2022-2023-2 高二年级文数 3
文科数学参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B C D D C D C C D B A
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．
1 1 4044
13. 14． 15. 9 16.
2 2e 2023
答案详解：
1.【答案】B 【详解】 A = x N∣x 1 2 = x N∣ 2 x 1 2 = x N∣ 1 x 3 = 0,1,2,3 ，
又 B = 2,3,4 ，所以 A B = 0,1,2,3,4 . 故选：B.
2+ i 2+ i i (2+ i) 2i 1
2.【答案】B 【详解】由题意可得 z = = = = =1 2i，则z = 1 + 2i. 故选：B.
1+ i2 + i5 1 1+ i i2 1
3.【答案】C 【详解】由三视图可得几何体的直观图如下所示：
其中 SA = 4， AB =3， AC = 5，且 SA⊥平面 ABC， AB ⊥ AC，
所以BC = AB2 + AC2 = 34 ， SC = SA2 + AC2 = 41，SB = SA2 + AB2 = 5，
所以三棱锥中最长棱为 SC = 41 .故选：C
m 1 0
x2 y2
4.【答案】D 【详解】若 + =1表示椭圆，则需要满足 7 m 0 ，
m 1 7 m
m 1 7 m
x2 y2
解得1 m 7且m 4，故“1 m 7 ”不是方程“ + =1表示椭圆的充要条件”，故 A 错误，
m 1 7 m
对于 B,若a ，a / / ，则 ， 可能相交也可能平行，故 B 错误，
对于 C,命题“ x R，使得 x2 + x 1 0 ”的否定是：“ x R，均有
x2 + x 1 0 ” ，故 C 错误，对于 D,函数 y = loga (x 1)+1(a 0且a 1)的图
像必过 (2,1) ,故 D 正确，故选：D
5.【答案】D 【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，
3 z 3 z
z = a b = 3x+ 2y化为 y = x + ，观察图形可得，当直线 y = x + 过点
2 2 2 2
文科数学答案 第1页 共8页
{#{QQABIYCAggCAAAAAAAACAwXwCgIQkgGCCCgOxBAcsEAAiQFABCA=}#}
A(2,0)时， z 取得最大值为 6.
6.【答案】C 【详解】由函数的图象可知函数的定义域为R ，
cos (πx)
而选项 B， f (x) = x | x 0 ( x x )的定义域为 ，由此即可排除选项B；
2 e e
cos (πx) cos ( πx)
函数图象关于原点对称，即为奇函数，而选项 A, f (x) = f ( x) = = f (x)
2( x ， ，e + e x ) 2(e x + ex )
cos (πx)
所以 f (x) = ( x 为偶函数，由此可排除选项
A；
2 e + e x )
(ex + e xf (1) 0 )sin (πx)根据图象可知 ，而选项 D, f (x) = ，
2
1
e + sinπ
e , 由此可排除 D，选项 C 满足图象特征. 故选：C. f (1) = = 0
2
2 a 2 a
7.【答案】D 【详解】 f (x) = 3x 3x ，依题意可得3x 3x 0在 (0,+ )上恒成立，即
x x
a 3x3 3x2在 (0,+ )上恒成立，设 g(x) = 3x3 3x2 (x 0)，则 g (x) = 9x2 6x = 3x(3x 2)，
2 2 2 2
当0 x 时， g (x) 0，当 x 时， g (x) 0，所以 g(x)在 (0, ) 上为减函数，在 ( ,+ )上为增函数，
3 3 3 3
2 2 2 4 4
所以 g(x)min = g( ) = 3 ( )
3 3 ( )2 = . 故a . 故选：D
3 3 3 9 9
1 3
8．【答案】C 【详解】当0 t 1时， f (t ) = t 3t = t 2 ，此段为开口向上的抛物线的一部分，
2 2
1 1 3
当1 t 2时， f (t ) = 2 3 (2 t ) 3 (2 t ) = t 2 + 2 3t 3 ，
2 2 2
此段为开口向下的抛物线的一部分，对称轴为 t = 2，满足条件的只有 C. 故选：C
9.【答案】C 【详解】因为 f ( x 1)是偶函数，所以 f (x 1) = f ( x 1)，则 f (x 3) = f ( x+1)，
因为 f (1 x) = f (1+ x)，所以 f (x 3) = f (1+ x)，则4是 f (x)的一个周期，
因为 log2 32 log2 40 log2 64，所以5 log2 40 6，1 log2 40 4 2，
1 40 1 11
f (log 40) = f (log 40 4) = 2log2 40 42 2 + = + = .故选：C.
