专题14 指数函数及其性质-【夯实基础】2023-2024高一数学同步限时训练(人教A版2019必修第一册)（含解析)

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【夯实基础】2023-2024高一数学同步限时训练（新人教A版2019）专题14 指数函数及其性质
一、单选题
1．（2023·高一课时练习）若函数（且）在区间上的最大值和最小值的和为，则a的值为（ ）
A． B． C． D．或
2．（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·山东枣庄·高一统考期中）已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021秋·江苏无锡·高一无锡市市北高级中学校考期中）已知指数函数的图象经过点，则（ ）
A．8 B．16 C． D．
5．（2021秋·安徽滁州·高一安徽省定远中学校考阶段练习）函数，则方程的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·陕西宝鸡·高二统考期末）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·山西·高二校联考期末）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021秋·福建福州·高一校联考期末）2020年10月1日至8日，央视推出大型主题报道《坐着高铁看中国》，8天8条高铁主线，全景式展示“十三五”规划成就和中国之美.我国高铁技术在世界上遥遥领先，高铁运行时不仅速度比普通列车快，而且噪声小.我们知道比较适合生活的安静环境的声强级（噪音级）为30~40分贝（符号：），声强（单位：）与声强级（单位：）的函数关系式为（，为常数）.某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为，声强级为，驶进市区附近降低速度后的声强为，声强级为，若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求，则声强的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023秋·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考开学考试）已知，则a，b，c大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·高一课时练习）若，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023秋·天津滨海新·高一大港一中校考期中）若，则a b c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·全国·高一专题练习）函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·高一课时练习）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，，， D．，，，，
14．（2021·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）函数且的图象可能是（ ）

A．①③ B．②④ C．④ D．①
15．（2023·高一课时练习）设，，则是（ ）
A．奇函数且在上单调递减 B．偶函数且在上单调递减
C．奇函数且在上单调递减 D．偶函数且在上单调递减
16．（2023秋·高一单元测试）如果函数y＝a2x＋2ax－1（a＞0，a≠1）在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为（ ）
A．3 B． C．-5 D．3或
17．（2023春·辽宁辽阳·高二辽阳市第一高级中学校联考期末）若函数的最大值是2，则（ ）
A． B． C． D．
18．（2023秋·辽宁大连·高一大连市第一中学校联考期中）我们知道比较适合生活的安静环境的声强级（噪音级）为，声强（单位：）与声强级（单位：）的函数关系式为（，为常数）．某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为，声强级为，驶进市区附近降低速度后的声强为，声强级为，若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求，则声强的最大值为（ ）
A． B． C． D．
19．（2021秋·云南·高一校考期中）在同一直角坐标系中，函数与在上的图象可能是（ ）．
A． B． C． D．
20．（2021秋·广东汕尾·高一海丰县海城仁荣中学校考阶段练习）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
21．（2023·高一课时练习）下列函数是指数函数的有（ ）
A． B． C． D．
22．（2021秋·江苏无锡·高一无锡市市北高级中学校考期中）函数在下列哪些区间内单调递减（ ）
A． B． C． D．
23．（2023·江苏·高一专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为R
B．函数的值域为
C．函数的图象关于y轴对称
D．函数在R上为增函数
24．（2023秋·江苏南京·高一校考阶段练习）若函数（且）在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）
A． B．
C． D．
25．（2021秋·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期中）若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
26．（2023秋·广东湛江·高一雷州市第一中学校考期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为减函数
C．有且只有一个零点 D．的值域为
27．（2023秋·山西太原·高一统考期中）已知幂函数的图象经过函数（且）的图象所过的定点，则幂函数具有的特性是（ ）
A．在定义域内单调递减 B．图象过点
C．是奇函数 D．定义域是
28．（2023秋·广东汕头·高一林百欣中学校考期末）（多选）已知函数，则（ ）
A．函数的定义域为R B．函数的值域为
C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减
29．（2021·浙江·高一期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，，则下列说法正确的有（ ）
A．是偶函数 B．的值域是
C．是奇函数 D．在上是增函数
30．（2021秋·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校联考期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，.已知，则函数的值可能为（ ）
A． B． C． D．
31．（2021秋·山东·高一济南市章丘区第四中学校联考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，函数，以下结论正确的是（ ）
A．在R上是增函数 B．是偶函数
C．是奇函数 D．的值域是
32．（2023·高一课时练习）已知函数，（且）在区间上的最大值比最小值大，则a的值可以为（ ）
A． B．2 C． D．
33．（2023秋·四川成都·高一成都七中校考期末）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的定义域为R
B．是奇函数
C．在定义域上是减函数
D．无最小值，无最大值
三、填空题
34．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）函数的图象恒过定点_____________.
