专题06 等式性质与不等式性质-【夯实基础】2023-2024高一数学同步限时训练(人教A版2019必修第一册)（含解析)

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【夯实基础】2023-2024高一数学同步限时训练（新人教A版2019）专题06 等式性质与不等式性质
一、单选题
1．（2023秋·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中）设、、为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高一假期作业）已知，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·江西赣州·高二校联考期中）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（ ）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y的关系随c而定
4．（2023秋·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校考期末）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·广西·高一校联考期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
6．（2023秋·河南郑州·高一校考阶段练习）已知，，设，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·山东济宁·高一曲阜一中校考期末）已知，，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高一假期作业）下列说法中，错误的是（ ）
A．若，则一定有 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9．（2023秋·福建三明·高一校考阶段练习）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·高一课时练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，， 则 B．若， 则
C．若，， 则 D．若，则
二、多选题
11．（2023秋·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中学校考阶段练习）已知，则下列结论正确的为（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
12．（2023秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）对于实数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，
13．（2023秋·辽宁丹东·高一统考期末）若，，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2023秋·云南昆明·高三云南省昆明市第五中学校考开学考试）已知，，则（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．ab的取值范围为 D．的取值范围为
15．（2023春·云南红河·高一个旧市第三中学校考阶段练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．若则 B．若则
C．若则 D．若则
16．（2023秋·安徽滁州·高一校考阶段练习）已知，，则下列正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
17．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知，，则的取值范围是______．
18．（2023·全国·高一假期作业）对于实数a、b、c，有下列命题：
①若a＞b，则；
②若a＞b，则；
③若a＜b＜0，则；
④若a＜b＜0，则；
⑤若a＜b＜0，则；
⑥若，则ac＜bd.
其中，假命题的序号为______.（写出所有满足要求的命题序号）
19．（2023·全国·高一假期作业）若，则与的大小关系为______．
四、解答题
20．（2023·全国·高一假期作业）比较大小：
(1)和；
(2)和，其中．
21．（2023·全国·高一假期作业）用综合法证明:如果，那么
22．（2023秋·河南·高一河南省实验中学校考阶段练习）（1）已知，且，证明：．
（2）证明：．
23．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈师大附中校考阶段练习）已知，试比较与的大小.
24．（2023春·江西九江·高一德安县第一中学校考期中）（1）已知 ，求证：.
（2）已知，求代数式和的取值范围．
25．（2023秋·广东江门·高一校考期中）（1）已知，，求证：．
（2）比较与的大小．
26．（2023·全国·高一假期作业）已知，，试比较与的大小；
27．（2023·高一课时练习）实数、满足，.
(1)求实数、的取值范围；
(2)求的取值范围．
28．（2023·全国·高一假期作业）证明下列不等式：
(1)已知，求证
(2)已知，求证：．
参考答案：
1．D
【分析】根据不等式的性质判断A、D，利用特例说明B，利用作差法判断C.
【详解】因为、、为实数，且，
所以，，，，故A错误，D正确；
当时，故B错误，
因为，所以，故C错误；
故选：D
2．C
【分析】根据不等式的性质可判断ABD，用特值法可判断C．
【详解】∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d，故A正确；
∵a＞b＞0，c＞d＞0，∴ac＞bd，故B正确；
取，则，此时，故C错误；
∵c＞d＞0，则，又a＞b＞0，则，故D正确．
故选：C．
3．C
【分析】应用作商法比较的大小关系即可.
【详解】由题设，易知x，y＞0，又，
∴x＜y.
故选：C.
4．C
【分析】利用不等式的性质得到的范围，再和的范围相加即可.
【详解】,
，又，
故选：C
5．D
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.
【详解】对于A：当时，，A错误；
对于B：当时，，B错误；
对于C：取满足，，而，此时，C错误；
对于D：当时，则，所以，即，又，所以，D正确.
故选：D.
6．A
【分析】利用作差法判断的正负即可得出结果.
【详解】由题意可知，
当且仅当时，等号成立；
即.
故选：A
7．C
【分析】首先用和表示，再根据条件的范围，求解的范围.
【详解】设，
得，解得：，
所以，
因为，，所以，，
所有的范围是.
故选：C
8．A
【分析】对A举反例即可判断；对B和D，利用不等式基本性质即可判断；对C，利用作差法即可判断.
【详解】对于A，若，则，故A错误.
对于B，由，可知，所以，所以.故B正确.
对于C，，因为，
所以，所以.故C正确.
对于D，因为，所以.又，所以.故D正确.
故选：A.
9．D
【分析】由不等式的性质判断ACD；取特殊值判断B.
【详解】解：对于A，因为，所以，即，故错误；
对于B，取，则，故错误；
对于C，由，得，所以，故错误；
对于D，由，得，所以，故正确.
故选：D.
