江苏省南京市励志高级中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版含解析）

励志高级中学2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试卷
一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）
1．已知集合，，则　　
A． B． C． D．
2．已知复数，则　　
A．1 B．2 C． D．5
3．已知向量，，则　　
A． B．69 C． D．43
4．已知函数的图象在点，（1）处的切线斜率为1，则　　
A． B．1 C． D．2
5．已知等差数列的前项和为，，，则　　
A．10 B．12 C．16 D．20
6．某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前、后的年经济收入构成比例，得到如图扇形图．下列结论正确的是　　
A．招商引资后，工资净收入较前一年减少
B．招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍
C．招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的
D．招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍
7．圆锥曲线具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，是它的一条对称轴，是它的一个焦点，一光线从焦点发出，射到镜面上点，反射光线是，若，，则该双曲线的离心率等于　　
A． B． C． D．
8．已知三棱锥中，平面平面，且，，若，，则三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
9．设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
10．在中，已知，下列结论中正确的是　　
A．这个三角形被唯一确定
B．一定是钝角三角形
C．
D．若，则的面积是
11．已知函数的图象在处切线的斜率为9，则下列说法正确的是　　
A．
B．在处取得极大值
C．当，时，，
D．的图象关于点中心对称
12．已知抛物线的焦点为，，，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是　　
A．点的坐标为
B．若直线过点，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段的中点到轴的距离为
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有　 　种．
14．直线经过点，与圆相交截得的弦长为，则直线的方程为 　　．
15．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则　　．
16．已知函数的最小正周期为，，且的图像关于点中心对称，若将的图像向右平移个单位长度后图像关于轴对称，则实数的最小值为__________.
四．解答题（共6小题,共70分）
17．（10分）已知函数．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，求的最大值，并求当取得最大值时的值．
18．（12分）已知等比数列的公比大于1，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前项和．
19．（12分）综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价．如图是该校高三学生“运动与建康”评价结果的频率直方图，评分在区间，，，，，，，上，分别对应为，，，四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获等级的学生有的概率提升为等级：原获等级的学生有的概率提升为等级：原获等级的学生有的概率提升为等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立．
（1）若初评中甲获得等级，乙、丙获得等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为等级的人数为，求的分布列和数学期望；
（2）从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是等级的概率．
20．（12分）在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，为边的中点，在边上，且，沿将进行折叠，使点运动到点的位置，如图2，连接，，，使得．
（1）证明：平面．
（2）求二面角的余弦值．
21．（12分）已知函数．
（1）若函数的图象与函数的图象在区间，上有公共点，求实数的取值范围；
（2）若，且，曲线在点，（1）处的切线与轴，轴的交点坐标为，，，当取得最小值时，求切线的方程．
22．（12分）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线．已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点，分别为椭圆的左、右顶点．
（1）求双曲线的方程；
（2）设过点的动直线交双曲线右支于，两点，若直线，的斜率分别为，．
试探究与的比值是否为定值．若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
求的取值范围．
励志高级中学2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知集合，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
，，，．
故选：．
2．已知复数，则　　
A．1 B．2 C． D．5
【解答】解：，
所以．
故选：．
3．已知向量，，则　　
A． B．69 C． D．43
【解答】解：因为向量，，
则．
故选：．
4．已知函数的图象在点，（1）处的切线斜率为1，则　　
A． B．1 C． D．2
【解答】解：由，得，
（1），
由题意可得：，即．
故选：．
5．已知等差数列的前项和为，，，则　　
A．10 B．12 C．16 D．20
【解答】解：等差数列的前项和为，，，
，
解得，，
．
故选：．
6．某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前、后的年经济收入构成比例，得到如图扇形图．下列结论正确的是　　
A．招商引资后，工资净收入较前一年减少
B．招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍
C．招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的
D．招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍
【解答】解：设招商引资前经济收入为，则招商引资后经济收入为，
对于选项，招商引资前工资净收入为，招商引资后的工资净收入为，
所以招商引资后，工资净收入增加了，故选项错误；
对于选项，招商引资前转移净收入为，招商引资后转移净收入为，
所以招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍，故选项错误；
对于选项，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为，
所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的，故选项错误；
对于选项，招商引资前经营净收入为，招商引资后经营净收入为，
所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故选项正确．
故选：．
7．圆锥曲线具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，是它的一条对称轴，是它的一个焦点，一光线从焦点发出，射到镜面上点，反射光线是，若，，则该双曲线的离心率等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：由已知条件可得，，，
