专题12 幂函数-【夯实基础】2023-2024高一数学同步限时训练(人教A版2019必修第一册)（含解析)

中小学教育资源及组卷应用平台
【夯实基础】2023-2024高一数学同步限时训练（新人教A版2019）专题12 幂函数
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）下列函数为幂函数的是（　 ）
A． B． C． D．
2．（2023·高一课时练习）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过点，则f(9)＝（ ）
A． B．
C．3 D．
4．（2023春·辽宁·高一校联考阶段练习）幂函数在第一象限内是减函数，则（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2023秋·湖南益阳·高一统考期末）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023秋·广东珠海·高一珠海市第一中学校考期中）给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
7．（2023·全国·高三专题练习）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ）
A．①，②，③ B．①，②，③
C．①，②，③ D．①，②，③
8．（2023秋·广东湛江·高一雷州市第一中学校考期末）如图所示，图中的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取，四个值，则相应于，，，的依次为（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
9．（2023·全国·高一假期作业）下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023秋·辽宁丹东·高一统考期末）已知幂函数的图象经过点，则在定义域内（ ）
A．单调递增 B．单调递减 C．有最大值 D．有最小值
11．（2021秋·河北·高一校联考阶段练习）下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023秋·湖北武汉·高一校联考期末）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一校考阶段练习）幂函数的图象过点，则下列说法正确的是（　　）
A．偶函数，单调递增区间 B．偶函数，单调递减区间
C．偶函数，单调递增区间 D．奇函数，单调递增区间
14．（2023·江苏·高一专题练习）幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
15．（2023·全国·高一假期作业）下列函数中不是幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
16．（2023秋·吉林通化·高一梅河口市第五中学校考期末）下列函数是幂函数的是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2023·全国·高一假期作业）若幂函数的图象与x轴没有交点，则的图象（　 ）
A．关于原点对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．不具有对称性
18．（2023·全国·高一假期作业）在下列幂函数中，是偶函数且在上是严格增函数的是（ ）．
A． B． C． D．
19．（2021秋·河北石家庄·高一石家庄市藁城区第一中学校考阶段练习）已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．在单调递减 D．定义域为
20．（2023·高一课时练习）函数的图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
21．（2023·上海·高一专题练习）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
22．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）下列关于函数的描述中，正确的是（ ）
A．是幂函数 B．是指数函数
C．是对数函数 D．不是二次函数
23．（2023·高一课时练习）下列函数为幂函数的是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2023秋·安徽·高一芜湖一中校联考阶段练习）下列关于幂函数说法正确的是（ ）
A．图像必过点 B．可能是非奇非偶函数
C．都是单调函数 D．图像不会位于第四象限
三、填空题
25．（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为________．
26．（2023秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是___________．
27．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）已知幂函数的图象关于y轴对称，则的值为_________．
28．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知幂函数，若，则a的取值范围是__________.
29．（2023秋·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期末）若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是__________．
30．（2023秋·河北唐山·高一校考阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则的值为________．
31．（2023秋·陕西渭南·高一渭南市瑞泉中学校考阶段练习）已知函数（为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为_______.
32．（2023秋·山东临沂·高一山东省临沂第一中学校考期末）已知幂函数在上是减函数，则实数值是______.
33．（2023秋·广东深圳·高一红岭中学校考期末）已知函数的图像经过点，若，则的取值范围为__________.
34．（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数的图像过点，则=______.
35．（2023春·四川宜宾·高一校考开学考试）若函数是幂函数，则当时的函数值为______．
36．（2021秋·上海徐汇·高一位育中学校考阶段练习）已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为__．
37．（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数()是偶函数，且在上是增函数，则函数的解析式为________．
四、解答题
38．（2023秋·河北邯郸·高一校考阶段练习）已知幂函数，且满足：①在区间上是增函数；②对任意的，都有.
(1)求同时满足①②的幂函数的解析式，
(2)在（1）条件下，求时的值域.
39．（2023春·高一校考开学考试）已知幂函数(Z)的图象关于轴对称，且在上是单调递减函数．
(1)求的值；
(2)解不等式．
40．（2021秋·河南郑州·高一校考阶段练习）已知幂函数的图像经过四点中的两点，且在上为减函数．
(1)求的解析式；
(2)若，求实数a的值．
41．（2023秋·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增.
