专题04 充分条件与必要条件-【夯实基础】2023-2024高一数学同步限时训练(人教A版2019必修第一册)（含解析)

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【夯实基础】2023-2024高一数学同步限时训练（新人教A版2019）专题04 充分条件与必要条件
一、单选题
1．（2023·全国·高一假期作业）下列命题：
①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形;
②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形;
③方程的判别式大于0;
④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;
⑤集合 是集合A的子集，且是的子集．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023秋·上海闵行·高一统考期末）已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
3．（2023·全国·高一假期作业）已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
4．（2023秋·湖南永州·高一校考期中）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）下列语句是命题的是（ ）
A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树
C．求证： D．3比5大
6．（2023秋·湖北·高一宜昌市夷陵中学校考期中）设：p：，q：，则p是q成立的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一校考期末）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2023·全国·高一假期作业）已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
9．（2023秋·广东广州·高一广州大学附属中学校联考期末）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·高一假期作业）下列是“四边形是矩形”的充分条件是（ ）
A．四边形的对角线相等
B．四边形的两组对边分别相等
C．四边形有两个内角都为直角
D．四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补
11．（2023秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考阶段练习）已知a，，则“”的一个必要条件是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2021秋·云南昆明·高一校考期末）若，则（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充要条件
C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件
14．（2023秋·安徽合肥·高一校考阶段练习）已知条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
15．（2021秋·广西柳州·高一柳州市第三中学校考阶段练习）(多选)下列语句是命题的是（ ）
A．3是15的约数 B．x2+2x+1≥0
C．4不小于2 D．你准备考北京大学吗
16．（2021秋·河南新乡·高一校考阶段练习）下列各选项中，p是q的充要条件的是（ ）
A．p：或，q：方程有两个不同的实数根
B．p：，q：
C．p：两个三角形相似，q：两个三角形全等
D．p：，q：
17．（2023秋·湖北恩施·高一校考阶段练习）下列四个命题中为真命题的是（ ）
A．“”是“”的既不充分也不必要条件
B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件
C．关于的方程有实数根的充要条件是
D．若集合，则是的充分不必要条件
18．（2023秋·河北石家庄·高一石家庄二中校考期末）有以下四种说法，其中说法正确的是（ ）
A．“是实数”是“是有理数”的必要不充分条件
B．“”是“”的充要条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
19．（2023秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）设全集为U，在下列选项中，是的充要条件的是（ ）
A． B． C． D．
20．（2021秋·湖北十堰·高一统考期末）下列结论正确的有（ ）
A．在中，“是钝角”是“是钝角三角形”的充分不必要条件
B．“，关于的方程有两个不相等的实数根”是真命题
C．“菱形的对角线相等且互相垂直”是真命题
D．若是真命题，则可能是真命题
三、填空题
21．（2023·全国·高一假期作业）下列结论，可作为“两条直线平行”的充要条件的是______．
①同位角相等；②内错角相等；
③同旁内角互补；④同旁内角相等．
22．（2023·全国·高一假期作业）已知A，，则“”是“”的__________条件．
四、解答题
23．（2023秋·河北保定·高一校考阶段练习）指出下列各组命题中，是的什么条件？是的什么条件？
(1)若，，；
(2)或；；
(3)：能被整除，：能被整除．
24．（2021秋·上海长宁·高一上海市复旦中学校考期中）求证：等式对任意实数恒成立的充要条件是.
25．（2021秋·河北唐山·高一唐山一中校考阶段练习）已知，是实数，求证：成立的充要条件是.
26．（2023秋·江苏常州·高一校考阶段练习）已知集合，
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围．
27．（2019秋·天津蓟州·高一校考阶段练习）已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是.
28．（2023秋·山东日照·高一校考阶段练习）已知全集，非空集合，．记，，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
29．（2023秋·四川巴中·高一校考阶段练习）证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
参考答案：
1．C
【分析】根据矩形以及菱形的性质即可判断①②，根据一元二次方程的判别式即可判断③，根据三角形全等的判断即可判断④，根据集合的关系即可判断⑤.
【详解】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确;
对于②，菱形不一定有外接圆，故错误，
对于③，方程的判别式为，故正确，
对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误，
对于⑤，,故正确;
故选：C．
2．A
【分析】由求得或，然后即可得出答案.
【详解】由可得，解得或.
所以“”是“”的充分非必要条件.