35．（2023秋·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中学校考期中）函数（且）恒过一定点________ .
36．（2021·高一单元测试）函数且的图像必经过点________
37．（2023·高一课时练习）函数恒过定点___________．
38．（2023·高一课时练习）若且，则函数的图像恒过的定点的坐标为______．
39．（2023·全国·高一专题练习）若函数（，且）是指数函数，则________．
40．（2023·高一课时练习）已知函数是指数函数，且，则______．
41．（2023·河南安阳·校联考模拟预测）已知函数是偶函数，则_________．
42．（2023春·四川成都·高二成都外国语学校校考阶段练习）函数的图象恒过定点__________
43．（2023·高一课时练习）函数的定义域为M，值域为，则M=______．
44．（2023春·北京·高二北京八中校考期末）已知，，，则a，b，c按从小到大排列为___________．
45．（2020秋·河南郑州·高一登封市第一高级中学校考阶段练习）函数在上的值域为___________.
46．（2023·高一课时练习）不论为何值时，函数且恒过定点__________．
47．（2023·高一课时练习）函数的值域为____.
48．（2023·高一课时练习）若函数为指数函数，则a＝________.
49．（2023春·黑龙江大庆·高二大庆中学校考期中）已知，则的值为______．
50．（2023春·新疆省直辖县级单位·高一校联考阶段练习）已知函数，则________．
51．（2023秋·高一单元测试）已知则a，b，c的大小关系是________.
52．（2023·高一课时练习）求函数的单调区间___________.
53．（2023秋·安徽·高一统考期末）若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为______.
54．（2023·上海·高一专题练习）函数的单调减区间是_________.
55．（2023秋·黑龙江绥化·高一统考期中）已知函数在区间（-1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是_________．
56．（2023·高一课时练习）函数（，且）在上的最大值为13，则实数的值为___________.
57．（2023·福建龙岩·统考一模）已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是_________．
58．（2023春·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考阶段练习）函数的定义域为___________.
59．（2023春·山西太原·高二太原市外国语学校校考阶段练习）已知的最小值为2，则m的取值范围为______________
60．（2023秋·贵州黔西·高三校考阶段练习）函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为_________．
61．（2023·高一课时练习）函数在的值域为______．
62．（2023·高一课时练习）设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______．
四、解答题
63．（2023·高一课时练习）已知函数，若的值域是，求的值．
64．（2023秋·安徽安庆·高三校考阶段练习）已知函数，
(1)当时，求函数在的值域
(2)若关于x的方程有解，求a的取值范围．
65．（2023春·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习）设函数，是定义域为R的奇函数
(1)确定的值
(2)若，判断并证明的单调性；
(3)若，使得对一切恒成立，求出的范围.
66．（2023春·广西北海·高二统考期末）已知偶函数.
(1)求实数m的值；
(2)经过研究可知，函数在区间上单调递减，求满足条件的实数a的取值范围.
67．（2023秋·河南周口·高三校考阶段练习）已知函数.
(1)判断函数的奇偶性并加以证明；
(2)，不等式成立，求实数的取值范围.
68．（2021秋·浙江台州·高一台州市书生中学校考阶段练习）设函数（且）是定义域为的偶函数，
(1)若，求实数的取值范围
(2)若在上的最小值为，求的值
69．（2021秋·浙江·高一校联考期中）已知函数.
(1)判断并说明的奇偶性；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；
(3)设，正实数满足，且的取值范围为A，若函数在上的最大值不大于最小值的两倍，求实数的取值范围.
70．（2023秋·青海西宁·高一校考期末）已知定义域为 的函数是奇函数.
