武汉市部分重点中学２０２２—２０２３学年度下学期期末联考
高二数学试卷
考试时间:２０２３年６月２７日下午１４:００—１６:００ 试卷满分:１５０分
一、选择题:本题共８小题,每小题５分,共４０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的．
１．样本数据x１,x２, ,xn 的平均数x ＝４,方差S２＝１,则样本数据２x１＋１,２x２＋１, ,２xn＋１的
平均数、方差分别为( )
A．４,１ B．９,２ C．９,４ D．２,１
２．某同学参加篮球测试,老师规定每个同学罚篮１０次,每罚进一球记５分,不进记－１分,已知该
同学的罚球命中率为６０％,并且各次罚球互不影响,则该同学得分的数学期望为( )
A．３０ B．２６ C．２０ D．３６
３．从１,２,３,４,５中随机选取三个不同的数,若这三个数之积为偶数,则它们之和大于８的概率为
( )
５ ２ ４ １
A．９ B．３ C．９ D．３
４．在正常环境下,甲、乙两个品种的茶青每 ５００ 克 的 红 茶 产 量 (单 位:克)分 别 为 X,Y,且
X~N (μ ,σ２１ １ ) ,Y~N (μ ２２,σ２ ) ,其密度曲线如图所示,则以下结论错误的是( )
A．Y 的数据较X 更集中 B．P (X≤c) ＜P (Y≤c)
C．甲种茶青每
１
５００克的红茶产量超过μ２ 的概率 大 于 ２ D．P
(X＞c)＋P (Y≤c) ＝１
５．若f (x) ＝alnx＋bx２＋x 在x＝１和x＝２处有极值,则函数f (x) 的单调递增区间是( )
A．(－ ,１) B．(２,＋ ) C．(１,２) D． １ ù ,２ １
ú
è ú
高二数学试卷 第 １ 页(共６页)
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２ y２
６．已知双曲线
x
C:a２－ ２＝１
(
b a＞０
,b＞０)的左、右焦点分别为F１,F２,点P 为第一象限内一点,且
点P 在双曲线C 的一条渐近线上,PF１⊥PF２,且 PF１ ＝３ PF２ ,则双曲线C 的离心率为
( )
５ ５ １０ ５
A．２ B．２ C．２ D．４
７．一堆苹果中大果与小果的比例为９∶１,现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果
筛选为小果的概率为５％,把小果筛选为大果的概率为２％．经过一轮筛选后,现在从这台分选机
筛选出来的“大果”里面随机抽取一个,则这个“大果”是真的大果的概率为( )
８５７ ８５５ １７１ ９
A．１０００ B．８５７ C．２００ D．１０
８．已知正三棱锥的高为h,且１≤h≤３,其各个顶点在同一球面上,且该球的表面积为１６π,则该三
棱锥体积的最大值为( )
６４ ３ ６４ ３ １６ ３ １６ ３
A． ２７ B． ９ C． ２７ D． ９
二、选择题:本题共４小题,每小题５分,共２０分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要
求,全部选对的得５分,部分选对的得２分,有选错的得０分．
９．以下说法正确的是( )
A．在残差的散点图中,残差分布的水平带状区域的宽度越窄,其模型的拟合效果越好
B．若A、B 两组数据的样本相关系数分别为rA ＝０．９７,rB ＝－０．９９,则A 组数据比B 组数据的
相关性较强
C．决定系数R２ 越小,模型的拟合效果越差
D．有１０件产品,其中３件次品,抽２件产品进行检验,恰好抽到一件次品的概率是
７
１５
１０．爆竹声声辞旧岁,银花朵朵贺新春．除夕夜里小光用３D投影为家人进行虚拟现实表演,表演分
为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”４个环节．小光按照以上４个环节的先后顺序进行表演,每
个环节表演一次．假设各环节是否表演成功互不影响,若每个环节表演成功的概率均为
３,则
４
( )
A．事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥
B．“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为
９
１６
C．表演成功的环节个数的期望为３
D．在表演成功的环节恰为３个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为
３
４
高二数学试卷 第 ２ 页(共６页)
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１１．已知抛物线C:y２＝４x 的焦点为F,准线为l,过点 F 的直线与抛物线交于P (x１,y１ ) ,
Q (x２,y２ ) 两点,点P 在l上的射影为P１,则( )
A．若x１＋x２＝５,则 PQ ＝７
B．以PQ 为直径的圆与准线l相交
C．设M (０,１) ,则 PM ＋ PP１ ≥ ２
D．过点M (０,１) 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线有３条