(1)求m和n的值；
(2)求满足不等式的a的取值范围.
42．（2023秋·安徽马鞍山·高一安徽工业大学附属中学校考期中）已知幂函数为奇函数.
(1)求的值；
(2)若，求实数的取值范围.
43．（2023·高一课时练习）已知幂函数在区间上是减函数．
(1)求函数的解析式；
(2)讨论函数的奇偶性和单调性；
(3)求函数的值域．
参考答案：
1．D
【分析】根据幂函数的定义即可求解.
【详解】由幂函数的定义可知：是幂函数，，和的系数不为1，故不是幂函数，
故选：D
2．B
【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可
【详解】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个
故选：B
3．C
【分析】代点的坐标求出α的值，得到函数的解析式，即得解.
【详解】由题意f(2)＝2α＝，
所以α＝，所以f(x)＝，
所以f(9)＝＝3.
故选：C
4．D
【分析】先根据幂函数定义求出m的可能值，再结合函数的单调性即可得解.
【详解】由幂函数的定义可知，解得，
由幂函数的单调性可知，所以．
故选:D．
5．D
【分析】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.
【详解】因为，则，可得，
故函数的定义域为.
故选：D.
6．C
【分析】根据幂函数的定义域求得正确答案.
【详解】①的定义域为，不符合.
②的定义域为，符合.
③的定义域为，不符合.
④的定义域为，符合.
⑤的定义域为，不符合.
所以符合的是②④.
故选：C
7．A
【分析】根据幂函数的图象与性质，逐个判定，即可求解.
【详解】由函数是反比例函数，其对应图象为①；
函数的定义域为，应为图②；
因为的定义域为且为奇函数，故应为图③.
故选：A.
8．B
【分析】根据幂函数的图象在第一象限内的特征即可得答案.
【详解】解：根据幂函数的性质，在第一象限内的图象:
当时，越大，递增速度越快，故的，的；
当时，越大，曲线越陡峭，所以曲线的，曲线的.
故选:B
9．B
【分析】根据函数的解析式或结合定义域判断函数在给定区间上的单调性，可得答案.
【详解】由于在为单调递减函数，在时无意义，A错误；
在为单调递增函数，B正确；
定义域为，在无意义，C错误；
在为单调递减函数，D错误，
故选：B
10．B
【分析】现根据幂函数的定义，求得，进而求解.
【详解】设，则，
所以，即，
则函数的定义域为，
且在定义域内单调递减，没有最大值和最小值.
故选：B.
11．D
【分析】根据幂函数的定义排除A；
是非奇非偶的函数，所以排除B;
是偶函数，所以排除C；
，既是幂函数，又是奇函数，所以选D.
【详解】根据幂函数的定义：形如的函数是幂函数，排除A；
的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶的函数，所以排除B;
是偶函数，所以排除C；
，既是幂函数，又是奇函数，所以选D.
故选：D.
12．A
【分析】先求出函数的解析式，根据函数的定义域和单调性得解.
【详解】设幂函数的解析式为，因为该幂函数的图象经过点，
所以，即，解得，即函数，也即，
则函数的定义域为，所以排除选项CD；
又，函数单调递减，故排除B，
故选：A.
13．C
【分析】根据题意求得幂函数解析式，再求定义域，奇偶性和单调区间即可.
【详解】设幂函数为，则，
解得，所以，定义域为，关于原点对称，
又，故为偶函数；显然其单调增区间为.
故选：C.
14．D
【分析】根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断；
【详解】根据幂函数的性质，
在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，
所以由图像得：，
故选：D
15．C
【分析】根据幂函数的定义逐个分析选项即可.
【详解】对于选项A，，故它是幂函数．故A项正确；
对于选项B，是幂函数，故B项正确；
对于选项C，选项的系数为3，所以它不是幂函数．故C项不成立；
对于选项D，是幂函数，故D项正确.
故选：C.
16．C
【分析】根据幂函数的定义判断.
【详解】形如（为常数且）为幂函数，
所以，函数为幂函数，函数、、均不是幂函数.
