江西省赣州市上犹县2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（Word版含答案）

上犹县2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试卷
考生注意：
1.请将各题答案填写在答题卡上，填写在试卷上无效。
2.考试期间考生不得向监考老师提出任何与试卷内容相关问题，若有违反一律按考试舞弊处理（本场考试科目记做0分）。
3. 请勿在草稿纸上做任何标记，考试结束后请立即停止作答，由监考老师回收试卷、答题卡、草稿纸，期间考生不得离开考场。
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．在等比数列中，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．从5件不同的礼物中选出3件分别送给3名同学，则不同的送法共有（ ）
A．240种 B．125种 C．120种 D．60种
4．若随机变量，则（ ）
A．4.8 B．2.4 C．9.6 D．8.6
5．已知，，且，则x的值为（ ）
A． B． C．6 D．－6
6．已知数列满足，且（），则（ ）
A． B． C． D．
7．已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．若在上恒成立，则实数a的取值范围是为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如果数列为递增数列，则的通项公式可以为（ ）
A． B． C． D．
11．已知为等差数列，满足，为等比数列，满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．数列的首项比公差多 B．数列的首项比公差少
C．数列的首项为 D．数列的公比为
12．设函数，若是函数的两个极值点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题（共20分）
13．已知等差数列的前项和为，若，则________．
14．已知函数，则________.
15．已知函数,则函数的单调递减区间是______.
16．已知等差数列的首项为，公差，等比数列满足，，则的取值范围为________.
四、解答题（共70分）
17．（10分）求下列函数的导数
(1)；
(2).
18．（12分）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点.
(1)求圆的方程；
(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程.
试卷第2页，共2页
19．（12分）某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生500人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：将分数不低于750分的学生称为“高分选手”.
(1)求的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)现采用分层抽样的方式从分数落在，内的两组学生中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望.
20．（12分）如图，四边形ACC1A1与四边形BCC1B1是全等的矩形，．

(1)若P是AA1的中点，求证:平面PB1C1⊥平面PB1C;
(2)若P是棱AA1上的点，直线BP与平面ACC1A1所成角的正切值为，求二面角B1﹣PC﹣C1的余弦值．
21．（12分）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．
(1)若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与的通项公式；
(2)若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．
22．（12分）已知函数．
(1)证明：；
(2)设函数，，其中，若函数存在非负的极小值，求a的取值范围．
1．B
，又因为
所以，
故选：B.
2．D
因为，所以.
故选：D.
3．D
由题意可知,
故选：D
4．C
因为，所以，
所以.
故选：C
5．D
因为，所以，解得.
故选：D.
6．A
（），
，解得.
故选：A
7．D
如图建立空间直角坐标系，则，
所以，
所以，
所以点到直线的距离是.
故选：D.
8．B
因为，
所以，
记，则恒成立，
即在上单调递增，
即原不等式等价于，在任意上恒成立，
所以等价于，在任意上恒成立，
记，，则，
令，解得，当时，，当时，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，
即，
故选：B
9．BD
对于A选项，，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，，D对.
故选：BD.
10．BCD
对于A，当，故不是递增数列，故A不符合，
对于B，，故是递增数列，故B符合，
对于C,，故为递增数列，,C符合，
对于D,，故为递增数列，D符合,
故选：BCD
11．AD
设的公差为，由，
得，化简得，
所以A正确，B错误．
设的公比为，由，得，化简得，
所以C错误，D正确，
故选：AD.
12．CD
依题意，则，令，
由题意知，解得.
依题意，，是的两个零点，
所以（*），且，
①②，得③，
将（*）代入③，化简得（**），
所以
④，
将（*）、（**）代入④，得.
由于，所以当、、时，，
则，所以，故A、B错误，C正确.
当时，，则，所以，故D正确.
故选：CD
13．
因为，所以，
所以.
故答案为：
14．
因为，所以，
所以，解得.
故答案为：
15．
函数定义域为,
由于函数,
所以,
得,
所以函数的单调递减区间是.
故答案为:.
16．
设等比数列的公比为，则，，
则，
所以，且，
可得，，
则，
令，则在上单调递增，可得，
故在上单调递减，可得，
即的取值范围为.
故答案为：.
17．(1)；
(2).
（1）因为，则.
（2）由题得=＝＝－.
18．(1)
(2)
（1）由题意可知，的中点为，，所以的中垂线方程为，
它与轴的交点为圆心，又半径，所以圆的方程为；
（2）设，，由，得，
所以，又点在圆上，故，
所以，化简得的轨迹方程为
19．(1)，平均数，中位数650，众数600
(2)分布列见解析，
（1）由题意知，解得，
所以每组的频率依次为，
样本平均数，
因为，所以中位数650，
又因为的频率最大，所以众数为600．
（2）由题意可得：从中抽取人，从中抽取人，
则随机变量的所有可能取值有0，1，2，3．可知，
即，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
随机变量的数学期望．
20．(1)证明见解析
(2)
（1）由题意知 ，所以AC⊥BC，
又因为CC1⊥BC，且CC1∩AC＝C，AC平面ACC1A1，CC1平面ACC1A1，
所以BC⊥平面ACC1A1，
又平面ACC1A1，所以BC⊥CP．
，即，所以AC＝AP，所以，
同理，所以，即PC1⊥CP．
又由于，所以B1C1⊥CP，且PC1∩B1C1＝C1，
又PC1平面PB1C1，B1C1平面PB1C1，
所以CP⊥平面PB1C1，
又因为平面PB1C，所以平面PB1C1⊥平面PB1C．
（2）由（1）知，BC⊥平面ACC1A1，所以CP是直线BP在平面ACC1A1内的射影，
所以∠BPC就是直线BP与平面ACC1A1所成的角，即，
所以，所以由勾股定理得，
又由（1）知，A1 C 1，B1C1，CC1两两垂直，以C1C，C1B1，C1A1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

设AA1＝2，则，，，，
设平面的一个法向量为，
由于，所以，即，
令，则，即，易知平面的一个法向量为，
设二面角B1﹣PC﹣C1的大小为，由图知为锐角，
所以.
故二面角B1﹣PC﹣C1的余弦值为.
21．(1)
(2)证明见解析
（1）依题意，而，即，由于，∴解得，
∴．
∴，故，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．
∴．
∴，故（）．
∴
．
经检验对于n=1也成立；
（2）依题意设，由于，
∴，
故
，
经检验对于n=1也成立，
∴．
由于，∴，∴，即．
22．(1)证明见解析
(2)
（1），令，则．
∵当时，，∴恒成立，即在上单调递增．
又，
∴当时，；当时，．
∴函数在上单调递减，在上单调递增．
∴．∴．
（2）．
由（1）知在上单调递增，∴当时，，即；当时，，即．
（i）当时，在上恒成立，∴当时，；当时，．
∴函数在上单调递减，在上单调递增．
∴，即．
（ii）当时，由，解得，，函数在上单调递减．
①当时，．当时，；
当时，；
当时，．
∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
∴．不符合题意．
②当时，．当时，有恒成立，
故在上单调递减．∴函数不存在极小值，不符合题意．
③当时，．当时，；当时，；当时，．
∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
∴．不符合题意．
综上所述，若函数存在非负的极小值，则a的取值范围为．