数学 八年级上册
第二章 实数
第1节 认识无理数
D.无理数不能写成分数的形式
2.下列选项中,属于无理数的是 ( )
无限不循环小数称为无理数.有理数可以用有 3
限小数或无限循环小数表示,反过来,任何有限小 A.2 B.π C.2 D.-2
数或无限循环小数也都是有理数.常见的无理数: 3.一个长方形的长与宽分别是6cm,3cm,它
(1)
π
含有π的数都是无理数,如π+3, 等;(2)有 的对角线的长是 ( )2 A.整数
规 律 但 不 循 环 的 无 限 小 数 都 是 无 理 数,如 B.分数
0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)等. C.有理数
D.既不是整数,也不是分数
4.无理数a 满足1
件的无理数:, .1.打开课本 看一看课本中的图2-1和图
5.面积是25的正方形的边长为 ,它
2-2.
: 是 数
;面积是7的正方形的边长a 的整数
思考 如何根据正方形的面积计算正方形的边
部分是
,边长a 是一个 数.
长呢
6.一个高为2米,宽为1米的大门,对角线大约
是 米(精确到0.01).
7.下 列 各 数 中,哪 些 是 无 理 数 哪 些 是 有
理数
2.举出日常生活中还有哪些不是有理数的
0.5,π,3.14,0.1, 0.1010010001
…,8.1212…
例子
8.如图所示,在3×3的方格中,有一阴影正方
形,设每一个小方格的边长均为1个单位.请解决下
: 面的问题
:
活动二 做一做
(1)阴影正方形的面积是多少
1.完成课本做一做.
(2)阴影正方形的边长介于哪两个整数之间
2.无理数与有理数有什么区别
3.常见的无理数有哪些形式
一、选择题
1.下列说法不正确的是 ( ) 1.在-1.414,π,3.1,3.1212212221…(相邻两
A.所有的整数和分数都是有理数 个1之间2的个数逐次加1),0这些数中,无理数有
B.无理数一定是无限小数 ( )
C.无限小数一定是无理数 A.5个 B.2个
C.3个 D.4个
1 3
课时培优作业
2.下列说法正确的是 ( ) 是整数,也不是分数的是 .(填序号)
A.0.151551555…(相邻两个1之间5的个数 三、解答题
逐次加1)是有理数 9.面积为15π的圆的半径为x,请回答下列
B.无限小数都是无理数 问题:
C.半径为3的圆的周长是有理数 (1)x 是有理数吗
D.无理数是无限不循环小数 (2)x 的整数部分是多少
3.如图是棱长为1的正方体,有一只聪明的蚂 (3)把x 的值精确到0.1时是多少 精确到
蚁从点A 走到C'吃糖,它走的是最短路线,请问这 0.01时呢
最短路线的长度是什么数 ( )
A.无理数
B.分数
C.可能是有理数,也可能是无理数
D.整数 10.如图,已知一个等边三角形的高为3,那么
这个等边三角形的边长是有理数吗 如果是,请求
出AB 长;如果不是,请求出AB2的值.
第3题 第4题
4.如图,小方格都是边长为1的正方形,图形
中哪些线段的长度是有理数 ( )
阅读下面的材料:
A.AB 和DE B.BC 和EF 11.
C.CD 和FG D.DE 和FG 在数学中,有理数的定义为: q形如 的数(p,p q
二、填空题
为互质的整数,且p≠0)叫做有理数.当p=1,q 为
2
5.在下列各数中:- ,3 3.1415926
,2π,-2.36, 任意 整 数 时, q有 理 数 就 是 指 所 有 的 整 数,如
p
86.6969969996…(相邻两个6之间的9的个数逐次 2 15
加1),有理数有 个,无理数有 个. - =-2, =15等;当p≠1时,由1 1 p
,q 互质可
6.符合下列条件的数a 中,使a 为整数的是
, q , 13, 7 5 ,使a 为分数的是 ,使a 既不是 知 有理数 就是指所有的分数 如2 -
, 等
p 2 11
.
