专题07 基本不等式-【夯实基础】2023-2024高一数学同步限时训练(人教A版2019必修第一册)（含解析)

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【夯实基础】2023-2024高一数学同步限时训练（新人教A版2019）专题07 基本不等式
一、单选题
1．（2023秋·河南·高一校考阶段练习）不等式中，等号成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·高一单元测试）设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高一假期作业）若，则的最值情况是（ ）
A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2
4．（2023·全国·高一假期作业）已知，则当取最大值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·新疆省直辖县级单位·高一校考开学考试）若，，且，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
6．（2023秋·河南南阳·高一校考阶段练习）不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（ ）
A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y
7．（2023秋·上海普陀·高一校考期中）下列不等式中等号可以取到的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023春·湖南·高一桃江县第一中学校联考期中）若正实数、满足，则当取最大值时，的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·吉林四平·四平市实验中学校考模拟预测）已知正实数，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2023秋·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中）的最小值等于（ ）
A．3 B． C．2 D．无最小值
11．（2023·全国·高一假期作业）已知a、b为正实数，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023秋·湖南长沙·高二长郡中学校联考阶段练习）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023秋·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考阶段练习）已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023春·广东深圳·高一深圳外国语学校校考阶段练习）已知，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2
15．（2023秋·安徽安庆·高三校考阶段练习）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是（ ）
A．20 B．25 C．28 D．30
二、多选题
16．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）已知a，，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
17．（2023秋·西藏林芝·高一校考期中）下列命题中正确的是（ ）
A．对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab、a＋b≥2均成立
B．若a≠0，则a＋≥2 ＝4
C．若a，b∈R，则ab≤
D．若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64
18．（2023秋·湖南邵阳·高一武冈市第二中学校考阶段练习）已知正数满足，则下列选项正确的是（ ）
A．的最小值是2 B．的最大值是1
C．的最小值是4 D．的最大值是2
19．（2020秋·福建泉州·高一晋江市第一中学校考阶段练习）若，且，则在四个数中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2023春·河北保定·高一保定一中校考期中）已知，且.则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
21．（2023秋·广东广州·高一校考阶段练习）设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为3 B．的最大值为1
C．的最小值为2 D．的最小值为2
三、填空题
22．（2023·全国·高一假期作业）若，，，则，，2ab，中最大的一个是______．
23．（2023·全国·高一假期作业）用长度为20米的篱笆围成一矩形场地，则矩形的最大面积为__________．
24．（2023·高一课时练习）已知，则与的大小关系是____________
25．（2020秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）已知，，，则的最大值为______．
26．（2023秋·贵州黔东南·高一统考期末）已知正数，满足，则的最小值为___________．
四、解答题
27．（2023·全国·高一假期作业）若，且，求的最小值．
28．（2023·江苏·高一专题练习）已知，，且，求证：.
29．（2020秋·安徽芜湖·高一校考阶段练习）已知，，，求证：.
30．（2023·全国·高一假期作业）如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设AB＝xcm．
(1)若，求x的取值范围；
(2)设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值．
31．（2023秋·山西大同·高一山西省阳高县第一中学校校考期末）已知.
(1)当时，求的最小值；
(2)当时，求的最小值.
32．（2023秋·河南洛阳·高一校考阶段练习）（1）已知，，，求证：；
（2）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：.
33．（2023秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本．
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式；
(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？
34．（2023·高一课时练习）证明：
（1）；
（2）.
35．（2020秋·陕西汉中·高二校联考期中）利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：
36．（2023秋·湖南株洲·高一校考期中）（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
参考答案：
1．D
【分析】利用基本不等式的取等条件即可求解.
【详解】由基本不等式可知，当且仅当，
即时等号成立，
故选：.
2．A
【分析】由基本不等式求得的范围，由二次函数性质求得的最大值后可得结论．
【详解】、为互不相等的正实数，则，
所以，
，时，，
所以．
故选：A．
3．B
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】若，则，
当且仅当即等号成立，
所以若时，有最小值为6，无最大值.
故选：B.
4．B
【分析】由，结合等号成立的条件，即可求解.
【详解】由，可得，
则，当且仅当，即时取等号，
所以时，取得最大值.
故选：B.
5．D
【分析】根据即可求解.
【详解】因为，，且，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为9.
故选:D.
6．B
【分析】由均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，结合此条件即可得解.
【详解】解：由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式成立的前提条件为，即.
故选：B.
7．C
【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案.
【详解】解：对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合；
对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合；
对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合；
对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合.
故选：C.
8．A
【分析】利用基本不等式等号成立的条件可求得取最大值时的值.
【详解】因为正实数、满足，则，可得，
当且仅当时，即当时，等号成立.
故选：A.
9．D
【分析】利用基本不等式由可得，可得充分性不成立；当时可得必要性不成立，即可得出结果.
【详解】根据基本不等式可得，即，可得，
所以充分性不成立；
若，可令满足，此时；
即必要性不成立；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
10．A
【分析】利用基本不等式计算可得.
【详解】因为，则，所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值等于.
故选：A
11．B
【分析】利用基本不等式计算出.
【详解】因为a、b为正实数，
所以，当且仅当时，等号成立，
，所以，当且仅当时，等号成立，
综上：.
故选：B
12．B
【分析】利用不等式的性质及基本不等式比较.
【详解】因为，则，
又，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查不等关系及基本不等式的运用．属于简单题．
13．C
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】，
当且仅当，即时取等号.
所以的最大值为.