(1)求 的值;
(2)用定义证明 在上为减函数;
(3)若对于任意 ，不等式 恒成立，求的范围.
71．（2021秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界．
(1)证明在上是有界函数；
(2)设，，若函数、在D上分别以M、N为上界，判断函数在D上是否为有界函数，若是，写出的一个上界；
(3)若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
72．（2023秋·高一课时练习）已知函数（，且），求函数在上的值域．
73．（2023春·甘肃酒泉·高二统考期末）已知函数的图象经过点，
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域和值域；
(3)判断函数的奇偶性并证明．
74．（2023·高一课时练习）已知定义域为R的函数是奇函数．
(1)求的解析式；
(2)用定义证明的单调性．
75．（2023·高一课时练习）已知函数．若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
76．（2023春·福建漳州·高二校联考期末）设函数，且，.
(1)求的值，并讨论的单调性；
(2)若，使得成立，求实数的取值范围.
参考答案：
1．D
【分析】分与两种情况，结合函数单调性表达出最值，列出方程，求出a的值.
【详解】当时，函数在上为减函数，
则，解得：，
当时，函数在上为增函数，
则，解得：．
综上，或．
故选：D
2．C
【分析】根据二次根式的被开方式非负，列出不等式，求解不等式可得答案.
【详解】由题意得，即，解得．
故选：C.
3．C
【分析】根据指数函数的单调性比较大小．
【详解】∵是减函数，，所以，
又，
∴．
故选：C．
4．B
【分析】把点，代入函数解析式，即可求出的值.
【详解】解：由题意可得，
解得，
故选：B.
5．B
【分析】令，则，当时，，转化为图象的交点问题；当时，成立，进一步求出的范围，即可求出答案.
【详解】由函数，令，则，
当时，，
令，其图象如图所示
．
时，无解，
当时，成立，
由，得当时，有，解得；
当时，有，解得，
综上，的取值范围是．
故选：B.
6．A
【分析】求出函数的取值集合，再利用指数函数的单调性求解作答.
【详解】函数定义域为R，，又函数在R上单调递减，则，
所以函数的值域为.
故选：A
7．A
【分析】利用指数函数的单调性及中间值即可求解.
【详解】因为在上单调递减，又，所以，
即，又因为，所以.
故选：A.
8．B
【解析】根据和的两组值代入解析式求出和，再代入的最大值可得的最大值.
【详解】由题意可知，解得，，
所以，
所以当取最大值时，取得最大值
故选：B.
【点睛】关键点点睛：根据和的两组值代入解析式求出和是解题关键.
9．A
【分析】利用指数幂的运算性质可将化简为幂指数相同的指数式，由此即可比较出的大小关系，由指数函数的单调性可判断出.则可选出答案.
【详解】因为.
所以.
因为.
所以.
所以.
故选：A.
10．B
【分析】利用指数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，所以，则函数单调递减，
因此，即，所以，
又，所以，
故选：B．
11．A
【分析】利用幂函数和指数函数的单调性比较大小
【详解】因为在上单调递增，且，
所以，即，
因为在上单调递减，且，
所以，即，
所以，即
故选：A
12．A
【分析】将函数改写成分段函数，再根据指数函数的性质判断即可.
【详解】解：函数，
当时，是增函数，当时，的减函数，
且时，，即图象过点；
符合条件的图象是．
故选：A．
13．C
【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.
【详解】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而.
故选：C．
14．C
【分析】分，，根据指数函数和图象平移判断.
【详解】当时，，函数的图象为过点的上升的曲线，函数图象由函数向下平移个单位可得，故①②错误；
当时，，函数的图象为过点的下降的曲线，函数图象由函数向下平移个单位可得，故④ 正确③错误；
故选：C
15．D
【分析】由，可知是偶函数，当时，，则在上单调递减，由此即可选出答案.
【详解】依题意，得，且，所以是偶函数．
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增．
故选：D.
16．D
【分析】利用换元法，令ax＝t，转化为二次函数，根据单调性由区间[－1，1]上的最大值是14，求出a的值.
