专题10 函数的单调性与最大（小）值-【夯实基础】2023-2024高一数学同步限时训练(人教A版2019必修第一册)（含解析)

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【夯实基础】2023-2024高一数学同步限时训练（新人教A版2019）专题10 函数的单调性与最大（小）值
一、单选题
1．（2023·全国·高一假期作业）已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A．是函数的增区间 B．是函数的减区间
C．函数在上是增函数 D．函数在上是减函数
2．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）下列四个函数中，在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·四川乐山·高一校考阶段练习）已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高一假期作业）已知函数是区间内的减函数，则与的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．不确定
5．（2023·全国·高一假期作业）设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·高一课时练习）若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高一假期作业）设函数是上的减函数，则有（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）函数在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是（　　）
A． B．2，5 C．1，2 D．
9．（2021秋·新疆喀什·高一校考期末）函数，的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023春·安徽阜阳·高一安徽省颍上第一中学校考阶段练习）已知函数是定义域为的减函数，若，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·高一课前预习）设函数f(x)是(-∞，+∞)上的减函数，则 （ ）
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)C．f(a2+a)12．（2020秋·福建泉州·高一晋江市第一中学校考阶段练习）下列四个函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2021秋·重庆璧山·高一重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习）已知 在上为增函数，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2023春·湖北荆州·高一统考阶段练习）函数的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
15．（2023·全国·高一假期作业）下列命题正确的是（ ）
A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数
C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同
16．（2023·全国·高一假期作业）已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（ ）
A． B．和
C． D．和
17．（2023·高一课时练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·全国·高一假期作业）函数在上是减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
19．（2023秋·河南郑州·高一郑州市第七中学校考期末），记，则函数（）的最小值是（ ）
A． B． C． D．
20．（2023·全国·高一假期作业）已知函数在上是递减函数，且，则有（ ）
A． B．
C． D．
21．（2023·高一课时练习）若函数在上是增函数，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
22．（2023秋·河南南阳·高一桐柏县实验高中（原:河南省桐柏县实验高级中学）校考阶段练习）已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
23．（2023秋·江苏南京·高一南京市第十三中学校考阶段练习）函数的递减区间为 _____．
24．（2023·全国·高一假期作业）已知是定义在上的减函数，则不等式的解集为________.
25．（2023·全国·高一假期作业）函数在上为增函数，则的取值范围是__________．
26．（2023·全国·高一假期作业）己知函数满足对任意，且，都有成立，则实数a的取值范围是__________．
27．（2023秋·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末）若，则函数在上的值域是______________．
28．（2023秋·广东汕尾·高一统考期末）已知函数，则的单调递增区间为__________.
29．（2023秋·安徽滁州·高一校考阶段练习）的单调增区间是______.
30．（2023·全国·高一假期作业）函数在上是增函数，则实数a的值为__________．
31．（2023秋·浙江杭州·高一杭师大附中校考期中）已知函数，则的单调增区间为______；若则最小值为______．
三、解答题
32．（2023·高一课时练习）设函数的定义域为，如果在上是减函数，在上也是减函数，能不能断定它在上是减函数？如果在上是增函数，在上也是增函数，能不能断定它在上是增函数？
33．（2023·全国·高一假期作业）用定义证明：函数在上是增函数．
34．（2023春·湖北黄冈·高一黄冈中学校联考期中）求证：函数在区间上是减函数．
35．（2023秋·广东肇庆·高一德庆县香山中学校考开学考试）根据定义证明函数在区间上单调递增.
36．（2023秋·浙江杭州·高一校考期中）求下列函数的值域：
(1)；
(2)；
(3).
37．（2023秋·宁夏固原·高一校考期末）函数，
(1)判断单调性并证明，
(2)求最大值和最小值
38．（2023秋·广东佛山·高一校考期中）画出下列函数的图象，并写出单调区间：
(1)；
(2)．
39．（2020秋·福建龙岩·高一校考期中）已知函数.
(1)求的最小值;
(2)求的最大值.
参考答案：
1．C
【分析】根据函数的图像结合函数单调性的含义，即可判断出答案.
【详解】根据函数图像可知函数在上递增，在上递减，故A，B正确；
函数在上也单调递增，但区间和不是连续区间，
并且由图象可知，因此不能说函数在上是增函数，C错误；
由于函数在时有定义，由图象可知，则为函数的一个单调递减区间，
故函数在上是减函数，D正确，
故选：C
2．B
【分析】逐项判断函数的单调性即可求解.