4 16 4 4
10.【答案】D 【详解】由题意，作出正四棱台的对角面，如图
AD为正四棱台上底面正方形对角线，BC为正四棱台下底面正方形对角线，
O为外接球球心，为线段BC中点，则OD =OA=OB =OC = 50，
文科数学答案 第2页 共8页
{#{QQABIYCAggCAAAAAAAACAwXwCgIQkgGCCCgOxBAcsEAAiQFABCA=}#}
过点D作DE ⊥ BC ，垂足为E，则 DCE即为所求角.
因为OD = 50, DE = 40，所以OE = 30，所以EC = 20，
2 5
所以DC = 20 5，所以正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为 . 故选: D.
5
2
11.【答案】B 【详解】 f (x) =3x +2ax+b，令 f (x) = 0得 x = x1, x = x2，不妨令 x1 x2，
故 f (x)在 ( , x1),(x2,+ )上单调递增，在 (x1, x2 )上单调递减，
方程3[ f (x)]2 +2af (x)+b = 0可得 f (x) = x1, f (x) = x2，而 f (x1 ) = x2 ， f (x2 ) = x1，
由 f (x)的单调性并作出图象可知直线 y = x1, y = x2 分别过点 (x2 , f (x1)),(x1, f (x2))，与
函数 f (x)图象均有两个交点，故方程3[ f (x)]2 +2af (x)+b = 0的根的个数是 4 个.
故选：B.
12.【答案】A 【详解】抛物线 C： y2 = 4x的焦点F(1,0)，准线 x= 1，
2
圆 ( x 1) + y2 =1的圆心 (1,0)，半径 1，设P(x1, y1),Q(x2, y2)，
依题意，设直线 PQ 方程为： x = ty +1，
x = ty +1
2 y
2
1 y
2
由 2 ，消去 x 并整理得： y 4ty 4 = 0， 则有 y1y2 = 4， x1x2 =
2 =1，
y = 4x 4 4
1 4 1 4 1 4
| PM |=| PF | | MF |= x1 +1 1= x1，同理 | QN |= x ，于是得 + = + 2 = 42 ，
PM QN x1 x2 x1 x2
1 4 1 4
（当且仅当 = ，即 x2 = 4x1 = 2时取等号）所以 + 的值只要不小于 4 即可取到， x x PM QN1 2
则选项 A 不可能取到，选项 B、C，D 均可能取到．故选：A
1
13.【答案】 【详解】若q =1，则由8S6 = 7S3得8 6a1 = 7 3a1，则a1 = 0，不合题意. 所以q 1.
2
a (1 q6 ) a (1 q3 )
当 q 1时，因为8S6 = 7S
1 1
3，所以8 = 7 ，
1 q 1 q
8 (1 q6 ) = 7 (1 q3即 ) ( 3 )( 3 ) ( 3 )
1 1
，即8 1+ q 1 q = 7 1 q ，即8 (1+ q3 ) = 7，解得q = . 故答案为：
2 2
1 ln x 1 ln x ln x 1 lnx0 0
14.【答案】 【详解】因为 y = ，所以 y = ，设切点为 x , ，所以 y =0 x=x 2 ，
2e x x2 0 x0 x0
ln x0 1 ln x0
所以切线方程为 y = (x x0 )2 ， x0 x0
ln x0 1 ln x = 0又切线过坐标原点，所以 2 ( x0 )，解得 x = e ， x 00 x0
文科数学答案 第3页 共8页
{#{QQABIYCAggCAAAAAAAACAwXwCgIQkgGCCCgOxBAcsEAAiQFABCA=}#}
1
1
所以切线方程的斜率为 1 ln x0 2 1k = = = .
x20 ( e)
2 2e
15.【答案】9 【详解】由 x2 + y2 +4x 2y+1= 0可得 (x + 2)2 + (y 1)2 = 4，故圆的直径是 4，
所以直线过圆心 ( 2,1)，即2a+b =1，
a + 2b a 2b 1 2 1 2 2a 2b 2a 2b
又 = + = + = + (2a + b) = +1+ 4 + 5+ 2 = 9，
ab ab ab b a b a b a b a
2a 2b 1
当且仅当 = ，即a = b，即 a = b = 时，等号成立.故选：D.