故选：A.
3．D
【分析】由题意知，根据子集关系列式解得参数范围即可.
【详解】由题意得，
所以，且等号不能同时成立，解得.
故选：D.
4．A
【分析】根据必要条件的概念得集合之间的包含关系，列不等式组求解即可.
【详解】由得，
即
若是的必要条件,
则，
，解得
故选：A.
5．D
【分析】根据命题的定义逐一判断即可.
【详解】能够判断成立或不成立的陈述句叫命题，只有选项D能够判断出真假，3比5大显然不成立，是假命题，
故选：D
6．C
【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可.
【详解】令，，
由集合间的包含关系可知：集合是集合的真子集，
所以p是q的必要不充分条件，
故选：C.
7．A
【分析】由题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件的定义即可判断
【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场；
即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件
故选：A
8．B
【分析】根据条件及充分条件和必要条件的的确定之间的关系，然后逐一判断命题①②③④即可.
【详解】因为是的的充分不必要条件，所以，推不出，
因为是的的充分条件，所以，
因为是的必要条件，所以，
因为是的必要条件，所以，
因为，，所以，又，，所以是的充要条件，命题①正确，
因为，，，所以，
推不出，故是的充分不必要条件，②正确；
因为，，所以，是的充分条件，命题③错误；
因为，，所以，又，
所以是的充要条件，命题④错误；
故选：B.
9．D
【分析】结合充分条件的定义列出不等式组，求解即可．
【详解】若不等式的一个充分条件为，
则，所以，解得.
则实数的取值范围是.
故选：D.
10．D
【分析】根据矩形的性质，结合充分条件的定义逐个判断即可.
【详解】对A，四边形的对角线相等且平分才是矩形，故A错误；
对B，四边形的两组对边分别相等为平行四边形，故B错误；
对C，四边形有三个内角为直角才是矩形，故C错误；
对D，四边形两组对边分别平行则为平行四边形，则相邻两角互补，又有一组对角互补，
故相邻两角相等，又相邻两角之和为，故相邻两角均为直角，
故该平行四边形是矩形，故D正确.
故选：D.
11．B
【分析】利用否定ACD选项，进而得答案.
【详解】解：对于A选项，当时，，此时，故不是的必要条件，故错误；
对于B选项，当时，成立，反之，不成立，故是的必要条件，故正确；
对于C选项，当时，，但此时，故不是的必要条件，故错误；
对于D选项，当时，，但此时，故故不是的必要条件，故错误.
故选：B
12．C
【分析】利用集合的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】对于A，，且，即是p的不充分不必要条件，A不是；
对于B，，且，即是p的不充分不必要条件，B不是；
对于C， ，即是p的一个充分不必要条件，C是；
对于D， ，即是p的必要不充分条件，D不是.
故选：C
13．C
【解析】根据推出关系依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】对于A，，，则“”是“”的必要不充分条件，A错误；
对于B，，，则“”是“”的充分不必要条件，B错误；
对于C，，，则“”是“”的必要不充分条件，C正确；
对于D，，，则“”是“”的充分不必要条件，D错误.
故选：C.
14．D
【分析】利用集合法，列不等式即可求出a的取值范围.
【详解】由条件p：，规定集合.
由条件q：，规定集合.
要使p是q的充分不必要条件，
只需P Q，所以.
故选：D.
15．ABC
【分析】根据命题的定义逐个判断即可.
【详解】对于A，3能整除15，为真，所以A是命题；
对于B，，为真，所以B是命题；
对于C，，所以“4不小于2”为真，所以C是命题；
对于D，“你准备考北京大学吗 ”是疑问句不是陈述句，且无法判断真假，所以D不是命题.
故选：ABC.
16．AD
【分析】依次判断P与q之间关系即可.
【详解】A选项，若或
则方程判别式，得方程有两个不同的实数根，则.若方程有两个不同的实数根，则
或，则.故p是q的充要条件，故A正确；
B选项，若，则，得，则.
若，则或，则由q不能得到p.故p是q的充分不必要条件，故B错误；
C选项，由两个三角形相似不能得到两个三角形全等，而两个三角形全等可以得到两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件，故C错误；
D选项，由，可得，则.由，可得，则.故p是q的充要条件，故D正确.
故选：AD
17．AC
【分析】根据充要条件、必要条件的定义直接推导可得，注意集合的包含关系与充要条件的关系.
