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1.1第2课时 集合的表示方法（分层练习）
【练基础】
1.（多选）下面四个说法中错误的是( )
A．10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7}
B．由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,1,2}
C．方程x2－2x＋1＝0的所有解组成的集合是{1,1}
D．0与{0}表示同一个集合
2.（多选）方程组的解集可表示为( )
A．(x，y) B．(x，y)
C．(2,1) D．{(2,1)}
3. 已知集合A＝{x∈N|x<6}，则下列关系式不成立的是( )
A．0∈A B．1.5 A
C．－1 A D．6∈A
4. 把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法表示为( )
A．{x＝1，x＝2} B．{x|x＝1，x＝2}
C．{x2－3x＋2＝0} D．{1,2}
5. 下列四个集合中，不同于另外三个的是( )
A．{y|y＝2} B．{x＝2}
C．{2} D．{x|x2－4x＋4＝0}
6. 方程组的解集是( )
A．(－5,4) B．(5，－4)
C．{(－5,4)} D．{(5，－4)}
7. 下列集合的表示方法正确的是( )
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1<4的解集为{x<5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
8. （多选）对于二元一次方程组的解用集合表示正确的为( )
A.{(－1，1)}
B.{－1，1}
C.(－1，1)
D.
【练综合】
1. (多选)下列是集合M＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}中元素的有( )
A.(0，0) B.(0，1)
C.(1，0) D.(2，－1)
2. 若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}只有一个元素，则实数k的值为( )
A．0 B．1
C．0或1 D．2
3. 设P、Q为两个实数集，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，则P＋Q中元素的个数是( )
A．9 B．8
C．7 D．6
4. 设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
5. 已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________.
6. 设a∈N，b∈N，a＋b＝2，A＝{(x，y)|(x－a)2＋(y－a)2＝5b}，(3，2)∈A，求a，b的值．
【练思维】
1. 设集合B＝.
(1)试判断元素1和2与集合B的关系；
(2)用列举法表示集合B.
2. 已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若集合A中只有一个元素，求实数a的值；
(2)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围；
(3)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
3. 已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至多只有一个，求m的取值范围．
4. 下列三个集合：
A＝{x|y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，
C＝{(x，y)|y＝x2＋1}.
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？
【练创新】
1. 对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n，当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，在此定义下，求集合M＝{(a，b)|a※b＝12，a∈N*，b∈N*}中的元素有多少个？
2. 已知集合A＝{x|ax2＋bx＋1＝0，a∈R，b∈R}，求：
(1)当b＝2时，A中至多有一个元素，求a的取值范围；
(2)当b＝－2时，A中至少有一个元素，求a的取值范围.
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1.1第2课时 集合的表示方法（分层练习）
【练基础】
1.（多选）下面四个说法中错误的是( )
A．10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7}
B．由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,1,2}
C．方程x2－2x＋1＝0的所有解组成的集合是{1,1}
D．0与{0}表示同一个集合
【解析】10以内的质数组成的集合是{2,3,5,7}，故A正确；由集合中元素的无序性知{1,2,3}和{3,1,2}表示同一集合，故B正确；方程x2－2x＋1＝0的所有解组成的集合是{1}，故C错误；由集合的表示方法知0不是集合，故D错误.
故选CD.
2.（多选）方程组的解集可表示为( )
A．(x，y) B．(x，y)
C．(2,1) D．{(2,1)}
【解析】方程组的解集为点集，故C不正确，解方程组得故用描述法表示A，B正确；用列举法表示D正确.
故选ABD.
3. 已知集合A＝{x∈N|x<6}，则下列关系式不成立的是( )
A．0∈A B．1.5 A
C．－1 A D．6∈A
【解析】∵A＝{x∈N|x<6}＝{0,1,2,3,4,5}，
∴6 A.
故选D.
4. 把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法表示为( )
A．{x＝1，x＝2} B．{x|x＝1，x＝2}
C．{x2－3x＋2＝0} D．{1,2}
【解析】解方程x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，所以集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法可表示为{1,2}．
故选D.
5. 下列四个集合中，不同于另外三个的是( )
A．{y|y＝2} B．{x＝2}
C．{2} D．{x|x2－4x＋4＝0}
【解析】{x＝2}表示的是由一个等式组成的集合．
故选B.
6. 方程组的解集是( )
A．(－5,4) B．(5，－4)
C．{(－5,4)} D．{(5，－4)}
【解析】解方程组得故解集为{(5，－4)}.
故选D.
7. 下列集合的表示方法正确的是( )
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1<4的解集为{x<5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
【解析】选项A中应是xy<0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{}”与“全体”意思重复．
故选D.
8. （多选）对于二元一次方程组的解用集合表示正确的为( )
A.{(－1，1)}
B.{－1，1}
C.(－1，1)
D.
【解析】集合的常用表示方法有列举法、描述法.
方程组的解集为有序数对，
结合选项知二元一次方程组的解
用列举法表示为{(－1，1)}，
用描述法表示为.
故选AD.
【练综合】
1. (多选)下列是集合M＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}中元素的有( )
A.(0，0) B.(0，1)
C.(1，0) D.(2，－1)
【解析】因为M＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}，
所以或或
所以M＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)}.
故选ABC.
