 60°. 如图，已知△ADF≌△CBE，AD=4，BE=3，AF=6，∠A=20°，∠B=120°.（1）找出它们的所有对应边和对应角；
（2）求△ADF的周长及∠BEC的度数.解（1）AF与CE，AD与CB，DF与BE是对应边；∠A与∠C，∠AFD与∠CEB，∠D与∠B是对应角. （2）△ADF的周长是13，∠BEC=40°. 两个三角形满足什么条件就能全等呢？下面我们就来探讨这个问题. 每位同学在纸上的两个不同位置分别画一个三角形，它的一个角为50°，夹这个角的两边分别为2cm，2.5cm. 将这两个三角形叠在一起，它们完全重合吗？由此你能得到什么结论？ 我发现它们完全重合，我猜测：有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等. 下面，我们从以下这几种情形来探讨这个猜测是否为真.所以线段A″B″与 重合，由于旋转不改变图形的形状和大小，根据情形（1），（2）的结论得将△ABC作关于直线BC的轴反射，由于轴反射不改变图形的形状和大小，由此得到判定两个三角形全等的基本事实：
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
通常可简写成“边角边”或“SAS”.例2 已知：如图，AB和CD相交于O，且AO=BO，
CO=DO. 求证：△ACO≌△BDO.∴ △ACO≌△BDO.（SAS）解 △ABO≌△A′B′O，∴AB= A′B′.2. 如图，AD∥BC，AD=BC. 问：△ADC和△CBA
是全等三角形吗？为什么？解 ∵ AD∥BC∴ △ADC≌△CBA. ∴∠DAC=∠BCA， 又 AD=BC，AC公共 3. 已知：如图，AB=AC，点E，F分别是AC，
AB的中点.
求证：BE=CF.解 ∵ AB=AC, 且 E，F分别是
AC，AB中点，∴ △ABE≌△ACF， ∴AF=AE， 又 ∠A公共，∴ BE=CF.由此得到判定两个三角形全等的基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
通常可简写成“角边角”或“ASA”.例3 已知：如图，点A，F，E，C在同一条直线上，
AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D.
求证：△ABE≌△CDF.证明 ∵ AB∥DC，∴ ∠A=∠C.在△ABE和△CDF中，∴ △ABE≌△CDF （ASA）.例4 如图，为测量河宽AB，小军从河岸的A点沿着和
AB垂直的方向走到C点，并在AC的中点E处立一
根标杆，然后从C点沿着与AC垂直的方向走到D
点，使D，E，B恰好在一条直线上. 于是小军
说：“CD的长就是河的宽.”你能说出这个道理吗？图3-35BECD∠A =∠C = 90°，AE = CE，∠AEB =∠CED (对顶角相等)∴ △AEB ≌ △CED.（ASA）∴ AB=CD .(全等三角形的对应边相等)因此，CD的长就是河的宽度.1. 如图，工人师傅不小心把一块三角形玻璃打碎
成三块，现要到玻璃店重新配一块与原来一样
的三角形玻璃，只允许带其中的一块玻璃碎片
去. 请问应带哪块玻璃碎片去？为什么？证明：
△ABC≌△A′B′C′， ∠A =∠A′ ,
∠ACB =∠A′C′B′.∴AC=A′C′证明：
∴ CF=C′F′. 又CF，C′F′分别是∠ACB和∠A′C′B′的平分线，∴ ∠ACF=∠A′C′F′.∴ △ACF≌△A′C′F′∵ ∠A = ∠A′，∠B = ∠B′，∴ ∠C =∠C′.由此得到判定两个三角形全等的定理： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.通常可简写成“角角边”或“AAS”.例5 已知：如图，∠B=∠D，∠1=∠2，
求证：△ABC≌△ADC.证明 ∵∠1 =∠2，∴∠ACB=∠ACD（同角的补角相等）.在△ABC和△ADC中，∴ △ABC≌△ADC （AAS）.例6 已知：如图，点B，F，C，E在同一条直线上，
AC∥FD，∠A=∠D，BF=EC.