故选：C
14．B
【分析】根据基本不等式即可求解最值.
【详解】由于，故，所以，当且仅当，即时等号成立，故最小值为4，
故选：B
15．D
【分析】根据题意得到总运费与总存储费用之和的表达式，利用基本不等式进行求解即可.
【详解】设一年的总运费与总存储费用之和为，显然，
则，当且仅当时取等号，
即时取等号，
故选：D
16．BC
【分析】根据不等式的性质结合基本不等式判断各选项即可确定正误.
【详解】对于A，因为，故当时，不等式不成立，故A不正确；
对于B，因为，所以恒成立，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，因为，所以，当时满足，但，此时，故D不正确.
故选：BC.
17．CD
【分析】根据重要不等式和基本不等式的成立条件判断选项的正误.
【详解】对于A，当，时，才能成立，A错误；
对于B，当时才能使用基本不等式求最小值，B错误；
对于C，因为，所以，即，C正确；
对于D，，，所以，D正确.
故选：CD.
18．AB
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】因为正数满足，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是2，故A正确；
因为正数满足，
所以，
当且仅当时，等号成立，等号成立，
所以的最大值是1，故B正确；
由，得，
当且仅当时，等号成立，等号成立，
所以的最小值是,故C错误；
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值是，故D错误；
故选：AB.
19．ABD
【分析】结合基本不等式，作差法比较大小等讨论求解即可.
【详解】解：由于，则，
又，所以，
又，即.
故选：ABD
20．AC
【分析】结合基本不等式对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】当时，，所以BD选项错误.
A，，当且仅当时，等号成立，A正确.
C，，，当且仅当时，等号成立，C正确.
故选：AC
21．ABD
【分析】根据基本不等式判断．
【详解】因为正实数m、n，
所以，
当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；
由 ，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；
因为，当且仅当m=n=1时取等号，故≤2即最大值为2，C错误；
，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确.
故选：ABD
22．/
【分析】确定，，，得到答案.
【详解】，，，则，，，
综上所述：最大的一个是.
故答案为：
23．
【分析】设矩形场地的长为米，则矩形的宽为米，可得矩形的面积为平方米，利用基本不等式求最值可得答案.
【详解】设矩形场地的长为米，则矩形的宽为米，且，
所以矩形的面积为平方米，
因为，所以，
当且仅当即时等号成立，
所以矩形的最大面积为平方米.
故答案为：平方米.
24．.
【分析】将化为，然后运用基本不等式比较大小.
【详解】∵，∴，，
∴，当且仅当，即时取等号，
故答案为：.
【点睛】本题考查利用基本不等式的运用，属于简单题，将化为是关键.
25．/2.25
【分析】将所求式子化简，进而利用基本不等式即可得到答案.
【详解】因为，，，所以，
所以，当且仅当时取“=”
故答案为：.
26．
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
【详解】因为正数，满足，
则，
当且仅当时等号成立.
所以的最小值为
故答案为：
27．
【分析】根据基本不等式“1”的妙用，求解即可．
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
28．证明见解析
【分析】利用把化为，展开利用基本不等式求最值即可证明.
【详解】因为，，，
所以
，当且仅当，即时等号成立.
故原题得证.
29．证明见解析
【分析】三次利用基本不等式即可得证.
【详解】∵，，，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
同理：，，
当且仅当，时，等号成立，
以上三式相加得：，
当且当且仅当时，等号成立，
所以.
30．(1)
(2)，
【分析】（1）由折叠性质可知，进而可得，再利用勾股定理得到，化简整理求出a，根据，求出x的范围即可；
（2）根据题意可得，，利用基本不等式即可求出S的最大值以及相应的x的值．
【详解】（1）由矩形周长为，可知，设，则∵，∴．
在中，，即，
得，
由题意，，即，
解得，
由得，，∴，
即x的取值范围是．
（2）因为，．
化简得．
∵，∴，
当且仅当，即时，，.
31．(1)16
(2)
【分析】（1）由，得到，进而解不等式即可求解；
（2）由，可得，再用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【详解】（1）当时，，
即，
即，
所以，
即，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为16.
（2）当时，，即，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
32．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）将两两组合，利用基本不等式即可证明；
（2）,利用基本不等式即可证明.
【详解】（1）
，
当且仅当时等号成立，
所以.
（2），
当且仅当时等号成立，
因为a，b，c为不全相等的正实数，
所以.
33．(1)
(2)6万元
【分析】（1）依题意求解即可；
（2）由结合基本不等式求解即可.
【详解】（1） ．
因为，所以
（2）因为 ．
又因为，所以，
所以（当且仅当时取“”）
所以
即当万元时，取最大值30万元．
34．（1）证明见详解；（2）证明见详解；
【分析】（1），利用基本不等式即可证明.
（2），利用基本不等式即可证明.
【详解】（1），
当且仅当时，即时，等号成立.
（2），
当且仅当时取等号，此时，
显然的值不存在，所以等号不成立，
所以.
35．证明见解析
【分析】对不等式左侧每个因式应用基本不等式即可得到结论.
【详解】都是正数，（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；
（当且仅当时取等号），
即.
36．（1）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最短篱笆的长度为；（2）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最大面积是.
【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.
（1）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形周长的最小值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论；
（2）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形面积的最大值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论.
【详解】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.
（1）由已知得，由，可得，所以，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为；
（2）由已知得，则，矩形菜园的面积为.
由，可得，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，在运用基本不等式求最值时，充分利用“积定和最小，和定积最大”的思想求解，同时也要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.
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