2. 若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}只有一个元素，则实数k的值为( )
A．0 B．1
C．0或1 D．2
【解析】集合A中只有一个元素，即方程kx2＋4x＋4＝0只有一个根．当k＝0时，方程为一元一次方程，只有一个根；当k≠0时，方程为一元二次方程，若只有一根，则Δ＝16－16k＝0，即k＝1.所以实数k的值为0或1.
故选C.
3. 设P、Q为两个实数集，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，则P＋Q中元素的个数是( )
A．9 B．8
C．7 D．6
【解析】因为0＋1＝1，0＋2＝2，0＋6＝6，2＋1＝3，2＋2＝4，2＋6＝8，5＋1＝6，5＋2＝7，5＋6＝11，所以P＋Q＝{1，2，3，4，6，7，8，11}．
故选B.
4. 设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】当a＝1，b＝4时，x＝5；当a＝1，b＝5时，x＝6；当a＝2，b＝4时，x＝6；当a＝2，b＝5时，x＝7；当a＝3，b＝4时，x＝7；当a＝3，b＝5时，x＝8.由集合元素的互异性知M中共有4个元素．
故选B.
5. 已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________.
【解析】由－5∈{x|x2－ax－5＝0}，
得(－5)2－a×(－5)－5＝0，所以a＝－4，
所以{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，
所以集合中所有元素之和为2.
6. 设a∈N，b∈N，a＋b＝2，A＝{(x，y)|(x－a)2＋(y－a)2＝5b}，(3，2)∈A，求a，b的值．
【解析】由a＋b＝2，得b＝2－a，
代入(x－a)2＋(y－a)2＝5b得：
(x－a)2＋(y－a)2＝5(2－a)①，
又因为(3，2)∈A，将点代入①，可得
(3－a)2＋(2－a)2＝5(2－a)，
整理，得2a2－5a＋3＝0，
得a＝1或1.5(舍去，因为a是自然数)，
所以a＝1，所以b＝2－a＝1，
综上，a＝1，b＝1.
【练思维】
1. 设集合B＝.
(1)试判断元素1和2与集合B的关系；
(2)用列举法表示集合B.
【解析】(1)当x＝1时，＝2∈N；
当x＝2时，＝ N，
所以1∈B，2 B.
(2)因为∈N，x∈N，
所以2＋x只能取2，3，6，
所以x只能取0，1，4，所以B＝{0，1，4}.
2. 已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若集合A中只有一个元素，求实数a的值；
(2)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围；
(3)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
【解析】当a＝0时，原方程可化为－3x＋2＝0，得x＝，符合题意．当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0为一元二次方程，由题意得，Δ＝9－8a＝0，得a＝.所以当a＝0或a＝时，集合A中只有一个元素．
(2)由题意得，当
即a<且a≠0时方程有两个实根，
又由(1)知，当a＝0或a＝时方程有一个实根．所以a的取值范围是.
(3)由(1)知，当a＝0或a＝时，集合A中只有一个元素．
当集合A中没有元素，即A＝ 时，
由题意得解得a>.
综上得，当a≥或a＝0时，集合A中至多有一个元素.
3. 已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至多只有一个，求m的取值范围．
【解析】①当m＝0时，原方程为－2x＋3＝0，x＝，符合题意．
②当m≠0时，方程mx2－2x＋3＝0为一元二次方程，由Δ＝4－12m≤0，得m≥，即当m≥时，方程mx2－2x＋3＝0无实根或有两个相等的实数根，符合题意．
由①②知m＝0或m≥.
4. 下列三个集合：
A＝{x|y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，
C＝{(x，y)|y＝x2＋1}.
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？
【解析】(1)不是.
(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，
即A＝R，可以认为集合A表示函数y＝x2＋1中自变量x的取值范围；
集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以B＝{y|y≥1}，
可以认为集合B表示函数y＝x2＋1中因变量y的取值范围；
集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对.
可以认为集合C是由坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的.
【练创新】
1. 对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n，当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，在此定义下，求集合M＝{(a，b)|a※b＝12，a∈N*，b∈N*}中的元素有多少个？
【解析】当a，b同奇偶时，根据m※n＝m＋n将12分拆为两个同奇偶数的和，当a，b一奇一偶时，根据m※n＝mn将12分拆为一个奇数与一个偶数的积，再算其组数即可．
若a，b同奇偶，有12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7＝6＋6，前面的每种可以交换位置，最后一种只有1个点(6，6)，这时有2×5＋1＝11(个)；
若a，b一奇一偶，有12＝1×12＝3×4，每种可以交换位置，这时有2×2＝4(个)．
所以共有11＋4＝15(个)．
2. 已知集合A＝{x|ax2＋bx＋1＝0，a∈R，b∈R}，求：
(1)当b＝2时，A中至多有一个元素，求a的取值范围；
(2)当b＝－2时，A中至少有一个元素，求a的取值范围.
【解析】(1)当a＝0时，A＝，当a＝1时，A＝{－1}，当a>1时，A＝ .
故a的取值范围为a≥1或a＝0.
(2)当a＝0时，A＝，当a＝1时，A＝{1}，当a<1时，Δ>0，A中有两个元素，符合题意，故a的取值范围为a≤1或a＝0，即a≤1.
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