设，
则，，
则该双曲线的离心率．
故选：．
8．已知三棱锥中，平面平面，且，，若，，则三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：在中，已知，，
设的外心为，外接圆半径为，
由正弦定理可得，
则，
又平面平面，且，
则平面，
设三棱锥的外接球的球心为，半径为，
过作，连接，
则为的中点，平面，
即，
则，
则三棱锥的外接球的表面积为，
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
【解答】解：，为不同的直线，，为不同的平面，
对于，若，，则与相交、平行或异面，故错误；
对于，若，，则由线面垂直的性质得，故正确；
对于，若，，则与相交或平行，故错误；
对于，若，，，则由面面平行的判定定理得，故正确．
故选：．
10．在中，已知，下列结论中正确的是　　
A．这个三角形被唯一确定
B．一定是钝角三角形
C．
D．若，则的面积是
【解答】解：依题意可设，，，
对于，当取不同的值时，三角形显然不同，故错误；
对于，因为，，
所以，则三角形为钝角三角形，故正确；
对于，由正弦定理可知：
，故正确；
对于，因为，即，即，，，
又因为，所以，
则，故错误．
故选：．
11．已知函数的图象在处切线的斜率为9，则下列说法正确的是　　
A．
B．在处取得极大值
C．当，时，，
D．的图象关于点中心对称
【解答】解：，则，
因为函数的图象在处切线的斜率为9，
所以（2），即，解得，故正确；
则，则，
令，可得或，令，可得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，故正确；
当，时，由的单调性可知，的最大值为，
又，（1），
所以当，时，，，故错误；
因为函数为奇函数，关于原点对称，
所以函数的图象关于点中心对称，故正确．
故选：．
12．已知抛物线的焦点为，，，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是　　
A．点的坐标为
B．若直线过点，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段的中点到轴的距离为
【解答】解：由抛物线，可得，则焦点，故正确；
直线过点，设直线方程为，
联立直线方程与抛物线方程，可得，得，，故正确；
若，则，，三点共线，由抛物线的焦点弦公式可得，
，即当时，的最小值为1，故错误；
由，得，可得线段的中点的纵坐标为，
即线段的中点到轴的距离为，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有　216　种．
【解答】解：最左端排甲，共有种，最左端排乙，最右端不能排甲，有种，
根据加法原理可得，共有种．
故答案为：216．
14．直线经过点，与圆相交截得的弦长为，则直线的方程为 　或　．
【解答】解：圆，即，圆心为，半径，
因为直线与圆相交截得的弦长为，
所以圆心到直线的距离，
若直线的斜率不存在，此时直线方程为，满足圆心到直线的距离为3，符合题意；
若直线的斜率存在，设斜率为，则直线方程为，即，
则，解得，所以直线方程为，即，
综上可得直线方程为或．
故答案为：或．
15．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则　　．
【解答】解：因为是定义域为的奇函数，，
所以，又当时，，
所以．
故答案为：．
16．已知函数的最小正周期为，，且的图像关于点中心对称，若将的图像向右平移个单位长度后图像关于轴对称，则实数的最小值为______
【解答】解：，，且，，即，
的图像关于点中心对称，
，且，即，解得，
，
取，，，
将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，
的图像关于轴对称，，解得，
，
当时，得，
四．解答题（共6小题）
17．已知函数．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，求的最大值，并求当取得最大值时的值．
【解答】解：（1）
，
则的最小正周期，
由，，
得，，即的单调递增区间为，，．
（2）当时，，，，，
当，即时，取得最大值，最大值为．
18．已知等比数列的公比大于1，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前项和．
【解答】解：（1）设等比数列的公比为，
由，，得，即，
解得或（舍去），所以，
所以；
（2）由（1）可知，
所以．
19．综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价．如图是该校高三学生“运动与建康”评价结果的频率直方图，评分在区间，，，，，，，上，分别对应为，，，四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获等级的学生有的概率提升为等级：原获等级的学生有的概率提升为等级：原获等级的学生有的概率提升为等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立．
（1）若初评中甲获得等级，乙、丙获得等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为等级的人数为，求的分布列和数学期望；
（2）从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是等级的概率．
【解答】解：（1）的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列如下：
0 1 2 3
．
（2）记事件为“该学生复评晋级”，事件为“该学生初评是”， ．
20．在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，为边的中点，在边上，且，沿将进行折叠，使点运动到点的位置，如图2，连接，，，使得．
（1）证明：平面．
（2）求二面角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：连接，
因为为等腰直角三角形，，，
所以，
因为为边的中点，
所以，
在等边三角形中，，
因为为边的中点，
所以，则，
又，
所以，即，
因为，平面，平面，
所以平面．
（2）因为是等腰直角三角形，，为边中点，
所以，
由（1）得平面，则以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
由，得，令，得，
易知平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，
则，
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
21．已知函数．
（1）若函数的图象与函数的图象在区间，上有公共点，求实数的取值范围；
（2）若，且，曲线在点，（1）处的切线与轴，轴的交点坐标为，，，当取得最小值时，求切线的方程．
【解答】解：（1）问题转化为在，上有解，
即在，上有解
令，，，在上单减，在上单增，
（1），时，，当，时，的值域为，，
实数的取值范围是，（6分）
（2），切线斜率（1），切点为，
所以切线的方程为，
分别令，，得切线与轴，轴的交点坐标为，，，
，
，
当，
即时，取得最小值，但且，所以当时，取得最小值．
此时，切线的方程为，即．（12分）
22．我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线．已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点，分别为椭圆的左、右顶点．
（1）求双曲线的方程；
（2）设过点的动直线交双曲线右支于，两点，若直线，的斜率分别为，．
试探究与的比值是否为定值．若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
求的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可设双曲线，
则，解得，
双曲线的方程为；
（2）设，，，，直线的方程为，
由，消去得，则，△，
且，，
；
设直线，代入双曲线方程并整理得，
由于点为双曲线的左顶点，此方程有一根为，
，解得，
点在双曲线的右支上，，
解得，，即，，
同理可得，，，
由，，，
，，，
，，