１２．如图,矩形ABCD 中,AB＝４,BC＝２,E 为边AB 的中点,沿DE 将ΔADE 折起,点A 折至A１
处(A１ 平面ABCD),若M 为线段A１C 的中点,二面角A１－DE－C 大小为α,直线A１E 与
平面DEBC 所成角为β,则在ΔADE 折起过程中,下列说法正确的是( )
A．存在某个位置,使得BM⊥A１D
B．△A１EC 面积的最大值为２２
C．三棱锥A１－EDC 体积最大是
４ ２
３
D．当α为锐角时,存在某个位置,使得sinα＝２sinβ
三、填空题:本题共４小题,每小题５分,共２０分．
１３．某 校 高 三 年 级 进 行 了 一 次 高 考 模 拟 测 试,这 次 测 试 的 数 学 成 绩 X ~N (９０,δ２ ) ,且
P (X＜６０) ＝０．１,规定这次测试的数学成绩高于１２０分为优秀．若该校有１２００名高三学生参
加测试,则数学成绩为优秀的人数是 ．
１４．某手机商城统计了最近５个月手机的实际销量,如下表所示:
时间x １ ２ ３ ４ ５
销售量y(千只) ０．５ ０．８ １．０ １．２ １．５
若y 与x 线性相关,且线性回归方程为
∧
y＝０．２４x＋a
∧,则a∧＝ ．
ex,(x＞０)
１５．已知函数f (x) ＝{ ,若直线y＝kx＋１与曲线y＝f(x)有且只有一个公共点,则－x,(x≤０)
实数k的取值范围是 ．
１６．近年来,我国外卖业发展迅猛,外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线．某外卖
小哥每天来往于４个外卖店(外卖店的编号分别为１,２,３,４),约定:每天他首先从１号外卖店
取单,叫做第１次取单,之后,他等可能的前往其余３个外卖店中的任何一个店取单叫做第２次
取单,依此类推．假设从第２次取单开始,他每次都是从上次取单的店之外的３个外卖店取单,
设事件Ak＝{第k次取单恰好是从１号店取单},P (Ak ) 是事件Ak 发生的概率,显然P (A１ ) ＝
１,P (A２ ) ＝０,则P (A３ ) ＝ ,P (A１０ ) ＝ (第二空精确到０．０１)．
高二数学试卷 第 ３ 页(共６页)
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四、解答题:共７０分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
１７．已知正项等比数列 {an} 的前n 项和为Sn,且a１ ＝１,２a１ ＋a２ ＝a３,数列 {bn} 满足２bn ＝
４an (Sn＋１) ．
(１)求数列{bn}的通项公式;
(２)记Tn 为数列{ １ 的前 项和,正数 恒成立,求 的取值范围bb } n m≤Tn m ．n n＋１
１８．国内某企业,研发了一款环保产品,为保证成本,每件产品售价不低于４３元,经调研,产品售价
x(单位:元/件)与月销售量y(单位:万件)的情况如下表所示:
售价x(元/件) ５２ ５０ ４８ ４５ ４４ ４３
月销售量y(万件) ５ ６ ７ ８ １０ １２
(１)求相关系数r(结果保留两位小数);
(２)建立y 关于x 的经验回归方程,并估计当售价为５５元/件时,该产品的月销售量约为多少
件
n
∑ (xi－x ) (yi－y )
参考公式:对于一组数据 (xi,yi ) (i＝１,２,３, ,n) ,相关系数r＝
i＝１ ,
n n
∑ (x ２i－x ) ∑ (yi－y )２
i＝１ i＝１
n
∑ (xi－x ) (yi－y )
其回归直线 ∧y＝b
∧x＋a∧ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为:b∧ ＝i＝１ n ,
∑ (x ２i－x )
i＝１
a∧＝ －b∧y x ．(３４≈５．８３)
高二数学试卷 第 ４ 页(共６页)
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１９．某车企随机调查了今年某月份购买本车企生产的２０n(n∈N＋ )台新能源汽车车主,统计得到以
下２×２列联表,经过计算可得x２≈５．５５６．
喜欢 不喜欢 总计
男性 １０n １２n
女性 ３n
总计 １５n
(１)完成表格并求出n 值,并判断有多大的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别
有关;
(２)采用比例分配的分层抽样法从调查的不喜欢和喜欢新能源汽车的车主中随机抽取１２人,再
从抽取的１２人中抽取４人,设被抽取的４人中属于不喜欢新能源汽车的人数为X,求X 的
分布列及数学期望．
( )２
附:χ２ nad－bc＝( ,其中a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d) n＝a＋b＋c＋d．
P(x２≥k) ０．１５ ０．１０ ０．０５ ０．０２５ ０．０１０ ０．００５ ０．００１
k ２．０７２ ２．７０６ ３．８４１ ５．０２４ ６．６３５ ７．８７９ １０．８２８
已知椭圆 :x
２ y２
２０． C a２ ＋b２ ＝１
(a＞b,０＜b＜２) 的左、右焦点分别为 F１,F２,点 M 在 椭 圆 上,