整数又不是分数的是 .(只填序号) 综上所述,有理数就是整数和分数的统称.
①a2 2 2
1 2 1=4 ②a =6 ③a = 请利用上述材料中所涉及的知识证明下面的9 ④a =8 论断.
⑤5a2=25 ⑥3a2=27 ⑦a2+1=10 论断:直角边分别为3,1的直角三角形的斜边
1
7.有三张不透明的卡片为1, ,π,除正面的数 长不是有理数.3
不同外,其余都相同.将它们背面朝上洗匀后,从中
随机抽取一张卡片,抽到写有无理数卡片的可能性
为 .
8.在直角三角形 ABC 中,∠C=90°,∠A,
∠B,∠C 所对的三边长分别为a,b,c.
(1)计算:①当a=1,c=2时,b2= ; 1.(呼和浩特中考题)下列数是无理数的是
②当a=3,c=5时,b2= ; ( )
③当a=0.6,c=1时,b2= . 1
(2)通过(1)中计算出的b2
A.-1 B.0 C.π D.
的值,我们知道b是 3
整数的是 ;b是分数的是 ;b 既不 2.(南平中考题)请写出一个无理数: .
1 43、4、5 6、8、10 5、12、13 7、24、25 8、15、17 【课后作业】
6.120cm2 7.9 8.24m2 1.A 2.D 3.B 4.C 5.30 6.100
【课后作业】 7.25dm 8.能 9.解:(1)△ABC 是直角三角
1.A 2.C 3.A 4.C 5.4 3,4,5 6.② 形.理 由 如 下:∵AC2 +BC2 =1602 +1202 =
③ 7.直角 90° 8.直角 9.直角三角形,面积 40000,AB2=2002=40000,∴AC2+BC2=AB2,
是30. 10.解:(1)n2-1 2n n2+1 (2)是直 ∴△ABC 是直角三角形,且∠ACB=90°. (2)甲
角三角形.理由:∵a2+b2=(n2-1)2+(2n)2= 方案所修的水渠较短.理由如下:∵△ABC 是直角
n4+2n2+1,c2=(n2+1)2=n4+2n2+1,∴a2+ , 1三角形 ∴△ABC 的面积= AB·
1
2 CH= AC·b =c2,∴以a,b,c 为边长的三角形是直角三角 2 2
:() 1( ) 1 AC
·BC 160×120
形. 11.解 1 ∵ 9-1 =4, (9+1)=5; BC,∴CH= AB = 200 =96
(m).∵AC
2 2
1( ) ,1( ) ; , , +BC=160+120=280
(m),CH+AH+BH=
25-1 =12 25+1 =13 ∴72425的股2 2 CH+AB=96+200=296(m),∴AC+BC1( ) 1(2 ), +AH+BH
,∴甲方案所修的水渠较短. 10.10
的算式为
2 49-1 =2 7 -1
弦的算式为 万元(提 示:作 A(B)点 关 于 CD 的 对 称 点 A'
1 1 (B'),连A'B(AB')交CD 于一点,该点即为水厂(
2 49+1
)= (2 ); ()当 为奇数且2 7+1 2 n n≥ 位置)
1 【新题看台】
3,勾、股、弦 的 代 数 式 分 别 为:n, (2 n
2-1), 1.A 2.10 3.20 4.解:∵CD⊥AC,∴
1 ∠ACD=90°,∵∠ABD=135°,∴∠DBC=45°,(n2+1).例如关系式①:弦-股=1;关系式 :2 ② ∴∠D=45°,∴CB=CD,在Rt△DCB 中:CD2+
2
勾2+股2=弦2,
1
证明关系式①:弦-股= (n2+1) BC =BD
2,即2CD2=8002,∴CD=4002≈566
2 (米),答:直线l上距离D 点566米的C 处开挖.
