数学 八年级上册
第2节 一定是直角三角形吗
如果三角形的三边长为a,b,c 满足a2+b2= 1.在△ABC 中,AB=8,BC=15,CA=17,则
c2,那么这个三角形是直角三角形.该定理是判断一 下列结论不正确的是 ( )
个三角形是否是直角三角形的重要方法,其一般步 A.△ABC 是直角三角形,且AC 为斜边
骤是:①找出最长边;②计算最长边的平方与另两 B.△ABC 是直角三角形,且∠ABC=90°
边的平方和是否相等,如果相等,则这个三角形是 C.△ABC 的面积是60
直角三角形,否则就不是直角三角形. D.△ABC 是直角三角形,且∠A=90°
2.下列四组线段中,能构成直角三角形的是
( )
活动一:做一做. A.a=1,b=2,c=3
1.打开课本,完成做一做. B.a=2,b=3,c=4
思考:三角形的三边满足什么样的关系时,三 C.a=2,b=4,c=5
角形是直角三角形 D.a=3,b=4,c=5
3.在下列各组数中,是勾股数的一组是 ( )
A.0.3,0.4,0.5 B.6,8,10
3
C. ,
4,
5 5 1 D.4
,5,6
2.举出生活中还有哪些利用勾股定理逆定理 4.分别以下列四组数为一个三角形的边长:
解决的问题 (1)6、8、10,(2)5、12、13,(3)8、15、17,(4)4、5、6,其
中能构成直角三角形的有 .(填序号)
5.满足a2+b2=c2的三个正整数称为 ;每
组勾股数的整数倍仍是勾股数.常见的勾股数有:
; ; ; ;
活动二:想一想 等等.
1.勾股定理与勾股定理逆定理的关系如何 6.若一个三角形的三边之比为5∶12∶13,且
周长为60cm,则它的面积为 .
7.如图,在△ABC 中,D 为BC 边上的一点,已
知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,求 CD
的长.
2.完成课本例题.
3.什么是勾股数
4.常见的勾股数有哪些
7
课时培优作业
8.如图所示的一块地,已知AD=4m,CD=3 C.钝角三角形 D.以上都不对
m,AD⊥DC,AB=13m,BC=12m,求这块地的 4.若正整数a,b,c是一组勾股数,则下列各组
面积. 数一定仍然是勾股数的是 ( )
A.a+1,b+1,c+1
B.a2,b2,c2
C.2a,2b,2c
D.a-1,b-1,c-1
二、填空题
5.有四根木棒,长度分别为3,4,5,6.若取其中
三根木棒组成三角形,有 种取法,其中,能
构成直角三角形的是 .
6.下列4组数:①4,5,6;②9,12,15;③8,15,
17;④10,14,26.其中是勾股数的是 (填
序号).
一、选择题 7.已知△ABC 的三边分别是AB=m
2-1,AC
1.将直角三角形的三边分别扩大3倍后得到 =2m,BC=m
2+1,则△ABC 是 三角形,
的三角形为 ( ) 其中∠A= .
A.直角三角形 B.锐角三角形 8.三角形的三边长为a,b,c,且满足等式(a+
2 2
C.钝角三角形 D.无法确定 b)-c =2ab,则此三角形是 三角形(填
2.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25, “直角”、“钝角”或“锐角”).
现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是 三、解答题
( ) 9.若△ABC 三边a、b、c满足a
2+b2+c2+338
=10a+24b+26c,判断△ABC 的形状,并求其
面积.