故选：C.
17．A
【分析】根据幂函数的性质以及定义可得，且，进而可得，即可求解.
【详解】∵ 幂函数的图象与x轴没有交点，
∴ ，且，解得.
∴ 是奇函数， 其图象关于原点对称.
故选：A
18．D
【分析】根据幂函数的性质判断各选项的奇偶性和单调性.
【详解】函数为偶函数，在上是严格减函数，A错，
函数不是偶函数，在上是严格减函数，B错，
函数是奇函数，在上是严格增函数，C错，
函数是偶函数，在上是严格增函数，D对，
故选：D.
19．C
【分析】设幂函数的解析式，根据图象的点求得解析式，由其定义域可判断D,继而判断A,B,由其单调性判断C.
【详解】设幂函数，
由题意得： ，
故，定义域为 ，故D错误；
定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，A，B错误；
由于 ，故在单调递减，C正确，
故选：C
20．C
【分析】结合函数定义域以及幂函数性质，即可判断
【详解】由题意知，函数，则满足，解得，故函数的定义域为，又，结合幂函数的性质，可得选项C符合题意．
故选：C
21．A
【分析】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可.
【详解】当时，幂函数在第一象限内单调递减，
当时，幂函数在第一象限内单调递增，
所以，
当时，幂函数在第一象限内单调递增，
所以，
所以相应曲线的依次为.
故选：A
22．ACD
【分析】根据幂函数，指数函数，对数函数，二次函数的定义即可求解.
【详解】因为，所以是幂函数;
因为，所以不是指数函数;
因为，所以是对数函数;
不是二次函数．
故选：ACD.
23．BD
【分析】根据幂函数的定义可得结果.
【详解】由幂函数的定义知，函数，为幂函数.
故选：BD.
24．ABD
【分析】根据幂函数随着变化的图像与性质，即可判断正误.
【详解】幂函数的解析式为，
当时，无论取何值，都有，
图像必过点，A选项正确；
当时，，定义域为，此函数为偶函数，
当时，，定义域为，此函数为非奇非偶函数，
所以可能是非奇非偶函数，B选项正确；
当时，，此函数先单调递减再单调递增，
则都是单调函数不成立，C选项错误；
当时，无论取何值，都有，
所以图像不会位于第四象限，D选项正确；
故选：ABD.
25．
【分析】根据幂函数恒过定点即可求解.
【详解】由于对任意的，恒经过点，所以函数的图象恒过定点,
故答案为：
26．
【分析】根据，即可知恒过定点.
【详解】因为，故当，即时，，
即函数恒过定点.
故答案为：.
27．
【分析】先通过函数为幂函数求出的值，再通过图象关于y轴对称来确定的值.
【详解】由已知得，解得或，
当时，，其图象关于y轴对称，
当时，，其图象关于原点对称.
故答案为：
28．
【分析】根据题意得到幂函数的定义域和单调性，得到不等式的等价不等式组，即可求解.
【详解】由幂函数，可得函数的定义域为，且是递减函数，
因为，可得，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
29．
【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再利用函数定义域和单调性求不等式的解集．
【详解】设幂函数，其图像过点，则，解得；
∴，函数定义域为，在上单调递增，
不等式等价于，解得；
则实数的取值范围是.
故答案为：
30．/
【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再计算（4）的值.
【详解】解：设幂函数，的图象过点，
即，
解得，
所以.
所以（4）.
故答案为：.
31．
【分析】由幂函数的性质知的图象恒过，即可求出函数的图象恒过的定点.
【详解】因为的图象恒过，
所以的图象恒过定点.
故答案为：
32．
【分析】由幂函数的性质可得，求解即可.
【详解】解：因为幂函数在上是减函数，
所以，
解得.
故答案为：
33．
【分析】先求出函数的解析式，再利用其单调性解不等式即可.
【详解】因为幂函数的图像过点，所以，，易知函数在上是奇函数，且单调递增，所以可化为，即，解得，故取值范围为.
故答案为：
34．4
【分析】设，代入，求出，函数解析式，从而得到.
【详解】设幂函数，故，解得：，
则，则.
故答案为：4
35．2
【分析】先求得的值，然后求得时的函数值.