1(2 ) 1- [(2 ) (2 )] 或证明关 第二章 实数2n -1=2 n +1-n -1 =1
2
: 1 1 第 节 认识无理数系式② 勾2+股2=n2+ [1(2 )] = n4+ 1 2n -1 4 2 【课堂作业】
n2
1 1
+ = (n2+1)2=弦2,∴猜想得证; (3)探 1.C 2.B 3.D 4.π,π-1(答案不唯一)4 4
, , 、 5.5 有理索得 当m 为偶数且m≥4时 股 弦的代数式分 2
无理 6.2.24 7.无理数:π,
m 2 m 2 0.1010010001
… 有理数:0.5,3.14,0.1,8.1212…
别为:( ) -1,( ) +1. 8.(1)5 (2)2与3之间2 2 【课后作业】
【新题看台】
1.B 2.D 3.A 4.D 5.3 2 6.①⑥⑦
1.B 2.D 3.20π 4.略 1
③ ②④⑤ 7.3 8.
(1)①3 ②16 ③0.64
第3节 勾股定理的应用
(2)② ③ ① 9.解:设圆的面积为S,则S
【课堂作业】 =πx2=15π,所以x2=15.(1)因为找不到一个有
1.B 2.A 3.C 4.25 5.1.5 6.250 理数的平方为15,所以x 不是有理数,而是无理
7.解:设基地E 应建在离A 站xkm 的地方,则 数. (2)因为9<15<16,所以3BE=(50-x)km.在 Rt△ADE 中,根据勾股定 的整数部分是3. (3)当3理,得AD2+AE2=DE2,即302+x2=DE2.在 当3.8Rt△CBE 中,根 据 勾 股 定 理,得 CB2+BE2= <3.88时,14.9769CE2,即202+(50-x)2=CE2.又∵C,D 两村到 的值精确到0.1时3.9,精确到0.01时是3.87.
E 点的距离相等,∴DE=CE,∴DE2=CE2,∴ 10.不是有理数.理 由:设 BD=x,∵Rt△ABD
302+x2=202+(50-x)2,解得x=20.答:基地E 中,∠B=60°,则AB=2BD=2x,根据勾股定理
应建在离A 站20km 的地方. 8.解:作 AD⊥ 可得:(2x)2-x2=32,解 得:(2x)2=12,所 以
BC 于D 点.因为AB=20,AC=15,BC=25,所以 AB2=12,∴AB 不是有理数.
AB2+AC2=BC2,所以△ABC 为直角三角形.根 11.解:令该直角三角形的斜边长为c,则由
AB·AC 勾股定理,得 2 2 2
据 直 角 三 角 形 的 面 积 公 式,有 = c =3 +1 =10.