10．A
【分析】根据不等式的基本性质及特殊值逐项判断即可．
【详解】解：对于A：由不等式的性质得，当，，则，故A正确；
对于B：当时，故B错误；
对于C：当，满足；当，满足，但，故C错误；
对于D：当，满足，但是，故D错误；
故选：A
11．CD
【分析】根据不等式的性质，逐个判断选项即可.
【详解】对于A：当，，则，
若，，，，显然满足，，但是、，此时，故选项A错误；
对于B：因为若，所以，又，则，故选项B错误；
对于C：因为，所以，即，所以，故选项C正确；
对于D：若，则，又因为，所以根据不等式的同向可加性，得，故选项D正确；
故选：CD
12．BC
【分析】利用不等式的性质即可判断选项A、B、C，对D选项取特殊值验证即可.
【详解】对于A，因为，所以，
所以，所以，故A错误；
对于B，因为，所以，，
所以，故B正确；
对于C，因为，所以，，
所以，故C正确；
对于D，取，满足，
而，故D错误.
故选：BC.
13．AD
【分析】根据不等式的性质逐项判断即可.
【详解】对于A，由，则，故A正确；
对于B，，
由，所以，故B错误；
对于C，由，可得，所以，
所以，故C错误；
对于D，，
由，则，即，故D正确.
故选：AD.
14．AC
【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得答案;
【详解】解：因为，，
所以，，，
所以，的取值范围为，的取值范围为，
故A选项正确，B选项错误；
因为，，
所以，，，，
所以，ab的取值范围为，的取值范围为
故C选项正确，D选项错误.
故选：AC
15．AD
【分析】根据不等式的性质逐项检验即可求解.
【详解】对于，因为所以成立，故选项正确；
对于，因为若，，则，故选项错误；
对于，因为若，则，故选项错误；
对于，因为，所以，因为，则，故选项正确，
故选：.
16．AC
【分析】根据不等式的性质逐项分析即得.
【详解】由，可得，又，所以，故A正确；
由，可得，又，所以，故B错误；
由，可得，又，所以，故C正确；
因为，又，所以，故D错误.
故选：AC.
17．
【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】设，
所以，解得，
因为，，则，，
因此，.
故答案为：.
18．①②④⑤⑥
【分析】根据不等式的性质，结合作差法，逐一验证，可得答案.
【详解】对于①，当时，，故①错误；
对于②，当时，不等式无意义，当时，由，可得，故②错误；
对于③，由，则，，即，故③正确；
对于④，由，根据不等式的倒数性质，则，故④错误；
对于⑤，，由，则，即，，所以，故⑤错误；
对于⑥，由，根据不等式的性质，可得，故⑥错误.
故答案为：①②④⑤⑥.
19．
【分析】利用作差法可得出结论.
【详解】，故.
故答案为：.
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用做差法比较大小即可；
（2）利用做差法比较大小即可．
【详解】（1）因为，所以；
（2）因为，所以
，
所以.
21．证明见解析
【分析】根据综合法的要求执因索果，逐步推导证明即可.
【详解】证明:
，即
显然
，即.
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】(1)利用不等式的性质证明即可；
(2)等价于证明++，对不等式两边同时平方后只需证明，再平方即可证明.
【详解】证明：（1）由，且，
所以，且
所以，所以，
即；所以，即．
（2）要证，
只需证，
即证；
即证，
即证；即证，显然成立；
所以．
23．
【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可.
【详解】，
，.
两数作商
，
.
24．（1）证明见解析；（2），
【分析】(1)根据题意，将原式变形化为完全平方式的形式，即可得证；
（2）根据题意，结合不等式的性质及运算即可得到结果.
【详解】（1）
（当且仅当等号成立）
（2）
∴．
由，得①．
由，得②．
25．（1）答案见解析；（2）
【分析】（1）利用不等式的性质即可得证；
（2）利用作差法即可得解．
【详解】（1）∵，∴
又∵，∴．
（2）∵
∴．
26．（当且仅当时取等号）
【分析】结合不等式的基本性质，应用作商比较进行运算，即可求解，得到答案.
【详解】方法一：由题意
，
因为，，所以，，，
所以，当且仅当时等号成立，
所以（当且仅当时取等号）.
方法二：由
，当且仅当时等号成立，
所以（当且仅当时取等号）.
【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中结合不等式的基本性质，熟练应用作商比较进行运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
27．(1)，
(2)
【分析】（1）由，根据不等式的性质计算可得；
（2）求出，再利用不等式的性质得解.
【详解】（1）解：由，，
则，所以，所以，即，
即实数的取值范围为．
因为，
由，
所以，所以，
所以，
∴，
即实数的取值范围为．
（2）解：设，
则，解得，
∴，
∵，．
∴，，
∴，
即的取值范围为．
28．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）（2）利用不等式的基本性质即可证明．
【详解】（1）证明：，，
，，
又因为，即，
所以.
（2）证明：，，；
又，，；
.
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