【详解】由于函数是幂函数，
所以，则，
所以当时，.
故答案为：
36．
【分析】令求解即可.
【详解】令，得，
故函数图象过定点，
故答案为：
37．
【分析】由幂函数求参数，结合其为偶函数及区间单调性求解析式即可.
【详解】由是幂函数，则，解得或或.
当时，是非奇非偶函数，不满足题意；
当时，是偶函数，但在上递减，不满足题意；
当时，是偶函数且上递增，满足题意．
综上，实数t的值为，所求解析式为.
故答案为：
38．(1)
(2)
【分析】（1）由②得函数为奇函数，对m分类讨论判断即可；
（2）利用函数单调性求值域.
【详解】（1）对任意的，都有，∴是奇函数.
且，则当时，，满足①不满足②；
当时，，满足①②；
当时，，不满足①②.
故幂函数的解析式为；
（2），，故的值域为.
39．(1)
(2)
【分析】（1）先利用幂函数在上是单调递减函数，得到，再验证其图象关于轴对称进行求值即可；
（2）利用（1）中函数的奇偶性和单调性进行求解即可．
【详解】（1）因为幂函数(Z)的图象关于轴对称，所以函数是偶函数，
为偶数，为奇数，
因为函数在上是单调递减函数，所以，解得，
因为Z，则，，，
当时，为偶数，舍去；
当时，为奇数，
当时，为偶数，舍去；
故；
（2）由（1）可得，定义域为，且在上是单调递减函数，为偶函数，
又，即，且，解得且，
所以不等式的解集为．
40．(1)
(2)实数a的值为4或．
【分析】（1）解法一：设，幂函数的图像必过点，分幂函数的图像经过点、点、点讨论可得答案；解法二：设，幂函数的图像必过点，在上为减函数，可得在的图像上，求出可得答案；
（2）为偶函数，由可得，解法一：两边平方可得答案；解法二：或，解方程可得答案.
【详解】（1）解法一：设，
易知幂函数的图像必过点，
当幂函数的图像经过点时，，
所以，
在上为增函数，不符合题意；
当幂函数的图像经过点时，，所以，
在上为减函数，符合题意；
当幂函数的图像经过点时，，所以，
在上为增函数，不符合题意：
故；
解法二：
设，
易知幂函数的图像必过点，
因为在上为减函数，所以在的图像上，
所以，所以，
故；
（2）易知的定义域为，且为偶函数，
由可得，，
解法一：两边平方整理得，，
解之得或．
故实数a的值为4或．
解法二：或，
解之得或．
故实数a的值为4或．
41．(1)，
(2)
【分析】（1）根据函数为幂函数可得，求得m,结合幂函数的性质即可求得n的值;
（2）根据（1）的结论，可得，利用函数的性质，可得关于a的不等式，求得答案.
【详解】（1）∵是幂函数，
∴，解得m=3.
由在上单调递增得，解得.
∵，
∴或.
当时，函数，图象关于y轴对称，符合题意.
当时，函数，图象关于原点对称，不合题意.
综上，，.
（2）由（1）得，，∴.
∵函数在和上均单调递减，
∴当时，，当时，.
∴满足不等式的条件为或或，
解得或，
∴满足不等式的的取值范围.
42．(1)；
(2)或.
【分析】（1）根据幂函数的定义得到或，根据奇偶性即可得到的值，再计算即可；
（2）根据幂函数的单调性结合条件可得或或，进而即得.
【详解】（1）由，得或，
当时，是奇函数，满足题意，
当时，是偶函数，不满足题意，
所以，；
（2）因为的定义域为，单调减区间为，，
由，可得或或，
解得或，
所以实数的取值范围为或.
43．(1)或或
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）依题意可得，求出的取值范围，再根据，即可得到，再代入求出函数解析式；
（2）根据（1）中的解析式及幂函数的性质得出结论；
（3）根据（1）中的解析式及幂函数的性质得出结论；
【详解】（1）解：依题意，即，解得，因为，所以或或，所以或或
（2）解：若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减；
若定义域为，则为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减；
若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减；
（3）若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为；
若，则为偶函数，当时，所以时，所以函数的值域为；
若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为；
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)