b a 3
4044
16.【答案】 【详解】依题意，在数列{an}中，a1 =1,a2 a1 = 2,a3 a2 = 3, ,an an 1 = n(n 2)，
2023
n(n+1)
当 n 2时，a a =1n = a1 + (a2 a1)+ (a3 a2 )+ + (an an 1) =1+ 2+ 3+ + n = ， 1 满足上式，
2
n(n +1) 1 2 1 1 1
因此a = ， = = 2( )，数列{ }n 的前n项和为 S ，
2 an n(n +1) n n +1 a
n
n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n
则 Sn = 2[( )+ ( )+ ( )+ + ( )] = 2(1 ) = ，
1 2 2 3 3 4 n n+1 n+1 n+1
1 1 1 4044 4044
所以 + + + = S2022 = .故答案为：
a1 a2 a2022 2023 2023
三、解答题（本大题共 6 小题，共 56 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.【详解】（1）因为PD⊥底面 ABCD， AM 平面 ABCD，所以PD⊥ AM ，…………2 分
又PB⊥ AM ，PB PD = P，
所以 AM ⊥平面 PBD，…………3 分
而 AM 平面PAM ，
所以平面 PAM ⊥平面 PBD．…………4 分
（2） 由（1）可知 AM ⊥ BD． …………5 分
AD AB
于是 ABD∽ BMA，故 = ．…………7 分
AB BM
1 1
因为BM = BC, AD = BC, AB =1，所以 BC
2 =1，即BC = 2 ．…………9 分
2 2
1 2
故四棱锥P ABCD的体积V = AB BC PD = ．…………10 分
3 3
18．【详解】(1)若选①bsin A = asin 2B，则根据正弦定理可得：sin Bsin A= 2sin Asin Bcos B，
1
由于 0 A,B , sin A 0,sin B 0 ，故cos B = ，则B = ；…………5 分
2 3
3 1 3
若选② S = (a2 + c2 b2 ，则 ，即ABC ) ac sin B = 2ac cos B sin B = 3cos B ， 则 tan B = 3 …3 分
4 2 4
文科数学答案 第4页 共8页
{#{QQABIYCAggCAAAAAAAACAwXwCgIQkgGCCCgOxBAcsEAAiQFABCA=}#}
而0 B ，故B = ；…………5 分
3
2 cos B sin B 2 cos B
若选③ tan B = ，则 = ，即sin2 B = 2cos B cos2 B，
sin B cos B sin B
1
则 cos B = ，而0 B ，故B = ；…………5 分
2 3
(2)如图示： AC2 = AB2 +BC2 2AB BC cos B = 36+16 24 = 28 ,故 AC = 2 7 ，…………7 分
BC2 + AC2 AB2 16+ 28 36 7
故 cosC = = = , …………8 分
2BC AC 2 4 2 7 14
在 PBC 中，设PC = x ，则BP = 3x ，则
BC 2 + PC 2 BP2 16+ x2 9x2 7
cosC = = = ，即14x2 + 7x 28= 0 ，解得
2BC PC 2 4 x 14
7 4 7 3 7
x = ，或 x = （舍去）故BP = .…………12 分
2 7 2
b
19.【详解】（1） f (x)为定义在 ( 3,3)上的奇函数， f (0) = = 0 ，解得：b = 0，
9
k 1
f (1) = = ，解得： k =1；
8 8
x
当 k =1，b = 0时， f ( x) = 2 ， 9 x
x x
f ( x) = = = f (x2 2 )，满足 f (x)为奇函数；
9 ( x) 9 x
x
综上所述： f (x) = ( 3 x 3) . ……3 分
9 x2
（2） f (x)在 ( 3,3)上单调递增；
证明如下：任取 3 x1 x2 3，
x (9 x2 ) x (9 x2x x 2 1 1 2 ) 9(x x ) x x (x x ) (x2 x1 )(9+ x1x2 )
f (x2 ) f (
2 1 2 1 1 2 1 2x =1 ) = = =2 2 ( 2 )( 2 2
；
9 x2 9 x1 9 x2 9 x
2
1 ) (9 x22 )(9 x21 ) (9 x2 )(9 x1 )
3 x1 x2 3， x1x2 +9 0
2
，9 x2 0，9 x
2
1 0， f (x2 ) f (x1) 0，
f x 在 ( 3,3)上单调递增. ……8 分
（3） f (x)为定义在 ( 3,3)上的奇函数， 由 f (t 1)+ f (t) 0得： f (t 1) f (t) = f ( t )，
文科数学答案 第5页 共8页