10.张老师在一次“探究性学习”课中,设计了
如下数表:
n 2 3 4 5 …
a 22-1 32-1 42-1 52-1 …
b 4 6 8 10 …
c 22+1 32+1 42+1 52+1 …
(1)请你分别观察a,b,c 与n 之间的关系,并
用含自然数n(n>1)的代数式表示:a= ,
3.如图所示,小明家里刚铺了正方形地砖,他 b= ,c= ;
把其中的三个顶点A,B,C 连成了三角形,则这个 (2)猜想:以a,b,c 为边长的三角形是不是直
三角形是 ( ) 角三角形 为什么
A.直角三角形 B.锐角三角形
8
数学 八年级上册
11.据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120
年,商高对周公说:“将一根直尺折成一个直角,两
端连接得一个直角三角形,如果勾是三、股是四,那 1.(滨州中考题)下列各组边长中,能构成直角
么弦就等于五.”后人概括为“勾三、股四、弦五”. 三角形的是 ( )
(1)观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;……发现 A.4,5,6 B.1.5,2,2.5
这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过. C.2,3,4 D.1,2,3
1 1 1 1 2.(钦州中考题)蜂巢的构造非常美丽、科学.
计算 (
2 9-1
)、 (9+1)与 (25-1)、 (25+1),2 2 2 如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成
并根据你发现的规律,分别写出能表示7,24,25的 的网络,正六边形的顶点称为格点,△ABC 的顶点
股和弦的算式; 都在格点上,设定AB 边如图所示,则△ABC 是直
(2)根据(1)的规律,用n(n 为奇数且n≥3)的 角三角形的个数有 ( )
代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合理猜
想它们之间两种相等关系,并对其中一种猜想加以
证明;
(3)继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;……可
以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有 A.4个 B.6个
间断过.运用类似上述探索的方法,直接用m(m 为 C.8个 D.10个
偶数且m≥4)的代数式来表示它们的股和弦. 3.(鞍 山 中 考 题)在△ABC 纸板中,AB=3
cm,BC=4cm,AC=5cm,将△ABC 纸板以AB 所
在直线为轴旋转一周,则所形成的几何体的侧面积
为 cm2(结果用含π的式子表示).
4.(枣庄中考题)图1、图2是两张形状、大小完
全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长
均为1,点A、B 在小正方形的顶点上.
(1)在图1中画出△ABC(点C 在小正方形的
顶点上),使△ABC 为直角三角形(画一个即可).
(2)在图2中画出△ABD(点D 在小正方形的
顶点上),使△ABD 为等腰三角形(画一个即可).
图1 图2
9参考答案
第一章 勾股定理 已知AB=5000米=5千米,AC=4000
米=4千米.由勾股定理,得BC2=AB2
第1节 探索勾股定理(1) -AC2=52-42=9,所以 BC=3(千
米)这架飞机 秒飞行了 千米,那么
【 . 20 3课堂作业】
2 2 36001.C 2.A 3.C 4.勾股定理 a +b = 它1小时飞行的距离为 20 ×3=540
c2 5.1 1 2 P+Q=R AC2+BC2=AB2 (千米).答:这 架 飞 机 每 小 时 飞 行540千 米.
6.5 正北 7.解:∵∠BAD=∠DBC=90°, 1
∴△ADB,△BDC 均是直角三角形,由题意得, 10.解:图形的总面积可以表示为c2+2× ab=
AD=4cm,AB=3cm,DC=13cm,
2
在Rt△ABD
中,BD2=AD2+AB2=25,
1
在Rt△BDC 中,BC2 c2+ab,也可以表示为a2+b2+2× ab=a2+
=DC2-BD2=132-25=144,∴BC=12(
2
cm). b2+ab,所以c2+ab=a2+b2+ab,即a2+b2
8.12米
【 】 =c
2.