【详解】在上单调递减，故A错误；
在上单调递增，故B正确；
在上单调递减，在上单调递增，故C错误；
在上单调递减，故D错误.
故选:B.
3．B
【分析】根据函数单调性的性质逐一判断即可.
【详解】解：因为函数是上的增函数，函数是上的减函数，
所以函数是上的增函数，
函数是上的减函数，
函数，的单调性无法判断.
故选：B.
4．B
【分析】由已知结合二次函数的性质及函数的单调性即可比较大小．
【详解】因为，
又是区间内的减函数，
所以.
故选：B．
5．A
【分析】根据已知条件确定函数的单调性，进而比较函数值大小即可.
【详解】因为，当时；当时；
所以函数在实数上单调递增，又，所以.
故选：A
6．C
【分析】由单调性可直接得到，解不等式即可求得结果.
【详解】在上单调递增，，，解得：，
实数的取值范围为.
故选：C.
7．D
【分析】根据函数的单调性列出相应的不等式，即可求得答案.
【详解】由题意函数是上的减函数，
则，否则为常数函数，不合题意，故为一次函数，
故，
故选：D
8．A
【分析】先简单判断函数的单调性，进而求解结论．
【详解】解：∵y＝x2+1在（0，+∞）上单调递增，且y＞1，
∴在区间[1，2]上单调递减，
∴函数在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是
f（1），f（2），
故选：A．
9．D
【分析】首先求出函数的对称轴，即可判断函数的单调性.
【详解】解：函数对称轴为，开口向上，
所以函数，的单调减区间为.
故选：D
10．C
【分析】根据函数的定义域和单调性得到，解得答案.
【详解】函数是定义域为的减函数，因，
故，解得，
故选：C
11．D
【分析】利用排除ABC，作差可知，根据单调性可知D正确.
【详解】当时，选项A、B、C都不正确；
因为，所以，
因为在上为减函数，所以，故D正确.
故选：D
12．D
【分析】根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质判断每个选项的函数在上的单调性，即可得答案.
【详解】对A，一次函数在上为减函数，A错误；
对B，二次函数在上为减函数，
在上为增函数，B错误；
对C，反比例函数在上为减函数，C错误；
对D，二次函数在上为增函数，D正确.
故选：D.
13．A
【分析】根据二次函数的性质列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】由于函数 在上为增函数，
所以，解得.
故选：A
14．C
【分析】令，则，可得最大值.
【详解】令，则，
得，
则当时，取得最大值.
故选：C
15．C
【分析】分别判断出，，和的单调性，即可判断．
【详解】对于A：定义域为，由二次函数的图像可知，在是增函数，在是减函数，故A错误；
对于B：的定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数，故B错误；
对于C：在是增函数，在是减函数，
，当时，，易知为增函数，当时，，易知为减函数，所以函数和函数的单调性相同，故C正确；
对于D：定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数；
设定义域为，取，
则，
当时，，即在上单调递减，
当，，即在上单调递减，
同理可证，在上单调递减，在上单调递增，故D错误，
故选：C．
16．B
【分析】根据函数图象直接确定递增区间即可.
【详解】由图象知：该函数的单调增区间为和.
故选：B
17．D
【分析】先求出定义域，在利用二次函数单调性判断出结果.
【详解】函数的定义域需要满足，解得定义域为，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
故选：D.
18．D
【分析】根据一次函数的单调性有，即可得结果.
【详解】因为函数在上是减函数，
所以.
故选：D
19．A
【分析】讨论，时，可得函数的解析式，结合函数的单调性可得函数的最小值.
【详解】当，即或，解得时，
，函数单调递增，
所以；
当时，，函数单调递减，
；
当时，，函数单调递增，
；
综上，.
故选：A.
20．D
【分析】根据单调性求解.
【详解】是减函数，，；
故选：D.
21．B
【分析】由一次函数的单调性得到的取值范围，再利用单调性即可比较与的大小.
【详解】函数在上是增函数，，解得：；
则，
故选：B.
22．B
【分析】由抽象函数的单调性与其定义域得到关于的不等式组，解之即可.
【详解】因为在定义域上是减函数，
所以，解得，
所以.
故选：B.
23．
【分析】求复合函数的单调性，在定义域范围内用同增异减的法则即可写出.
【详解】由，则，解得或，所以函数的定义域为，设，，则为定义域内的增函数，而函数在上单调递减，所以函数的单调递减区间为.
故答案为：
24．
【分析】根据函数定义域及减函数列不等式组求解集即可.
【详解】因为是定义在上的减函数，
则，可得，故解集为.