【详解】令ax＝t，则．
当a＞1时，因为，所以，
又函数y＝（t＋1）2－2在上单调递增，
所以ymax＝（a＋1）2－2＝14，解得a＝3（a＝-5舍去）．
当0＜a＜1时，因为，所以，
又函数y＝（t＋1）2－2在上单调递增，
则ymax＝，
解得（舍去）．
综上知a＝3或．
故选：D
17．A
【分析】根据有最大值及指数复合函数的单调性，可得在定义域上先减后增，再由二次函数性质求参数即可.
【详解】由在定义域上递减，
要使有最大值，则在定义域上先减后增，
当，则的最小值为，
所以，可得.
故选：A
18．B
【分析】利用题意得到，解出的值，代回得到，通过单调性可以得到最大值
【详解】由题意可知，解得，，所以，易得当越大时，越大，
所以当时，达到安静环境要求下的取得最大值．
故选：B．
19．A
【分析】根据幂函数和指数函数的图象，即可逐项判断，得出结果.
【详解】为幂函数，为指数函数
A. 过定点，可知，，的图象符合，故可能.
B. 过定点，可知，，的图象不符合，故不可能.
C. 过定点，可知，，的图象不符合，故不可能.
D.图象中无幂函数图象，故不可能.
故选：A
【点睛】本题考查了幂函数和指数函数的图象，考查了理解辨析能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
20．A
【分析】根据二次函数图象上特殊点的正负性，结合指数型函数的性质进行判断即可.
【详解】由图象可知，所以，
因为，所以由(1)可得：，由(3)可得：，所以，
由(2)可得：，所以，
因此有，所以函数是减函数，
，所以选项A符合.
故选：A.
21．BC
【分析】根据指数函数的定义逐一判断即可.
【详解】解：对于A，函数不是指数函数，
对于B，函数是指数函数；
对于C，函数是指数函数；
对于D，函数不是指数函数.
故选：BC.
22．ACD
【分析】利用复合函数的单调性可知函数在上单调递减，由此可得到正确选项.
【详解】由题意，函数在上单调递减，
又由函数在上单调递增，在上单调递减，
由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，
结合选项，可得选项符合题意.
故选：ACD.
23．ABD
【分析】根据指数函数的性质，结合偶函数定义、单调性的性质逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以函数的定义域为R，因此本选项结论正确；
B：，
由，所以函数的值域为，因此本选项结论正确；
C：因为，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y轴对称，因此本选项说法不正确；
D：因为函数是增函数，因为，所以函数是减函数，
因此函数是增函数，所以本选项结论正确，
故选：ABD
24．BC
【分析】分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，根据已知条件可得出关于实数的等式，即可求得实数的值.
【详解】当时，函数在上为减函数，
则，解得；
当时，函数在上为增函数，
则，解得.
综上所述，或.
故选：BC.
25．BC
【分析】对分类讨论，结合指数函数的单调性，求得函数的最大值和最小值，列出方程，即可求解.
【详解】当时，函数在区间上为单调递增函数，
当时，，当时，，
所以，即，解得或，
因为，所以；
当时，函数在区间上为单调递减函数，
当时，，当时，，
所以，即，解得或，
因为，所以.
综上可得，实数的值为或.
故选：BC
26．AC
【分析】根据奇函数的定义判断A，根据指数函数的性质判断B、D，令，解方程，即可判断C.
【详解】解：函数，，
，为奇函数．故A正确．
．
在上单调递增，所以在上为增函数．故B错误．
令，则，得到，所以有且只有一个零点．故C正确．
在上为增函数，
令，则，所以，所以，即，解得，．故D错误．
故选：AC．
27．BC
【分析】求出函数的图象所过定点的坐标，代入函数的解析式，求出的值，再利用幂函数的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】由，即，可得，
故函数（且）的图象过定点，
则，解得，则，定义域为，且为奇函数，
函数在上单调递减，在上单调递减，但在定义域内不单调递减.
因为，所以函数的图象经过点，所以选项B、C正确.
故选：BC.
28．ABD
【分析】由函数的表达式可得函数的定义域可判断A；令，则，，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断B；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C、D.
【详解】令，则．
对于A，的定义域与的定义域相同，为R，故A正确；
对于B，，的值域为，所以函数的值域为，故B正确；
对于C、D，因为在上单调递增，且，在定义域上单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，所以C不正确，D正确.