假设斜边c是有理
2 q
· · 数,则c可表示为 的形式(BC AD 15×20 25 AD p p
,q 为互质的整数,
,所以 = ,解得2 2 2 AD=12. 2) q q
2
, 且 则
2 ,即 ,则 2
因为10<12 所以这条公路不会穿过自然保护区. p≠0 . ( ) =c =10 =10 =p p2 q
— 2 —
10p2,即q2是10的整数倍.又只有10的整倍数的 【课后作业】
平方才等于10的倍数,故q 是10的倍数.那么令 1.C 2.B 3.D 4.A 5.D 6.C 7.B
q=10k,则(10k)2=10p2.所以p2=10k2,即p 也 1 1 5或 或
必是10的倍数.由此可知,, 都是10的倍数,这 8.± 4 4 9.-1 3 10.7 1 pq
与p,q互质相矛盾.所以,假设不成立,即c 不能 11.± m2+1 12.解:(1)因为132=169,所以
q
表示为 .故c不是有理数. 169=13; (2)因为1.12=1.21,所以- 1.21
p
【新题看台】 ; () 8
2 64 64
=-1.1 3 因为( )= ,所以± =
1.C 2.如:π等(答案不唯一) 9 81 81
8
() ± 解:( )根 据 题 意 可 得
2
第2节 平方根 1 9. 13. 1 a =
( )
【课堂作业】 {aa>0-a(a<0); (2)根据(1)可得: a2=|a|.1.A 2.A 3.C 4.D 5.C 6.B ( )
7.-0.7 8.1.5 9.3 10.解:(1)因为72=49,
0a=0
【新题看台】
所以49的算术平方根是7; (2)因为0.72=0.49, 1.D 2.±2 3.-3 4.答案不唯一,如-1
所以0.49的算术平方根是0.7; (3)因为(-5)2
=25,52=25,所以(-5)2 的算术平方根是5; 第3节 立方根
9 25 2(4)因为1 = ,(
5) 25, 9= 所以1 的算术平 【课堂作业】16 16 4 16 16
5 1
方根是 ; (5)因为02=0,所以0的算术平方根 1.D 2.B 3.D 4.5 -4 2
5.0 6.-3
3
是0. 11.解:原绿化带的面积=102=100(m2), - 9 7.(1)6 (2)-0.2 8.(1)-3 (2)64
扩大后绿化带的面积=4×100=400(m2),则扩大 9.解:设每个小正方体铝块的边长为x m,依题
3
后绿化带的边长是 400=20(m).答:扩大后绿 0.125 0.125 0.5 1意知x3= ,x= = = ,∴6x2=
化带的边长为20m. 8 8 2 4
【课后作业】 ( 1
2
6× ) 3= .答:每个小正方体铝块的表面积
1.D 2.C 3.B 4.C 5.D 6.3 7.-3 4 8
8.11 9.111111111 10. 13 11.直 角 3为 m2
:() 225 15
8
12.解 1 原式可变为x2= ,所以121 x=
【课后作业】
11
(2)原式可变为x2=0.04,所以x=0.2. 13.6米 1.A 2.C 3.B 4.D 5.
等于 6.6-x
14.解:(1)由题意得AD=7cm,EF=5cm; 7.4 8.0.12265 9.(
1 5
1)x=- (2)x=
(2)因为四边形 ABCD 是正方形且AH=DG= 100 2
CF=BE,BF=CG=DH=AE,所以△AEH≌ 2 10.
△DHG≌△CGF≌△BFE.所以S 5△BEF=S△AEH 11.解:(1)设每个小正方体的棱长是1 xcm
,
= (49-25)=6(cm2) 由题意得8x3=1000-488,解得x=4,答:小正方4 体的棱长是4cm. (2)【 】 由于重新锻造的体积不新题看台
,
() () 变 所以新正方体的棱长是
3
488cm.1.B 2.B 3.4 4.2 5.13 20 【新题看台】
第2节 平方根(2) 1.A 2.A 3.C 4.-4 3
【课堂作业】 第4节 估算
1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 6.D 7.±4 【课堂作业】
4 ±4 ±2 8.100 9.1和0 0 10.解:
() ( )2 , ; 1.B 2.C 3.C 4.
(1)8.8 (2)-4.6
1 因为 ±4 =16 所以16的平方根是±4
2 5.12.6m 6.(1)< (2)> 7.解:(1)因为5
3
() ( 32 因为 ± )
9
= ,
9 3
所以 的平方根是
5 25 25 ±
;
5 5-1=125>120,所以 3120<5; (2)因为 -
(3)因为(-3)2=9,(±3)2=9,所以(-3)2 的 2
1 9 3 2 7 45-4-7 45-11
平方根是±3; (4)因为2 = ,(± )= 8= 8 =
,又 ,故
4 4 2 8
5<2.5 4 5
9, 9 3所以 的平方根是
4 4 ±2. 11.49
5-1 7
<10,故4 5-11<0,于是 2 - 8 <0
,即
— 3 —
