江苏省南京市鼓楼区2022-2023学年高二下学期期末统考数学试卷（含解析）

南京市鼓楼区2022-2023学年高二下学期期末统考
数学卷
一．单项选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合，，0，1，，，则　　
A．，1， B．，， C．， D．，
2. 计算的结果是（ ）
A．10 B．16 C．28 D．56
3. 一批产品共100件，其中有5件不合格品，从中随机抽取10件产品，则恰有2件不合格品和8件合格品的取法种数是（ ）
A． B． C． D．
4. 已知向量在向量上的投影向量是，且，则 （ ）
A． B． C． D．
5. 函数在上的平均变化率为（ ）
A．1 B． C．3 D．4
6. 为了考查某种营养液对有机蔬菜的增产效果，某研究所进行试验、获得数据、经过计算后得到，那么可以认为该营养液为有机蔬菜的增产效果的把握为（ ）
A．以上 B．以上 C．以上 D．以下
附：临界值表（部分）
7. 已知平面与平面的法向量分别为与，平面与平面相交，形成四个二面角，约定：在这四个二面角中不大于的二面角称为两个平面的夹角，用表示这两个平面的夹角，且，如图，在棱长为2 的正方体中，点为棱的中点，为棱的中点，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8. 若，则（ ）
A． B． C． D．
二．多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得4分，部分选对得得2分，有选错的得0分）
9. 如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
10.某高级元件的抗拉强度（单位：）服从正态分布，测量记录精确到，则下列选项中正确的是（ ）
A．抗拉强度的均值为
B．抗拉强度的标准差为
C．抗拉强度超过元件的比例是
D．如果要求所有元件的抗拉强度在的范围内，那么被报废的元件的比例是
附：标准正态分布数值表（部分）
11. 已知函数，其中，则（ ）
A．
B．图像的对称轴是直线
C．图像在直线的上方
D．当时，
12. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则在下列说法中正确的说法是（ ）
A．
B．函数在区间上的解析式为
C．若函数与函数且的图像在区间上交点有5个，则实数的取值范围为
D．函数所有零点的和为35
三．填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分
13. 命题“”的否定是_____________.
14. 函数且的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（3）　　．
15.为进一步改善员工健康状况，在某行业进行一种职业病调查，随机调查了100位患者，得到如下的职业病发病情况统计表：
工龄类别 发病频率
工龄不超过10年
工龄超过10年且不超过20年
工龄超过20年
已知该行业这种职业病的患病率为，该行业工龄超过10年且不超过20年的员工占该行业总人数的，从该行业中任选一位员工，若此员工的工龄超过10年且不超过20年，则此员工患这种职业病的概率为_____________.（以统计表中各类别患者的发病频率作为相应类别患者的发病概率，精确到）
16. 式子的值分别为____________,______________
四．解答题：本题共3小题，共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10分）“民族要复兴，乡村必振兴”.近年来，我国农村居民人均可支配收入逐年上升，下面给出了根据我国年中国农村居民人均可支配收入（单位：元）和年份代码绘制的条形图和线性回归方程的残差图（年年的年代代码分别为）
（1）根据条形图相应数据计算得求关于的线性回归方程；
（2）根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果.（精确到）
附：线性回归方程中的回归系数和回归截距的计算公式分别为：
18.（12分）已知函数
（1）求的最小正周期.
（2）将函数的图像上所有的点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再将所得图像向右平移个单位，得到函数的图像，求的单调递减区间.
19. （12分）已知函数
（1）当时，解不等式；
（2）当对恒成立时，求整数的最小值.
20.（12分）如图，在三棱柱中，平面，,点为中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到直线的距离.
21.（12分）
某部门对一种新型产品的效果进行独立重复试验，每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为
（1）方案一：若试验成功，则试验结束，否则继续试验，且最多试验3次，记为试验结束时所进行的试验次数，请写出的分布列，求出；
（2）方案二：当实验进行到恰好出现2次成功时结束试验，否则继续试验，已知，求在第次试验进行完毕时结束试验的概率；若，当时，求的最小值.
22.（12分）已知函数
（1）当时，求在的展开式中第5项的二项式系数;
（2）求证：.
南京市鼓楼区2022-2023学年高二下学期期末统考
数学卷答案
一．单项选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合，，0，1，，，则　　
A．，1， B．，， C．， D．，
【答案】
【解答】解：集合，，0，1，，，
则，1，．
2. 计算的结果是（ ）
A．10 B．16 C．28 D．56
【答案】
【解答】
3. 一批产品共100件，其中有5件不合格品，从中随机抽取10件产品，则恰有2件不合格品和8件合格品的取法种数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】随机抽取10件产品，恰有2件不合格品和8件合格品的取法种数是
4. 已知向量在向量上的投影向量是，且，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解答】，设向量在向量的夹角为，所以向量在向量上的投影向量为，所以，所以
5. 函数在上的平均变化率为（ ）
A．1 B． C．3 D．4
【答案】
【解答】函数在上的增量，所以函数在上的平均变化率为
6. 为了考查某种营养液对有机蔬菜的增产效果，某研究所进行试验、获得数据、经过计算后得到，那么可以认为该营养液为有机蔬菜的增产效果的把握为（ ）
A．以上 B．以上 C．以上 D．以下
附：临界值表（部分）
【答案】
【解答】因为，所以该营养液为有机蔬菜的增产效果的把握为以上
7. 已知平面与平面的法向量分别为与，平面与平面相交，形成四个二面角，约定：在这四个二面角中不大于的二面角称为两个平面的夹角，用表示这两个平面的夹角，且，如图，在棱长为2 的正方体中，点为棱的中点，为棱的中点，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解答】以为坐标原点， 为轴，为轴，为轴，可得,所以，设平面的法向量为，则有，令，所以，因为平面的法向量是，所以
8. 若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解答】因为，所以构建函数，则在上单调递增，所以，所以
二．多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得4分，部分选对得得2分，有选错的得0分）
9. 如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为，所以， 成立，因为，所以， 不成立，因为，所以，所以，成立
10.某高级元件的抗拉强度（单位：）服从正态分布，测量记录精确到，则下列选项中正确的是（ ）
A．抗拉强度的均值为
B．抗拉强度的标准差为
C．抗拉强度超过元件的比例是
D．如果要求所有元件的抗拉强度在的范围内，那么被报废的元件的比例是
附：标准正态分布数值表（部分）
【答案】
【解析】根据正态分布，可得抗拉强度的均值为，抗拉强度的标准差为正确，错误；根据抗拉强度超过可得，查表可知，在标准作图分布中，，所以正确；依题意则
,错误
11. 已知函数，其中，则（ ）
A．
B．图像的对称轴是直线
C．图像在直线的上方
D．当时，
【答案】
【解答】当时，；
当时，；
当时，
函数图像如下图
当时，函数取最小值，即当且仅当时取等号，故，正确.