故选：ABD.
29．BC
【解析】根据知错误；利用分式值域的求法可求得，进而根据高斯函数定义可知的值域，知正确；化简得到知正确；根据，利用指数函数的单调性可判断D.
【详解】对于，，，
，不是偶函数，错误；
对于，，
，，，，
当时，，当时，，
的值域是，正确；
对于，，为奇函数，正确；
对于，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递减，即在上是减函数，错误.
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义的问题，解题关键是明确本题以新定义函数为载体，考查函数值域、单调性和奇偶性的知识，研究函数单调性时对函数进行分离常数，是解题的关键..
30．BC
【分析】根据高斯函数的定义及的值域即可求解.
【详解】，
，
，，
当时，；
当时，，
的可能取值，.
故选：
31．ACD
【分析】先将函数分离常数，结合指数函数的性质得到单调性和值的分布，再利用奇偶性定义判断奇偶性，根据性质或特殊值法排除，逐一判断选项的正误即可.
【详解】函数，定义域为R，
又指数函数是单调递增的，可知是单调递减的，取值为，
故是单调递增的，值域为，故A正确；
当时，，当时，，
故的值域是，D正确；
又，故是奇函数，即C正确；
因为，故，，故，即，故不可能是偶函数，B错误.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：
本题解题关键在于读懂题中高斯函数的定义，才能通过研究的性质来研究的性质，突破难点.
32．AC
【分析】分、讨论，利用的单调性求出最大值、最小值再做差可得答案.
【详解】当时，在区间上单调递减，此时，，所以，解得或（舍去）；
当时，在区间上单调递增，此时，，所以，解得或（舍去）．
故选：AC．
33．BD
【分析】求解，可判断A；利用函数奇偶性的定义可判断B；比较可判断C；分离常数得到，分析单调性及函数值域可判断D
【详解】选项A，，解得，故的定义域为，选项A错误；
选项B，函数定义域关于原点对称，且，故是奇函数，选项B正确；
选项C，，故，即在定义域上不是减函数，选项C不正确；
选项D，，令，，由于在上单调递增，在分别单调递减，故函数在分别单调递减，且时，，时，，时，，时，，故函数的值域为，无最小值，无最大值，选项D正确
故选：BD
34．（1,3）
【分析】根据指数函数的性质，即可得答案.
【详解】令，可得，
所以，即图象恒过定点（1,3）.
故答案为：（1,3）
35．
【分析】令，求出的值后，再代入函数解析式，即可得解.
【详解】令可得，则，因此，函数的图象恒过定点.
故答案为：.
36．
【分析】指数函数（且）的图像必经过点，由此计算即可.
【详解】令，解得，当时，
所以函数且的图像必经过点.
故答案为：
37．
【分析】利用指数型函数的特征，求解函数恒过的定点坐标.
【详解】当，即时，，
所以恒过定点.
故答案为：
38．
【分析】任意指数函数一定过定点，根据该性质求解.
【详解】令，得，所以，所以函数的图像恒过定点．
故答案为：
39．8
【分析】根据指函数的定义求解即可.
【详解】解：因为函数是指数函数，
所以，所以．
故答案为：8.
40．
【分析】依题意设（且），根据即可求出的值，从而求出函数解析，再代入计算可得.
【详解】解：由题意，设（且），
因为，所以，又，所以，
所以，所以．
故答案为：
41．-1
【分析】利用偶函数的定义直接求解.
【详解】函数的定义域为R.
因为函数是偶函数，所以，即对任意恒成立，
亦即对任意恒成立，
所以.
故答案为：-1
42．
【分析】利用指数函数的性质可得答案.
【详解】令，即时，，可得函数的图象恒过定点，
故答案为：
43．（答案不唯一）
【分析】根据值域列出关系式，求解指数不等式即可求得答案.
【详解】因为函数的值域为，所以，所以，
即，故，所以，则函数的定义域为．
实际上，只要即可满足条件，即可以为并上任意一个的子集均可.