【详解】且，所以A正确；
正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B错误；
一元二次方程有实根则，反之亦然，故C正确；
当集合A=B时，应为充要条件，故D不正确.
故选：AC.
18．AC
【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐个分析即可.
【详解】当是实数时，可能为有理数，可能为无理数，而当为有理数时，一定为实数，所以“是实数”是“是有理数”的必要不充分条件，A正确；
当时，成立，而当时，有可能，所以“”是“”的充分不必要条件，B错误；
当时，成立，而当时，或，所以“”是“”的充分不必要条件，C正确；
当时，成立，而当时，有可能，所以“”是“”的充分不必要条件，D错误；
故选：AC
19．BCD
【分析】利用维恩图解决集合运算问题.
【详解】
由维恩图可知，A不是的充要条件，B，C，D都是的充要条件，
故选：BCD．
20．AB
【解析】对于选项A：分别从充分性和必要性入手分析即可判断；
对于选项B：由，可得，而后作出判断；
对于选项C：菱形的性质是对角线互相垂直且平分但不一定相等，据此作出判断；
对于选项D：命题与命题的否定一定是一真一假，据此作出判断.
【详解】由“是钝角”可以得到“是钝角三角形”，但是“是钝角三角形”不一定得到“是钝角”，A正确；
当，即时，关于的方程有两个不相等的实数根，B正确；
菱形的对角线不一定相等，C错误；
命题与命题的否定一定是一真一假，D错误.
故选：AB.
21．①②③
【分析】直接利用充要条件的定义判断得解.
【详解】由①②③均可推出“两条直线平行”的结论，由“两条直线平行”也可以推出①②③均成立；由④不能推出“两条直线平行”的结论．
所以可作为“两条直线平行”的充要条件的是①②③.
故答案为：①②③
22．充要
【分析】根据集合间的运算即可结合充要条件的定义进行求解.
【详解】由可得,所以，
由得，进而，故“”是“”的充要条件，
故答案为：充要
23．(1)是的充分非必要条件，是的必要非充分条件
(2)是的必要非充分条件，是的充分非必要条件
(3)是的充分非必要条件，是的必要非充分条件
【分析】（1）根据集合的交、并运算以及利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果．
（2）由利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果．
（3）由利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果．
【详解】（1）若，可以推出，反推不一定成立，
所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件；
（2）或，推不出，反推成立，
所以是的必要非充分条件，是的充分非必要条件；
（3）能被整除，推出能被整除，反之不一定成立，
所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件.
24．证明见解析.
【分析】利用充分性和必要性的定义证明即可.
【详解】充分性：
若，则等式显然对任意实数恒成立，充分性成立；
必要性：由于等式对任意实数恒成立，
分别将，，代入可得，
解得，必要性成立，
故等式对任意实数恒成立的充要条件是.
25．证明见解析
【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可得到结论．
【详解】解：先证明充分性：
若，则成立．
所以“”是“”成立的充分条件；
再证明必要性：
若，则，
即，
，
，
，
，
即成立．
所以“”是“”成立的必要条件.
综上：成立的充要条件是．
26．(1)
(2)
【分析】（1）先得到，从而求出并集；
（2）根据必要条件得到不等式组，求出实数a的取值范围.
【详解】（1）当时，，，
所以；
（2），，
因为“”是“”的必要条件，
所以，
解得：
所以实数a的取值范围是.
27．见解析
【解析】根据充要条件的定义进行证明即可．
【详解】（1）必要性：由，得，即，
又由，得，所以.
（2）充分性：由及，
得，即.
综上所述，的充要条件是.
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的证明，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
28．
【分析】已知q是p的必要条件，则，是非空集合，列出不等式即可求出参数的范围.
【详解】解： 已知全集，非空集合，
若q是p的必要条件，则，
是非空集合，
，解得，
实数a的取值范围是
29．证明见解析
【分析】根据充要条件的定义，分别证明充分性和必要性即可求证.
【详解】充分性：若，则关于的方程有一正一负根，证明如下：
当时，，
所以方程有两个不相等的实根，
设两根分别为，，则，所以方程有一正一负根，
故充分性成立，
必要性：若“关于的方程有一正一负根”，则，证明如下：
设方程一正一负根分别为，，则，
所以，所以若“关于的方程有一正一负根”，则，
故必要性成立，
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
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