故答案为：
25．
【分析】根据二次函数的性质得到不等式，解得即可.
【详解】函数开口向上，对称轴为，
要使函数在上为增函数，则，解得，即.
故答案为：
26．
【分析】根据题意可得在上单调递减，列不等式组求解即可.
【详解】因为对任意，且，都有成立，
所以在上单调递减.
所以，解得.
故答案为:.
27．
【分析】先根据函数单调性的定义判断函数在上单调递增，进而即可求得值域.
【详解】，
任取，，且，
则，
所以，
所以函数在上单调递增，
则，，
所以函数在上的值域是.
故答案为：.
28．
【分析】利用分段函数的单调性求解即可．
【详解】当时，单调递减；
当时，，在上单调递增，在单调递减；
故答案为：
29．
【分析】先求函数定义域,再求复合函数中内外函数的单调性,根据同增异减原则,写出结果即可.
【详解】解:由题知,
由解得或,
故函数的定义域为或,
因为对称轴为,开口向上,
故在单调递减,在单调递增,
因为在定义域内单调递增,
根据复合函数单调性的求法可知,的单调增区间为:.
故答案为:
30．0
【分析】根据一次函数及二次函数的单调性即可得到结论．
【详解】当时，函数，在上单调递增，符合题意；
当时，函数，其对称轴为，
若，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；
若，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，
综上，.
故答案为：0.
31．
【分析】先通过奇函数的定义判断函数为奇函数，再利用奇函数及二次函数的单调性求解单调区间，利用函数的单调性求最值即可.
【详解】函数的定义域为R，且，
所以函数为奇函数，
当时，，
由二次函数性质得函数在区间单调递增，在[1,2]上单调递减.
由奇函数在对称区间的单调性一致得，函数在上单调递增，且，
所以的单调增区间为，
同样根据奇函数的对称性可得函数在上单调递减，
所以在[-2,1]上的最小值为.
故答案为：；.
32．见解析
【分析】根据反例可判断两个结论的正误.
【详解】取 ，则在上是减函数，在上也是减函数，
但，，
因此不能断定在上是减函数.
若取，则在上是增函数，在上也是增函数，
但，，
因此不能断定在上是增函数.
33．证明见解析
【分析】根据函数单调性定义证明即可．
【详解】对任意，，
则，
因为，
所以，
又，
所以，
故函数在上是增函数．
34．证明见解析
【分析】利用函数单调性的定义即可求证.
【详解】设，且，
则,
，且，
又，
,
,即
，
故函数在区间是减函数.
35．证明见解析
【分析】根据函数单调性的定义创建相关不等式证明即可.
【详解】，，且，有
.
由，，得，，所以，，
又由，得，于是，即.
所以，函数在区间上单调递增.
36．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）函数解析式分离常数法即可求其值域；
（2）作二次函数在[1，5)之间的图像，数形结合即可求其值域；
（3）利用换元法，结合二次函数的性质即可求其值域.
【详解】（1），
显然可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为．
（2），因为，
如图所示：
所以所求函数的值域为．
（3）函数的定义域为，
令，则，
，因为，所以.
故函数的值域为.
37．(1)增函数，证明见解析
(2)最大值，最小值
【分析】（1）根据定义法判断函数单调性的一般步骤，逐步计算，即可判断出函数单调性；
（2）根据函数单调性，可直接写成最值.
【详解】（1）（1）任取，且．
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴在上为增函数．
（2）（2）由（1）知：在上为增函数，
所以，．
38．(1)图象见解析;单调递增区间为和，无单调递减区间
(2)图象见解析;单调递增区间为，单调递减区间为和
【分析】（1）根据函数的解析式可作出其图象，即可得单调区间；
（2）化简函数的解析式为，结合二次函数性质可作出其图象，即可得单调区间.
【详解】（1）画出的图象如图所示，
可得其单调递增区间为和，无单调递减区间．
（2） ，作出该函数的图象如图所示，
观察图象，知该函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．
39．(1)
(2)2
【分析】（1）根据二次函数的对称性，分类讨论函数的单调性，进而求最小值；
（2）根据一次函数的单调性，及二次函数的最值求出分段函数在每段上的最大值从而得出的最大值．
【详解】（1）由题意可得：，
当时，在区间上单调递减，最小值；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，最小值；
当时，在区间上单调递增，最小值；
综上所述：.
（2）由（1）可知：当时，在单调递减，所以的最大值为；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以的最大值为；
当时，在单调递增，所以的最大值为；
综上所述：的最大值.
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