故答案为：（答案不唯一）
44．
【分析】根据指数函数性质比较大小．
【详解】，，
所以．
故答案为：．
45．
【分析】本题考查换元法，再结合二次函数求值域．
【详解】
∵则令
在递增
∴
故答案为：．
46．
【分析】将函数变形为，由恒等式可得.
【详解】因为，恒成立，所以恒过定点．
故答案为：
47．
【分析】函数是复合二次函数，换元转化为二次函数值域问题.
【详解】解：令，
函数化为
，即函数的值域为．
故答案为：
48．2
【分析】利用指数函数的定义列方程组即可解得.
【详解】因为函数为指数函数，
所以，解得a＝2.
故答案为：2
49．16
【分析】根据分段函数不等式可得，再代入求值即可.
【详解】因为，
所以，
故答案为：16.
50．/
【分析】根据分段函数解析式直接求值即可.
【详解】∵
∴ ，
故答案为：
51．或
【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可
【详解】因为是R上的减函数，且，
所以，所以，
因为是R上的增函数，且，
所以，所以，
所以
故答案为：或
52．增区间为，减区间为
【分析】由换元法，结合复合函数的单调性求解即可.
【详解】设t＝>0，又在上单调递减，在上单调递增.令≤4，得x≥－2，令>4，得x<－2.而函数t＝在R上单调递减，所以函数的增区间为，减区间为.
故答案为：增区间为，减区间为
53．
【分析】由复合函数的同增异减性质判断得在上单调递减，再结合对称轴和区间边界值建立不等式即可求解.
【详解】由复合函数的同增异减性质可得，在上严格单调递减，
二次函数开口向上，对称轴为
所以，即
故答案为：
54．/
【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”，即可求解.
【详解】令，
根据复合函数单调性可知，内层函数在上单调递减，在上单调递增，
外层函数在定义域上单调递增，所以函数#在上单调递减，在上单调递增.
故答案为：.
55．
【分析】由复合函数单调性得出在区间上单调递减，对分类讨论，结合单调性得到不等关系，求出实数a的取值范围.
【详解】由函数在区间上单调递增，
得函数在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递减，符合题意．
当时，由在区间上单调递减，
得，解得：．
当时，由在区间上单调递减，
得，解得：．
综上所述，的取值范围是．
56．或/或3
【分析】令，讨论或，求出的取值范围，再利用二次函数的单调性即可求解.
【详解】∵
令，则，
则，其对称轴为.
该二次函数在上是增函数.
①若，由，得，
故当，即时，
，解得(舍去).
②若，由，可得，
故当，即时，
.
∴或(舍去).
综上可得或.
故答案为：或.
57．
【分析】换元后利用参变分离，最后用基本不等式进行求解.
【详解】由题意得：有解
令
有解，即有解，显然无意义
,当且仅当，即时取等，
故答案为：.
58．
【分析】根据具体函数的定义域求法，结合指数函数的单调性求解.
【详解】解：由，
得，
所以，
所以函数的定义域为，
故答案为：
59．
【分析】根据给定条件，分别求出函数在时与函数在时的最小值即可作答.
【详解】当时，，当且仅当，即时取“=”，
当时，，，当，即时，取最小值，
因的最小值为2，于是得，解得，
所以m的取值范围为.
故答案为：
60．
【分析】由指数函数的性质，可得，再根据基本不等式“”的用法，即可求出结果.
【详解】∵函数的图象恒过定点，则，
∴，
当且仅当，即，时取等号.
故答案为：.
61．
【分析】令，结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】解：，
设，
当时，，所以，
所以在的值域为．
故答案为：．
62．
【分析】参变分离可得，再根据指数函数的性质及二次函数的性质求出的取值范围，即可得解.
【详解】解：由，得，
即，
，，
则，
，则，即．
故答案为：
63．0
【分析】利用换元法，令，则，则由题意可知的值域为，从而可求出的值
【详解】令，则，
因为的值域是，即的值域是，
所以的值域为，
若，则为二次函数，其值域不可能为，
若，则，其值域为，
所以
64．(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，令，则，最后根据二次函数的性质计算可得；
（2）依题意可得有解，参变分离可得有解，再根据指数函数的性质计算可得；
【详解】（1）解：∵，，
令，∵，∴，
∴，，而对称轴，开口向上，∴当时，当时，
∴的值域是.