{#{QQABIYCAggCAAAAAAAACAwXwCgIQkgGCCCgOxBAcsEAAiQFABCA=}#}
3 t 1 3
1
又 f (x)在 ( 3,3)上单调递增， 3 t 3 ，解得： 2 t ，
2
t 1 t
1
不等式 f (t 1)+ f (t) 0的解集为 2, . ……12 分
2
20. 【详解】（1）由题图可得蜜柚质量在区间 1750,2000)和 2000,2250)的比为 2∶3，
所以应分别在质量为 1750,2000), 2000,2250)的蜜柚中抽取 2 个和 3 个. …………1 分
记抽取的质量在区间 1750,2000)的蜜柚分别为 A1, A2，质量在区间 2000,2250)的蜜柚分别为B1, B2,B3 ，
则从这 5 个蜜柚中随机抽取 2 个的情况共有 10 种：
A1A2, A1B1, A1B2, A1B3, A2B1, A2B2, A2B3,B1B2 ,B1B3,B2B3, …………3 分
1
其中质量均小于 2 000 克的仅有 A1A2 这 1 种情况，所以所求概率为 . …………5 分
10
（2）方案A 好，
理由：由题中频率分布直方图可知，
蜜柚质量在区间 1500,1750)的频率为250 0.0004 = 0.1，
同理，蜜柚质量在区间
1750,2000), 2000,2250), 2250,2500), 2500,2750), 2750,3000
的频率依次为0.1,0.15,0.4,0.2,0.05，
若按方案A 收购：由题意知各区间的蜜柚个数依次为500,500,750,2000,1000,250，
于是总收益为
1500+1750 1750+ 2000 2000+ 2250 2250+ 2500
( 500+ 500+ 750+ 2000
2 2 2 2
2500+ 2750 2750+3000
+ 1000+ 250) 40 1000 = 457500 (元). …………8 分
2 2
若按方案 B 收购：由题意知蜜柚质量低于 2 250 克的个数为 (0.1+0.1+0.15) 5000 =1750，
蜜柚质量高于或等于 2 250 克的个数为5000 1750 = 3250，
所以总收益为1750 60+3250 80 = 365000 (元). …………11 分
因为365000 457500，
所以方案A 的收益比方案 B 的收益高，应该选择方案A . …………12 分
文科数学答案 第6页 共8页
{#{QQABIYCAggCAAAAAAAACAwXwCgIQkgGCCCgOxBAcsEAAiQFABCA=}#}
a = b a = 2
x2 y2
21.【详解】（1）由题意可得 2c = 4 2 b = 2 ，所以双曲线的标准方程为 = 1；……4 分
4 4a2 + b2 = c2
c = 2 2
（2）设直线 l : y = k (x 1), A(x1, y1),B(x2, y2 ),D(x2, y2 )，
y = k (x 1)
联立 x2 y2 消去 y (1 k
2 ) x2 + 2k 2x k 2整理可得 4 = 0，
=1
4 4
2
4 ( k + 4 2k
2
则Δ = 4k + 4 1 k
2 )(k 2 + 4) = 4(4 3k 2 )，又 x x = ， x + x = ，……5 分 1 2 1 2
1 k 2 1 k 2
① 因直线 l与双曲线交于两支，所以Δ 0且 x1x2 0，
4(4 3k 2 ) 0
即 2 1 k 1k + 4 ； ……7 分
0
1 k
2
y1 + y2
② 设 AD : y = (x x1 )+ y1，
x1 x2
2 2
(x1 x2 ) ( y1 ) x y + x y 2x1x2 (x1 + x ) 2( k 4)+ 2k2 8
令 y = 0 ，则 x = + x =
2 1 1 2
1 = = = = 4，
y1 + y2 y1 + y2 x1 + x2 2 2k
2 2(1 k 2 ) 2
所以直线 AD过定点 (4,0) . ……12 分
22.【详解】（1）对任意的 x (0,+ )，都有 f (x) x2 即 ln x ax恒成立，
ln x ln x
a 对 x (0,+ )恒成立，即a ，……1 分
x x max
ln x 1 ln x
设 g(x) = ，则 g (x) = ，
x x2
令 g (x) 0，则0 x e；令 g (x) 0，则 x e，
g(x) 在 (e,+ )上单调递减，在 (0,e)上单调递增，
1 1
g(x)max = g(e) = ， a ……5 分
e e
2 1 2x
2 ax +1
（2）证明： f (x) = ln x + x ax ， f (x) = + 2x a = , (x 0)，
x x
因为 f (x) 存在两个极值点 x1, x
2
2 ，所以 2x ax +1= 0存在两个互异的正实数根 x1, x2 ，
Δ = a2 8 0
则 a ，解得a 2 2 ， ……7 分
0
2
a 1
由根与系数关系得 x1 + x2 = , x1 x2 = ，
2 2
文科数学答案 第7页 共8页