故函数对称轴为，错误.
当时，，且，所以，所以图像在直线的上方，正确.
当时，即时，，解得，故
当时，即时，，解得，故
综上，错误.
12. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则在下列说法中正确的说法是（ ）
A．
B．函数在区间上的解析式为
C．若函数与函数且的图像在区间上交点有5个，则实数的取值范围为
D．函数所有零点的和为35
【答案】
【解析】当时，则，可得，即，所以函数关于对称，周期为2，所以，正确.
当时，因为，所以，所以，错误
如图可知函数与函数且的图像，因为在区间上交点有5个
因为当时，，所以，解得，正确
函数时，可得，二者图像如图
因为，解得，所以两函数图像有10个交点，故交点之和为，正确
三．填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分
13. 命题“”的否定是_____________.
【答案】
【解析】命题“”的否定是
14. 函数且的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（3）　　．
【答案】27
【解析】解：令，解得，
函数的图象恒过定点，
又点在幂函数的图象上，
，解得，
函数，
（3）．
15.为进一步改善员工健康状况，在某行业进行一种职业病调查，随机调查了100位患者，得到如下的职业病发病情况统计表：
工龄类别 发病频率
工龄不超过10年
工龄超过10年且不超过20年
工龄超过20年
已知该行业这种职业病的患病率为，该行业工龄超过10年且不超过20年的员工占该行业总人数的，从该行业中任选一位员工，若此员工的工龄超过10年且不超过20年，则此员工患这种职业病的概率为_____________.（以统计表中各类别患者的发病频率作为相应类别患者的发病概率，精确到）
【答案】
【解析】从该行业中任选一位员工，若此员工的工龄超过10年且不超过20年，则此员工患这种职业病为事件，
16. 式子的值分别为____________,______________
【答案】，
【解析】，可看成是在时的导数，即
，可看成是在时导数的2倍，即
四．解答题：本题共3小题，共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10分）“民族要复兴，乡村必振兴”.近年来，我国农村居民人均可支配收入逐年上升，下面给出了根据我国年中国农村居民人均可支配收入（单位：元）和年份代码绘制的条形图和线性回归方程的残差图（年年的年代代码分别为）
（1）根据条形图相应数据计算得求关于的线性回归方程；
（2）根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果.（精确到）
附：线性回归方程中的回归系数和回归截距的计算公式分别为：
【答案】（1）；（2）见解析
【解答】（1）由所给出数据计算得，
，
所求线性方程为
（2）由题中给出的残差图知历年数据的残差均在到之间，说明线性回归方程的拟合效果较好.
18.（12分）已知函数
（1）求的最小正周期.
（2）将函数的图像上所有的点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），再将所得图像向右平移个单位，得到函数的图像，求的单调递减区间.
【答案】（1）；（2）
【解答】
解： （1）函数
所以的最小正周期为.
（2）将函数的图像上所有的点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到，再将所得图像向右平移个单位，得到函数，令，求得，可得的单调递减区间为
19. （12分）已知函数
（1）当时，解不等式；
（2）当对恒成立时，求整数的最小值.
【答案】（1）；（2）3
【解析】（1）当时，函数，当时，可得，解得.即
（2）因为，所以可得，
所以
令
所以
所以
因为
所以
所以整数的最小值为3
20.（12分）如图，在三棱柱中，平面，,点为中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到直线的距离.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：连接，交于点，则为中点.
因为点为中点
所以
因为
所以平面；
（2）如图建立空间直角坐标系，可得,，设夹角为，则，故可得，设点到直线的距离为，则
21.（12分）
某部门对一种新型产品的效果进行独立重复试验，每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为
（1）方案一：若试验成功，则试验结束，否则继续试验，且最多试验3次，记为试验结束时所进行的试验次数，请写出的分布列，求出；
（2）方案二：当实验进行到恰好出现2次成功时结束试验，否则继续试验，已知，求在第次试验进行完毕时结束试验的概率；若，当时，求的最小值.
【答案】（1）见解析；（2）1
【解析】
试验成功的概率为，由已知可知可能取值为1,2,3
所以，，
所以的分布列为
1 2 3
（2）在第次试验时，
所以
所以
即
解得
所以的最小值为1
22.（12分）已知函数
（1）当时，求在的展开式中第5项的二项式系数;
（2）求证：.
【答案】（1）；（2）见解析
【解答】（1）当时，函数为，展开式中第5项的二项式系数为
（2）因为
所以当时，
所以
因为
所以