（2）解：方程有解，
即有解，
即有解，
∴有解，
令，则，
∴.
65．(1)2；
(2)单调递增，证明见解析；
(3).
【分析】（1）利用奇函数定义直接计算作答.
（2）求出a值，再利用函数单调性定义证明作答.
（3）把给定不等式等价变形，再利用函数单调性求出最小值，列式计算作答.
【详解】（1）因是定义域为的奇函数，
则，而，解得，
所以的值是2.
（2）由（1）得，是定义域为的奇函数，
而，则，即，又，解得，
则函数在上单调递增，
，，，
因，则，，于是得，即，
所以函数在定义域上单调递增.
（3）当时，，
，
，而函数在上单调递增，，
于是得，令，函数在上单调递减，
当，即时，，因此，，解得，
所以的范围是.
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.
66．(1)0；
(2).
【分析】（1）首先求出函数的定义域，再根据偶函数的性质，利用特殊值求出参数的值，再代入检验即可；
（2）根据偶函数的性质将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】（1）由，有，
可得函数的定义域为，
，，
由函数为偶函数，有，
解得，
当时，，
由，
可知此时函数为偶函数，符合题意，
由上知实数m的值为0；
（2）由函数为偶函数，且函数在区间上单调递减，
由，有，
解得且且，
故实数a的取值范围为.
67．(1)为奇函数，证明见解析
(2)
【分析】（1）首先求出函数的定义域，再只要检验与的关系即可判断；
（2）首先判断函数的单调性，再结合函数的单调性及奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，然后结合二次不等式的恒成立问题进行求解．
【详解】（1）解：函数为奇函数，证明如下：
函数的定义域，
因为，
所以为上的奇函数；
（2）解：因为，因为在定义域上单调递增，且，又在上单调递增，
所以在上单调递增，
则不等式恒成立，即恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
所以，解得，
所以的范围为．
68．(1)
(2)
【分析】（1）利用偶函数的定义求出的值，再由求出的值，最后求出函数的单调性结合奇偶性即可解出不等式；
（2）利用换元法将原函数化为二次函数，讨论对称轴与所给区间的位置求出二次函数的最值，进而求出的值.
【详解】（1）解：由函数是定义域为的偶函数
满足
即
，即
又，即
化简为：
解得：或者
设，且，则
由，得
，
，即
在单调递增
又是上的偶函数，
在单调递增，在单调递减
即
两边平方得：
解得：
实数的取值范围为：
（2）解：由（1）知，
将变形得：
令，因为，由对勾函数的性质得
则原函数化为：，
由题知，在上的最小值为
函数的对称轴为：
①当，即时，
解得：或，均不符合题意，舍去
②当，即时，，不符合题意
③当，即时，
解得：符合题意
所以的值为.
【点睛】思路点睛：本题第一问解不等式，需要利用函数的单调性，因此需要先用定义法证明函数的单调性再结合奇偶性进行求解；第二问由函数最值求参数值，需要先将原函数化为二次函数，再利用最值即可求出参数.
69．(1)当时，为奇函数，当时，为非奇非偶函数
(2)
(3)
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义直接验证；
（2）利用分离参数法求出a的范围；
（3）先利用基本不等式求出集合A，根据对勾函数的单调性，对a进行讨论，分别求出实数的取值范围.
【详解】（1）因为函数的定义域关于原点对称，
由，，及实数的任意性，
可知，当时，为奇函数，当时，为非奇非偶函数.
（2）∵，
∴令，当，则
即存在使成立，只需
∵∴.
（3）∵∴，
则，当且仅当取等号，
∴，
∵，∴在单调递减，在单调递增，
∴，
①当，即时，在单调递增，
∴即得，∴，
②当，即时，在单调递减，
∴即得，∴，
③当时，，，
由.
（ⅰ）当时，，，
得，
（ⅱ）当时，∴，则，
得.
综上，.
【点睛】（1）对函数奇偶性的证明只能用定义：或；
（2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法.
70．(1)，.
(2)证明见解析.
(3)
【分析】（1）根据函数为奇函数，利用奇函数性质即可求得答案.
（2）根据函数单调性的定义即可证明结论.
