2023年湖南省长沙市数学中考真题（PDF版，含答案）

24.如图，点A,B,C在⊙O上运动，满足AB2=BC2+AC2,延长AC至点D,使得∠DBC=∠CAB,点
E是弦AC上一动点（不与点A,C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F,交BC的延长线于点N,
交⊙O于点M(点M在劣弧AC上).
(1)BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明：
(2)记△BDC,△ABC,△ADB的面积分别为S,S,S,若S,·S=(S2),求(tanD)'的值：
(3)若⊙O的半径为I,设FM=x,FE·FN·
VBC.BN+AE·AC=y,试求y关于x的函数解析式，并
1
写出自变量x的取值范围.
(1)AB2=BC2+AC2A,B,C在圆上→∠ACB=90°AB为直径
.∠A+∠ABC-90
B
∠A=∠DBC
∴.∠A+∠DBC=90°→BD⊥AB
.BD为切线
0
F
1
1
(2)S=DC-BC S2=7AC-BC
S=2(DC+AC)-BC
S1·S=(S2Y→DC2+AC~DC-=AC2→DC2+BC2=AC2
E
.Dce
BC+1ACR
D
A
设ta∠a→15
1
C
BC2
2
M
(3)△ABC△NBF→BC·BN=AB·BF
△ABC△AEF→AE·AC=AB·AF
△AEF~△NBF→EF·FN=BF·AF
1
..Y=BF.AF..
VBF·AF
BF·AF=FP=X
∴.Y=X(0长沙市初中学业水平考试数学试卷第7页/共8页
25.我们约定：若关于x的二次函数y=a,x2+bx+G与2=ax2+bx+G2同时满足√a2-G+
(亿+}+6-4=0，（亿-b,)≠0，则称函数m与函数2互为“美美与共”函数.根据该约定，解答
下列问题：
(1)若关于x的二次函数y=2x2+k+3与y2=m2+x+n互为“美美与共”函数，求k,m,n的值：
(2)对于任意非零实数r,s,点P(r,)与点Q(s,t)(r≠s)始终在关于x的函数y=x2+2x+s的图象上运
动，函数2与y1互为“美美与共”函数
①求函数2的图象的对称轴：
②函数2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标：否则，请说明理由：
(3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数y=ax2+bx+c与它的“美美与共”函数2的图象顶
点分别为点A,点B,函数的图象与x轴交于不同两点C,D,函数2的图象与x轴交于不同两点E,
F,当CD=EF时，以A,B,C,为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围：若
不能请说明理由.
(2)-r=rts
(3)y1=ax2+bx+c
(1)m=3n=2k=-1
y2=cx2-bx+a
2
→s=-3r
-b
4ac-b2
b
4ac-b2
y2=sx2-2rx+1=-3rx2-2rx+1
4a
B 2c
4c
六对称轴=
4ac-b2
xc-xp
→b2-4ac=4
3
4a
2
y2=-r(3x2+2x升1→3x2+2x=0
b2-4ac b2-4ac
定点0,0（，）
CD-EF→-x卡gx→
lal
a=c
[1]c=-a
∴.b2+4a2=4
4ac-b222
4a
b2+4a2=4→0<4a2<4→0B
.S>2
[2]c=a
A、B关于Y轴对称，A、B、C、D无法构造正方形
综上所述：当c=-a时，存在正方形，S>2
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