湖南省邵阳县黄亭市镇中学湘教版八年级数学上册教学课件：43一元一次不等式的解法

(共34张PPT)
一元一次不等式的解法
本课内容
本节内容
4.3
动脑筋
已知一台升降机的最大载重量是1200kg，在
一名重75kg的工人乘坐的情况下，它最多能装载
多少件25kg重的货物？
本问题中涉及的数量关系是：
设能载x件25kg重的货物，因为升降机最大载重量是1200kg，所以有
75＋25x≤1200. ①
工人重 + 货物重 ≤ 最大载重量.
结论
含有一个未知数，且含未知数的项的次数是1的不等式，称为一元一次不等式.
像75 + 25x ≤1200 这样，
为了求出升降机能装载货物的件数，需要求出满足不等式75＋25x≤1 200的x的值.
如何求呢？
与解一元一次方程类似，我们将根据不等式的基本性质，进行如下步骤：
将①式移项，得
25x ≤ 1200-75，
将②式两边都除以25（即将x的系数化为1），
75+25x≤1200. ①
即 25x ≤ 1125. ②
得 x≤45.
因此，升降机最多装载45件25kg重的货物.
我们把满足一个不等式的未知数的每一个值，称为这个不等式的一个解.
结论
例如，5.4，6， 都是3x>15的解.这样的解有无数个.
结论
我们把一个不等式的解的全体称为这个不等式的解集.
例如 我们用x>5表示3x>15的解集.
结论
求一个不等式的解集的过程称为解不等式.
今后我们在解一元一次不等式时，将利用前面讲述的不等式的基本性质，将原不等式化成形如x ≤a(或xa，x≥a）的不等式，就可得到原不等式的解集.
小提示
例1 解下列一元一次不等式 ：
举
例
（1） 2-5x < 8-6x ；
（2） .
解
（1） 原不等式为2-5x < 8-6x
将同类项放在一起
即，得 x < 6
移项，得 -5x+6x < 8-2
计算结果
解
首先将分母去掉
去括号，得 2x -10 + 6 ≤ 9x
去分母，得 2(x -5)+1×6 ≤ 9x
移项，得 2x - 9x ≤ 10 - 6
去括号
将同类项放在一起
（2） 原不等式为
合并同类项，得： -7x ≤ 4
两边都除以-7，得
x ≥
计算结果
根据不等式性质3
议一议
解一元一次不等式与解一元一次方程的依据和步骤有什么异同点？
它们的依据不相同.解一元一次方程的依据是等式的性质，解一元一次不等式的依据是不等式的性质.
它们的步骤基本相同，都是去分母、去括号、移项、合并同类项、两边都除以未知数的系数.
这些步骤中，要特别注意的是：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向.这是与解一元一次方程不同的地方.
练习
1. 解下列不等式：
（1） -5x ≤ 10 ；
（2）4x -3 < 10x + 7 .
解
（1） 原不等式为 -5x ≤ 10
方程两边同除以-5， x ≥ -2
（2） 原不等式为 4x -3 < 10x + 7
移项，得 4x -10x < 3+7
化简，得 -6x < 10
方程两边同除以 -6， x >
2. 解下列不等式：
（1） 3x -1 > 2(2-5x) ；
（2） .
解
（1） 原不等式为 3x -1 > 2(2-5x)
去括号，得 3x-1 > 4-10x
移项，得 3x+10x > 1+4
化简，得 13x > 5
两边同除以13， x >
（2） 原不等式为
去分母，得 2(x+2)≥ 3(2x-3)
去括号，得 2x+4 ≥ 6x-9
移项，得 2x -6x ≥ -4-9
化简，得 -4x ≥ -13
两边同除以 -4， x ≤
一个不等式的解集常常可以借助数轴直观地表示出来.
先在数轴上标出表示2的点A
则点A右边所有的点表示的数都大于2，而点A左边所有的点表示的数都小于2
因此可以像图那样表示3x>6的解集x>2.
动脑筋
如何在数轴上表示出不等式3x＞6的解集呢？
容易解得不等式3x＞6的解集是x＞2.
0
1
2
3
4
5
6
-1
A
把表示2 的点Ａ 画成空心圆圈，表示解集不包括2.
例2 解不等式12-6x≥2(1-2x)，并把它的解集在
数轴上表示出来 ：
举
例
解
首先将括号去掉
去括号，得 12 -6x ≥ 2-4x
移项，得 -6x+4x ≥ 2-12
将同类项放在一起
合并同类项，得： -2x ≥ -10
两边都除以-2，得 x ≤ 5
根据不等式基本性质2
原不等式的解集在数轴上表示如图所示.
-1
0
1
2
3
4
5
6
解集x≤5中包含5，所以在数轴上将表示5的点画成实心圆点.
举
例
解
解这个不等式，得 x ≤ 6
x≤6在数轴上表示如图所示：
-1
0
1
2
3
4
5
6
根据题意，得 x +2≥ 0
所以，当x≤6时，代数式 x+2的值大于或等于0.
由图可知，满足条件的正整数有 1，2，3，4，5，6.
例3 当x取什么值时，代数式 x+2的值大于或等于0？并求出所有满足条件的正整数.
练习
1. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1） 4x -3 < 2x+7 ；
（2） .
解
（1） 原不等式为 4x -3 < 2x+7
移项，得 4x-2x < 3+7
化简，得 2x < 10
两边同除以2， x < 5
原不等式的解集在数轴上表示为：
-1
0
1
2
3
4
5
6
（2） 原不等式为
去分母，得 2(x-3)≥ (3x+5)
去括号，得 2x-6 ≥ 3x+5
移项，得 2x -3x ≥ 6+5
化简，得 -x ≥ 11
两边同除以 -1， x ≤-11
原不等式的解集在数轴上表示为：
0
-11
2. 先用不等式表示下列数量关系，然后求出它们的解集，并在数轴上表示出来：
（1） x的 大于或等于2；
-1
0
1
2
3
4
5
x ≥ 2
解得 x ≥ 4
解
（2） x与2的和不小于1；
解
x+2 ≥ 1
解得 x ≥ -1
-1
0
1
2
3
4
5
（3） y与1的差不大于0；
y-1 ≤ 0
解得 y ≤ 1
解
-1
0
1
2
3
4
5
（4） y与5的差大于-2；
y-5 > -2
解得 y > 3
解
-1
0
1
2
3
4
5
中考 试题
例1
去分母，得 6+3x≥4x+2.
移项，合并同类项，得 x≤4.
正整数解为 1，2，3，4.
解
求不等式 的正整数解.
首先求出不等式的解集.然后求出正整数解.
分析
中考 试题
例2
已知 且x>y，则k的取值范围是 .
解
①×3-②×2，得 x = 7k+5 . ③
将③代入① ，得
3(7k+5)-2y=3k+1.
化简，整理，得 y=9k+7.
∵ x > y，
∴ 7k+5>9k+7.解之，得k<-1.
∵
①
②
k<-1
中考 试题
例3
解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来.
-2
-1
0
1
2
3
4
去分母，得 6(2x-1)≥10x+1.
去括号，移项，合并同类项得 2x≥7.
解得
这个不等式的解集在数轴上表示如下图：
解
结 束