（3）利用函数的奇偶性和单调性将恒成立，转化为对任意的都成立，结合求解二次函数的最值，即可求得答案.
【详解】（1）为上的奇函数，，可得
又 , ,解之得,
经检验当 且时， ，
满足是奇函数,
故，.
（2）由（1）得 ，
任取实数 ，且，
则 ，
，可得，且，故，
，即，
所以函数在上为减函数;
（3）根据 （1）（2）知，函数是奇函数且在上为减函数.
不等式 恒成立，
即恒成立，
也就是:对任意的都成立，
即对任意的都成立，
，当时取得最小值为，
，即的范围是.
71．(1)证明见解析
(2)是，
(3)
【分析】（1）化简解析式求出函数值域即可证明；
（2）根据有界性定义及不等式的性质可证明；
（3）根据有界性可转化为在上恒成立，换元后利用函数的单调性求最值即可求出参数范围.
【详解】（1）, 则在上是严格增函数，
故，即 ，
故，
故是有界函数；
（2）因为函数在D上分别以M ，N为上界，
所以
所以，即，
所以函数在D上以为上界;
（3）因为在上是以3为上界的有界函数，
所以在上恒成立，
记，
所以在时恒成立，
所以在时恒成立，
函数在上严格递减，所以;
函数在上严格递增，所以.
所以实数a的取值范围是.
【点睛】函数新定义问题，一般需要仔细阅读理解所给定义，结合新定义与所给具体函数，尝试判断、证明与应用，本题所给有界性，可转化为函数的最值问题处理即可.
72．答案见解析．
【分析】应用换元法，令则，讨论、，注意定义域的范围，结合二次函数性质判断单调性，根据单调性求值域即可.
【详解】令，则可化为．
当，时，，又在上单调递增，
∴，即；
当，时，，又在上单调递增，
∴，即．
综上，当时，函数在上的值域是；
当时，函数在上的值域是．
73．(1)；
(2)的定义域为R ，值域为；
(3)奇函数，证明见解析.
【分析】（1）把函数图象经过的点的坐标代入函数式，计算作答.
（2）利用指数函数的定义，结合不等式性质求解作答.
（3）利用奇偶函数的定义计算判断作答.
【详解】（1）依题意，函数的图象过点，则有，解得，
所以a的值是1.
（2）由（1）知函数，因，所以的定义域为R，
而，所以的值域为.
（3）函数是R上的奇函数，
因的定义域为R，且，所以是奇函数.
74．(1)
(2)在R上单调递减，证明见解析
【分析】（1）根据函数为奇函数可得、，代入函数解析式可分别求得a、b的取值，继而确定函数解析式；（2）化简求出的表达式，根据、的大小关系，判断的正负，进而根据定义法确定函数的单调性.
【详解】（1）因为是R上的奇函数，所以，
即，解得，则．
又，则，解得，
经检验当，时，是奇函数，
所以．
（2）证明：由（1）知，
对任意的，R，且，
有，
因为，所以，所以，
∴在R上单调递减．
75．
【分析】由令，可知，则对任意，恒成立，等价于，，恒成立，即只需．讨论与、的大小关系，即可得到在的单调性，即可求出的最小值，即可求出答案.
【详解】．
令，则．
易知为增函数，则当时，．
令，，
则只需．
当，即时，在上单调递增，所以，解得，与矛盾，舍去；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得；
当，即时，在上单调递减，所以，解得，与矛盾，舍去．
综上，实数的取值范围是．
76．(1)；在上单调递减，在上单调递增
(2)
【分析】（1）先列方程求得的值，再利用复合规则去判断的单调性；
（2）先利用分离参数法得到关于实数的不等式，再构造新函数并求得其最小值，进而得到实数的取值范围.
【详解】（1）由题意得，，，
解之得.故.
令，则，设，.
在上单调递增，；
在上单调递增，.
又由二次函数的性质知，在上单调递减，在上单调递增.
所以由复合规则可知，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，所以可化为.
故原问题等价于，使得成立.
则当时，，
其中表示在上的最小值.
当时，令，则，设，
则，当且仅当时取等号，
所以当，即时，取得最小值.
故的取值范围是.
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