课后作业 【新题看台】
1.C 2.C 3.B 4.C 5.64 6.30 7.8
8.4 9.(1)a=45cm b=60cm (2)540 1.C 2.125
10.解:在Rt△ABC 中,AC2=AB2+BC2,在 Rt 3.解:
△FAC 中,FC2=AF2+AC2,即 FC2=AF2+
AB2+BC2=172+52+42=330.所 以 正 方 形
CDEF 的面积=FC2=330. 11.(1)24 (2)S1
+S2=S3 (3)设直角三角形的边从小到大分别
π
是a,b,c,则a2+b2=c2,两边同乘 ,即得:两小8
半圆的 面 积 和 等 于 大 半 圆 的 面 积,从 而 可 得
1
S阴影部分的面积=S直角三角形的面积= 解法一:连接 ,过点 作 边上的高2×3×4=6. BD B DE
【新题看台】 BF,则 BF =b-a.∵S五边形ACBED =S△ACB +
1 1 1
1.C 2.A 3.5或 7 4. 2013 S + S = ab+ b2△ABE △AED 2 2 + 2ab
,又 ∵
第1节 探索勾股定理(2) 1S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=2ab+
【课堂作业】 1 2 1
1.D 2.A 3.A 4.a2+b2+2ab c2+ c + a(b-a),
1 1 1 1
2 2 ∴2ab+
2
2b +2ab=2ab
2ab a2+b2+2ab c2+2ab a2+b2=c2 5.3 1 2 1 2 2 2
6.7 7.6m 8.证明:∵四边形BCC'D'为直 +2c+2a
(b-a).∴a +b =c .解法二:连接
1
角梯形,∴S梯形BCC'D'= (2 BC+C'D'
)·BD'= BD,过点B 作DE 边上的高BF,则BF=b-a.∵
1
(a+b)2 S五边形ACBED=S梯形ACBE+S△AED= b(2 a+b
)+
2 .∵Rt△ABC≌Rt△AB'C'
,∴∠BAC=
1
∠B'AC'.∴ ∠CAC'= ∠CAB'+ ∠B'AC'= ab,又2 ∵S五边形ACBED =S△ACB + S△ABD +
∠CAB'+∠BAC=90°.∴S梯形BCC'D'=S△ABC + 1 1 2 1 1
1 1 1 c2+2ab S△BDE= ab+ c + a(b-a),∴ b(a+b)
S△CAC'+S△D'AC'=2ab+2c
2+2ab= .
2 2 2 2
2 1 1 1 2 1 2 2
(a+b)2 c2+2ab +2ab=2ab+2c +
(
2a b-a
).∴a +b
∴ 2 = 2 .∴a
2+b2=c2.
=c2.
【课后作业】
1.C 2.C 3.A 4.D 5.(1)11 (2)6 8 第2节 一定是直角三角形吗
6.6cm2 7.60m2 8.c2-2ab b2-2ab+a2 【课堂作业】
c2=a2+b2 9.解:根据题意,画出图形,如图, 1.D 2.D 3.B 4.(1)(2)(3) 5.勾股数
— 1 —
3、4、5 6、8、10 5、12、13 7、24、25 8、15、17 【课后作业】
6.120cm2 7.9 8.24m2 1.A 2.D 3.B 4.C 5.30 6.100
【课后作业】 7.25dm 8.能 9.解:(1)△ABC 是直角三角
1.A 2.C 3.A 4.C 5.4 3,4,5 6.② 形.理 由 如 下:∵AC2 +BC2 =1602 +1202 =
③ 7.直角 90° 8.直角 9.直角三角形,面积 40000,AB2=2002=40000,∴AC2+BC2=AB2,
是30. 10.解:(1)n2-1 2n n2+1 (2)是直 ∴△ABC 是直角三角形,且∠ACB=90°. (2)甲
角三角形.理由:∵a2+b2=(n2-1)2+(2n)2= 方案所修的水渠较短.理由如下:∵△ABC 是直角
n4+2n2+1,c2=(n2+1)2=n4+2n2+1,∴a2+ , 1三角形 ∴△ABC 的面积= AB·
1
2 CH= AC·b =c2,∴以a,b,c 为边长的三角形是直角三角 2 2
:() 1( ) 1 AC
·BC 160×120
形. 11.解 1 ∵ 9-1 =4, (9+1)=5; BC,∴CH= AB = 200 =96
(m).∵AC
2 2
1( ) ,1( ) ; , , +BC=160+120=280
(m),CH+AH+BH=
25-1 =12 25+1 =13 ∴72425的股2 2 CH+AB=96+200=296(m),∴AC+BC1( ) 1(2 ), +AH+BH
,∴甲方案所修的水渠较短. 10.10
的算式为
2 49-1 =2 7 -1
弦的算式为 万元(提 示:作 A(B)点 关 于 CD 的 对 称 点 A'
1 1 (B'),连A'B(AB')交CD 于一点,该点即为水厂(
2 49+1
)= (2 ); ()当 为奇数且2 7+1 2 n n≥ 位置)
1 【新题看台】
3,勾、股、弦 的 代 数 式 分 别 为:n, (2 n
2-1), 1.A 2.10 3.20 4.解:∵CD⊥AC,∴
1 ∠ACD=90°,∵∠ABD=135°,∴∠DBC=45°,(n2+1).例如关系式①:弦-股=1;关系式 :2 ② ∴∠D=45°,∴CB=CD,在Rt△DCB 中:CD2+
2
勾2+股2=弦2,
1
证明关系式①:弦-股= (n2+1) BC =BD
2,即2CD2=8002,∴CD=4002≈566
2 (米),答:直线l上距离D 点566米的C 处开挖.