{#{QQABIYCAggCAAAAAAAACAwXwCgIQkgGCCCgOxBAcsEAAiQFABCA=}#}
x x
1 1 = 1 = 2x2
x = 1则 2 ，所以 x 1 ，
2x 21 2x1
x
2 2 = ln 1 + x2 2
x1 2 2
所以 f (x1) f (x2 ) = ln x1 + x1 ax1 ln x2 x2 +ax x 2(x + x 2 1 2 1 2 )(x1 x2 ) = ln + ( x1 + x2 )x 2 x2
1
= ln 2+ 2ln x 21 x1 + ，
4x21
2
1 2x22 1
令 g(x) = ln 2+ 2ln x x + 2 1 ( )
4x2
，则 g (x) = 2x = ，
x 2x3 2x3
1 1
0 x ， g (x) 0， g(x) 在 0, 上单调递减，
2 2
1 1 3 3
g(x) g ，而 g = ln 2，即 g (x1 ) ln 2 ，
2 2 4 4
3
f (x1 ) f (x2 ) ln 2． ……12 分
4
文科数学答案 第8页 共8页
{#{QQABIYCAggCAAAAAAAACAwXwCgIQkgGCCCgOxBAcsEAAiQFABCA=}#}2022-2023-2 高二年级月考 3
文 科 数 学 试 卷
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共计 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合
题目要求的）
1．已知集合 A = x N∣x 1 2 ， B = 2,3,4 ，则 A B =（ ）
A． 1,0,1,2,3,4 B． 0,1,2,3,4 C． 2,3 D． 1,2,3,4
2+ i
2．设 z = 2 ，则 z =（ ） 1+ i + i5
A．1 2i B．1+2i C．2 i D．2+ i
3．如图是某三棱锥的三视图，已知网格纸的小正方形边长是 1，则这个三棱
锥中最长棱的长为（ ）
A．5 B． 34 C． 41 D．7
4．给出下列四个选项中，其中正确的选项有（ ）
x2 y2
A．“1 m 7 ”是方程“ + =1表示椭圆的充要条件”
m 1 7 m
B．已知a表示直线， ， 表示两个不同的平面，若a ，a / / ，则 / /
C．命题“ x R，使得 x2 + x 1 0 ”的否定是：“ x R，均有 x2 + x 1 0 ”
D．函数 y = loga (x 1)+1(a 0且a 1)的图像必过 (2,1)
x 2y 2 0
5．已知向量a = (3,2),b = (x, y)，且实数 x，y满足约束条件 x y +1 0 ，则 z = a b 的最大值为（ ）
y 0
A． 18 B． 10 C． 2 D．6
6．已知 f (x)的图象如图，则 f (x)的解析式可能是（ ）
cos (πx) cos (πx)
A． f (x) = B f (x) =
2( x ．e + e x ) 2(ex e x
)
(ex e x )cos (πx) (ex + e x )sin (πx)
C． f (x) = D． f (x) =
2 2
文科数学 第1页 共4页
{#{QQABIYCAggCAAAAAAAACAwXwCgIQkgGCCCgOxBAcsEAAiQFABCA=}#}
f (x) = x3
3 2
7．已知函数 x a ln x (a R)在 (0,+ )上单调递增，则a的取值范围是（ ）
2
2 2 4 4
A．a B．a C．a D．a
3 3 9 9
8．如图所示，在直角坐标系的第一象限内， AOB是边长为 2 的等边三角形，设直线 x = t(0 t 2)截这
个三角形可得位于此直线左方的图象的面积为 f (t) ，则函数 y = f (t)的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
9．已知定义在R 上的函数 f (x)满足 f (1 x) = f (1+ x)，且 f ( x 1)是偶函数，当1 x 3时，
1
f (x) = 2x + ，则 f (log2 40) =（ ）
4
5 9 11
A． B． C． D．3
2 4 4
10．米斗是称量粮食的量器，是古代官仓 粮栈 米行及地主家里必备的用具 如图为一倒正四棱台型米
斗，高为 40cm.已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为 50cm 的球 O的球面上，且一个底面的中心与
球 O的球心重合，则该正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（ ）
1 3 5 2 5
A． B． C． D．
2 2 5 5
3 2
11．已知函数 f (x) = x +ax +bx有两个极值点 x1, x2 ，且 f (x1 ) = x2 ， f (x2 ) = x1，那么
2
关于 x的方程3 f (x) + 2af (x)+b = 0的不同实根的个数是（ ）