求证：△ABC≌△DEF.证明 ∵ AC∥FD，∴∠ACB =∠DFE.∵ BF= EC，∴ BF+FC=EC+FC，即 BC=EF .在△ABC 和△DEF中，∴ △ABC≌△DEF（AAS）.1. 已知：如图，∠1=∠2，AD=AE.
求证：△ADC≌△AEB.∴ △ADC≌△AEB（AAS）.2. 已知：在△ABC中，∠ABC =∠ACB，
BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E.
求证：BD=CE.证明 由题意可知△BEC和△BDC均为直角三角形，∵ 在Rt△BEC和Rt△CDB中，∠ABC =∠ACB ，BC = BC ，∴ Rt△BEC≌ Rt△CDB（AAS）.∠BEC =∠CDB=90° ， 如图，在△ABC和 中，如果 ，
， ，那么△ABC与 全等吗？ 由上述变换性质可知△ABC ≌ ，∴ ∠1=∠2，∠3=∠4.从而∠1+∠3=∠2+∠4，由此可以得到判定两个三角形全等的基本事实：三边分别相等的两个三角形全等.通常可简写成“边边边”或“SSS”.例7 已知：如图，AB=CD ，BC=DA.
求证： ∠B=∠D.∴ △ABC ≌△CDA. (SSS)∴ ∠B =∠D.例8 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E
在BC上，且AD=AE，BE=CD.
求证：△ABD≌△ACE.证明 ∵ BE = CD，∴ BE-DE = CD-DE.即 BD = CE.在△ABD和△ACE中，∴ △ABD≌△ACE （SSS）. 由“边边边”可知，只要三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小也就固定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 如日常生活中的定位锁、房屋的人字梁屋顶等都采用三角形结构，其道理就是运用三角形的稳定性.1. 如图，已知AD=BC，AC=BD.
那么∠1与∠2相等吗？答：相等.
因为 AD=BC，
AC=BD，
AB公共，
所以△ABD≌△BAC (SSS).
所以∠1 =∠2 (全等三角形对应角相等).2. 如图，点A，C，B，D在同一条直线上，
AC=BD，AE=CF，BE=DF.
求证：AE∥CF，BE∥DF.证明 ∵ AC=BD，∴ AC+BC=BD+BC ，即 AB=CD .所以 AE∥CF，BE∥DF.又 AE=CF，BE=DF，所以 △ABE≌△CDF (SSS).
所以 ∠EAB =∠FCD, ∠EBA =∠FDC (全等三角形对应角相等). 满足上述条件画出的△ABC和 一定全等吗？由此你能得出什么结论？ 满足条件的两个三角形不一定全等，由此得出：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等.（2） ∠A=∠A′= 80°，∠B=∠B′= 30°，
∠C=∠C′=70°. 满足上述条件画出的△ABC和 一定全等吗？由此你能得出什么结论？ 满足条件的两个三角形不一定全等，由此得出：三角分别相等的两个三角形不一定全等.例9 已知：如图，AC与BD相交于点O，
且AB= DC，AC = DB.
求证：∠A =∠D.证明 连接BC.在△ABC和△DCB中，∴ △ABC ≌△DCB （SSS）.∴ ∠A =∠D.例10 某地在山区修建高速公路时需挖通一条隧道.
为估测这条隧道的长度（如图），需测出这
座山A，B间的距离，结合所学知识，你能给
出什么好方法吗？解 选择某一合适的地点O，使得从O点能测出AO与BO的长度. 这样就构造出两个三角形.OA′B′1. 已知：如图，AB=AD，BC=DC. 求证：∠B =∠D.证明 如图，连接AC.所以 △ACB≌△ ACD (SSS).所以 ∠B =∠D.2. 如图，在△ABC和△DEC中，已知一些相等的边
或角（见下表），请再补充适当的条件，从而能
运用已学的判定方法来判定△ABC≌△DEC.AB=DE∠B=∠E∠ACB=∠DCEBC=EC 如图，在△ABC与△DEF中，已知条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（ ）.
A.∠B=∠E，BC=EF B. BC=EF，AC=DF
C. ∠A=∠D，∠B=∠E D. ∠A=∠D，BC=EF例1 D例2 如图4.2-2，△ACB≌ ，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（ ）.
A.20° B. 30° C. 35° D. 40°B结 束