1(2 ) 1- [(2 ) (2 )] 或证明关 第二章 实数2n -1=2 n +1-n -1 =1
2
: 1 1 第 节 认识无理数系式② 勾2+股2=n2+ [1(2 )] = n4+ 1 2n -1 4 2 【课堂作业】
n2
1 1
+ = (n2+1)2=弦2,∴猜想得证; (3)探 1.C 2.B 3.D 4.π,π-1(答案不唯一)4 4
, , 、 5.5 有理索得 当m 为偶数且m≥4时 股 弦的代数式分 2
无理 6.2.24 7.无理数:π,
m 2 m 2 0.1010010001
… 有理数:0.5,3.14,0.1,8.1212…
别为:( ) -1,( ) +1. 8.(1)5 (2)2与3之间2 2 【课后作业】
【新题看台】
1.B 2.D 3.A 4.D 5.3 2 6.①⑥⑦
1.B 2.D 3.20π 4.略 1
③ ②④⑤ 7.3 8.
(1)①3 ②16 ③0.64
第3节 勾股定理的应用
(2)② ③ ① 9.解:设圆的面积为S,则S
【课堂作业】 =πx2=15π,所以x2=15.(1)因为找不到一个有
1.B 2.A 3.C 4.25 5.1.5 6.250 理数的平方为15,所以x 不是有理数,而是无理
7.解:设基地E 应建在离A 站xkm 的地方,则 数. (2)因为9<15<16,所以3BE=(50-x)km.在 Rt△ADE 中,根据勾股定 的整数部分是3. (3)当3理,得AD2+AE2=DE2,即302+x2=DE2.在 当3.8Rt△CBE 中,根 据 勾 股 定 理,得 CB2+BE2= <3.88时,14.9769CE2,即202+(50-x)2=CE2.又∵C,D 两村到 的值精确到0.1时3.9,精确到0.01时是3.87.
E 点的距离相等,∴DE=CE,∴DE2=CE2,∴ 10.不是有理数.理 由:设 BD=x,∵Rt△ABD
302+x2=202+(50-x)2,解得x=20.答:基地E 中,∠B=60°,则AB=2BD=2x,根据勾股定理
应建在离A 站20km 的地方. 8.解:作 AD⊥ 可得:(2x)2-x2=32,解 得:(2x)2=12,所 以
BC 于D 点.因为AB=20,AC=15,BC=25,所以 AB2=12,∴AB 不是有理数.
AB2+AC2=BC2,所以△ABC 为直角三角形.根 11.解:令该直角三角形的斜边长为c,则由
AB·AC 勾股定理,得 2 2 2
据 直 角 三 角 形 的 面 积 公 式,有 = c =3 +1 =10.
假设斜边c是有理
2 q
· · 数,则c可表示为 的形式(BC AD 15×20 25 AD p p
,q 为互质的整数,
,所以 = ,解得2 2 2 AD=12. 2) q q
2
, 且 则
2 ,即 ,则 2
因为10<12 所以这条公路不会穿过自然保护区. p≠0 . ( ) =c =10 =10 =p p2 q
— 2 —