A．6 个 B．4 个 C．2 个 D．1 个
12．已知过抛物线 C： y2 = 4x的焦点 F的直线交抛物线 C于 P，Q两点，交圆 x2 + y2 2x = 0于 M，N两
1 4
点，其中 P，M位于第一象限，则 + 的值不可能为（ ）
PM QN
A．2 3 B．3 3 C．4 D．3 2
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二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共计 20 分）
13．记 Sn 为等比数列 an 的前n项和．若8S6 = 7S3，则 an 的公比为________．
ln x
14．若直线 l过原点，且与函数 y = 的图像相切，则该直线的斜率为________．
x
a + 2b
15．设 a，b为正数，若直线ax by +1= 0被圆 x2 + y2 +4x 2y+1= 0截得弦长为 4，则 的最小值为
ab
________．
16．南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问
题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与
相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是
如图顶层放 1 个，第二层放 3 个，第三层放 6 个，第四层放 10 个 第 n层放an 个
1 1 1
物体堆成的堆垛，则 + + + = ______．
a1 a2 a2022
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（本题满分 10 分）如图，四棱锥P ABCD的底面是矩形，PD⊥底面
ABCD，M为BC的中点，且PB⊥ AM ．
（1）证明：平面 PAM ⊥平面 PBD ；
（2）若PD = DC =1，求四棱锥P ABCD的体积．
3 2 cos B
18．（本题满分 12 分）在 ①bsin A = asin 2B，② S 2 2ABC = (a + c b2 )，③ tan B = 这三个条件
4 sin B
中任选一个，补充在下面横线上，并解答. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
在 ABC中，内角A ， B ，C 的对边分别为a，b ，c，且___________.
（1）求角 B 的大小；
（2）已知 AB = 6，BC = 4，点 P 在边 AC 上，且BP = 3PC ，求线段BP的长.
kx + b 1
19．（本题满分 12 分）函数 f ( x) = 是定义在 ( 3,3)上的奇函数，且 f (1) =2 ． 9 x 8
（1）确定 f (x)的解析式；
（2）判断 f (x)在 ( 3,3)上的单调性，并证明你的结论；
（3）解关于 t 的不等式 f (t 1)+ f (t) 0．
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20．（本题满分 12 分）某村为提高村民收益，种植了一批蜜柚，现为了更好地销售，从该村的蜜柚树上随
机摘下了 100 个蜜柚进行测重，测得其质量(单位：克)均分布在区间 1500,3000 内，并绘制了如图所示的
频率分布直方图：
（1）按分层随机抽样的方法从质量落在区间 1750,2000), 2000,2250)的蜜柚中随机抽取 5 个，再从这 5 个
蜜柚中随机抽取 2 个，求这 2 个蜜柚质量均小于 2 000 克的概率；
（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的蜜柚树上大约还有
5 000 个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：
A .所有蜜柚均以 40 元/千克收购；
B .低于 2 250 克的蜜柚以 60 元/个的价格收购，高于或等于 2 250 克的蜜柚以 80 元/个的价格收购.
请你通过计算为该村选择收益最好的方案.
21．（本题满分 12 分）已知等轴双曲线C 的焦点在 x轴上，焦距为4 2 .
（1）求双曲线的标准方程；
（2）斜率为 k 的直线 l过点P(1,0)，且直线 l 与双曲线C 的两支分别交于A 、 B 两点，
① 求 k 的取值范围；
② 若D是 B 关于 x 轴的对称点，证明直线 AD过定点，并求出该定点坐标.
22．（本题满分 12 分）已知函数 f (x) = ln x+ x2 ax,(a R) ．
（1）若对任意的 x (0,+ )，都有 f (x) x2 恒成立，求实数 a的取值范围；
1 3
（2）设 f (x) 存在两个极值点 x , x 且 x1 x2．若0 x1 1 2 ，证明： f (x1 ) f (x2 ) ln 2．
2 4
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