,若 ３MF２⊥F１F２ ΔMF１F２ 的周长为６,面积为２．
(１)求椭圆C 的标准方程;
(２)过点F２ 的直线l交椭圆于A,B 两点,交y 轴于P 点,设PA→＝λ１AF→２,PB→＝λ BF→２ ２,试判
断λ１＋λ２ 是否为定值 请说明理由．
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２１．王老师打算在所教授的两个班级中举行数学知识竞赛,分为个人晋级赛和团体对决赛．
个人晋级赛规则:每人只有一次挑战机会,电脑随机给出５道题,答对３道或３道以上即可晋级．
团体对决赛规则:以班级为单位,每班参赛人数不少于２０人,且参赛人数为偶数,参赛方式有
如下两种可自主选择其中之一参赛:
方式一:将班级选派的２n 个人平均分成n 组,每组２人,电脑随机分配给同组两个人一道相同
试题,两人同时独立答题,若这两人中至少有一人回答正确,则该小组闯关成功．若这n 个小组
都闯关成功,则该班级挑战成功．
方式二:将班级选派的２n 个人平均分成２组,每组n 人,电脑随机分配给同组n 个人一道相同
试题,各人同时独立答题,若这n 个人都回答正确,则该小组闯关成功．若这２个小组至少有一
个小组闯关成功则该班级挑战成功．
(１)甲同学参加个人晋级赛,他答对前三题的概率均为
１,答对后两题的概率均为１,求甲同学
２ ３
能晋级的概率;
(２)在团体对决赛中,假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均 为 常 数
p (０＜p＜１) ,为使本班团队挑战成功的可能性更大,应选择哪种参赛方式 说明你的理由．
２２．已知函数f (x) ＝xcosx,g (x) ＝asinx．
(１)若a＝１,证明:当x∈ ０,
π
÷ 时
２ x＞è g
(x) ＞f (x) ;
(２)当x∈ π, π
f (x) sinx
－ ０÷ ∪ ０, ÷ 时, ＜ ,求a 的取值范围
è ２ è ２ ． g (x) x
高二数学试卷 第 ６ 页(共６页)
{#{QQABTYIAogAAAgBAAAACEwHCCAIQkgECCIgORAAYsEAACAFABCA=}#}武汉市部分重点中学2022一2023学年度下学期期末联考
高二数学试卷参考答案及评分标准
一、二选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分
题号
2
3
5
6
7
8
0
10
11
12
答案
B
A
C
B
A
ACD
BCD
ACD
BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.12014.0.2815.-1四、解答题：共70分解答题：
17.(10分)
(1)设等比数列{a,}的公比为9，因为a,=1,2a,+a2=a3,
故2+g=g2,解得g=2或g=-1（舍)，故an=2,S。=2”-1,
因为2=4an(Sn+1)=2n1×2”=22,故b,=2n+1,
…5分
1
故-[0g副g-》++(a1小-02gn+964g
X
又y=6x+9
(×21)是单调增函数，
X
又当n=1时，Tn=
6,故s7
15
…10分
18.（12分)解：
(1)r≈-0.94；
②9=8+g:2500件
(1)反=52+50+48+45+44+49=47,7=5+6+7+8+10+12=8，
6
(X-x列0y-7列=-15-6-1+0-6-16=44，
=1
X-=25+9+1+4+9+1664日
2X-=6+41+0*476=6,
立x-列y-7列
则相关系数”=
i=1
-44311=-0.94.
……6分
8V342×5.83
(2)设y关于x的经验回归方程为y=6x+台.
2(x-xy-列
6=
-4411
2(x-
5-，,日=8十×4之令、0
16
16
i=1
则y关于x的经验回归方程为=11x+645
1616
当×=55时，9=-1×49+45=25（万件）.
16
16
故当售价为55元/件时，该产品的月销售量约为25000件.
·········…·12分
19.（12分)解：(1)补充表格数据如下：
喜欢
不喜欢
总计
男性
10n
2n
12n
女性
5n
3n
8n
总计
15n
5n
20n
根据数表可得X=20n13nx10n-5nx2-10n~5.556,又nN,得n=5;
15n×5n×12n×8n
9
由题意，x2≈5.556∈(5.024,6.635)，
故有97.5%的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关；
……5分
(2)抽取喜欢新能源汽车有：9人
抽取不喜欢新能源汽车有：3人
由题X的可能值为：0,1,2,3
P(X=0)=
1
P(X=1)=
=
28
55
5
1
P(X=2)=
P-3
1
55
=
C12
5
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
14
28
12
1
P
55
55
55
55
X的数学期望EX=0
14
28
55+1
55
+2×55
12
+3×55
=1.
所以X的数学期望1
…12分
