2.证 明:∵∠BAC= ∠DAE,∴ ∠BAC- ASA 全等三角形对应边相等
∠BAE=∠DAE-∠BAE,即∠BAD=∠CAE, 8.证明:∵AB∥EF,AC∥FD,
ì AD=AC ∴∠B=∠E
,∠ACB=∠FDE.
在△ABD 和△AEC 中,í∠BAD=∠EAC, ∵BD=CE,∴BD+DC=CE+DC,
AB=AE 即BC=ED.
∴△ABD≌△AEC(SAS). 又∠B=∠E,∠ACB=∠FDE,
3.证明:∵在△ODC 和△OBA 中, ∴△ABC≌△FED(ASA),
ì , OD=OB ∴AB=FE AC=DF.
í∠DOC=∠BOA, 9.影子一样长.
OC=OA 证明:∵AB⊥BC,A'B'⊥B'C',
∴△ODC≌△OBA(SAS), ∴∠ABC=∠A'B'C'=90°.
∴∠C=∠A(或者∠D=∠B)(全等三角形 ∵AC∥A'C',
对应角相等), ∴∠ACB=∠A'C'B'.
∴DC∥AB(内错角相等,两直线平行). 在△ABC 和△A'B'C'中,
13.2.4 角边角(1) ì ∠ABC=∠A'B'C'
【课堂作业】 í∠ACB=∠A'C'B',
1.C 2.D 3.D 4.C AB=A'B'
5.解:△ACE 与△CDB 全等. ∴△ABC≌△A'B'C'
(AAS).
: , ∴BC=B'C',理由 ∵∠CED=∠CBA 即影子一样长.
【 】
∴180°-∠CED=180°-∠CBA, 新题看台
即∠AEC=∠DBC. 1.C
()
在△AEC 与△DBC 中, 2.1 △ABE≌△CDF
,△AFD≌△CEB;
, , , () , : ,∵∠A=∠D AE=DB ∠AEC=∠DBC 2 选△ABE≌△CDF 证明 ∵AB∥CD
∴△ACE≌△DCB(ASA). ∴∠CAB=∠ACD,
6.解:存在,
,
△BDE≌△CFD. ∵AF=CE
, ,
理由:∵∠EDC=∠EDF+∠CDF,∠EDC ∴AF+EF=CE+EF 即AE=FC
=∠B+∠BED, ì∠CAB=∠ACD
∴∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED, 在△ABE 和△CDF 中
,í∠ABE=∠CDF,
又∵∠EDF=∠B, AE=CF
(
∴∠BED=∠CDF. ∴△ABE≌△CDF AAS
).
∵AB=AC, 13.2.4 角边角(2)
∴∠B=∠C, 【课堂作业】
∵BD=CF, 1.C 2.A 3.B 4.B
∴△BDE≌△CFD(AAS). 5.(1)BC=DF (2)∠A=∠E (3)∠ACB
【课后作业】 =∠EFD
1.C 2.A 3.D 4.D 5.D 6.(1)AAS 6.∠ADC+∠ABC=180°
(2)SAS (3)ASA 7.∠B=∠E(答案不唯一)
7.三角形的一个外角等于与它不相邻两个内 8.证明:∵CE⊥AD,BF⊥AD,
角的和 BDE CEF BDE CEF BD CE ∴∠BFD=∠CED=90°.
— 9 —
∵点D 是△ABC 边BC 上的中点, ∵AB=AC,AE=AF,
∴BD=CD. ∴BE=CF.
∵∠BDF=∠CDE(对顶角相等), 在△BEP 和△CFP 中,
在△BDF 和△CDE 中, ì ∠BPE=∠CPF
ì ∠BFD=∠CED í∠PBE=∠PCF
,
í∠BDF=∠CDE, BE=CF
BD=CD ∴△BEP≌△CFP(AAS),
∴△BDF≌△CDE(AAS),∴CE=BF. ∴PB=PC.
【课后作业】 ∵BF=CE,
1.A 2.D 3.A 4.C 5.B 6.3 ∴PE=PF,
7.145° ∴图中相等的线段为 PE=PF,BE=CF,
8.∠2 ∠CFD DF ∠2 DF ∠CFD BF=CE.
ASA 13.2.5 边边边
9.证明:∵∠AOB=90°,∴∠AOC+∠BOD 【课堂作业】
=90°,∵AC⊥EF,BD⊥EF,∴∠ACO=∠BDO 1.D 2.C 3.A 4.B
=90°,∴∠A+∠AOC=90°,∴∠A=∠BOD, 5. 证 明: 在 △ABC 和 △ADC 中,
在△AOC 和△OBD 中, ìAB=AD,
ì∠A=∠BOD ∵ íBC=DC,∴ △ABC ≌ △ADC,∴ ∠BAC
í∠ACO=∠ODB=90°, AC=AC,
OA=BO =∠DAC.
∴△AOC≌△OBD(AAS),∴AC=OD. 【课后作业】
10.证明:∵CD⊥AB,∠ACB=90°,∴∠A 1.A 2.D 3.C 4.C 5.C 6.A 7.15
+∠ACD =90°,∠A + ∠B =90°,∴ ∠ACD 8.4
=∠B. 9.证明:∵BE=CF,
∵EF⊥AC,∴∠CEF=∠ACB=90°. ∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
在△ABC 和△FCE 中, 在△ABC 与△DEF 中,
ì∠BCA=∠CEF ∵AB=DE,AC=DF,BC=EF,
íCB=EC , ∴△ABC≌△DEF(SSS),
∠B=∠ECF ∴∠ABC=∠DEF,
∴△ABC≌△FCE(ASA),∴AC=EF. ∴AB∥DE.
【新题看台】 【新题看台】
1.AB=DC(答案不唯一) 1.AC=DF(或∠B=∠DEF 或AB∥DE)
2.证明:在△ABF 和△ACE 中, 2.C
ì AB=AC 13.2.6 斜边直角边
í∠BAF=∠CAE, 【课堂作业】
AF=AE 1.(1)AAS (2)ASA (3)AAS (4)HL
∴△ABF≌△ACE(SAS), (5)SAS 2.A 3.C 4.D
∴∠ABF=∠ACE(全等三角形的对应角相 5.证明:∵∠ACB=∠DCE=90°,
等),BF=CE(全等三角形的对应边相等). ∴在Rt△ACB 与Rt△DCE 中,
— 10 —
数学 八年级上册
13.2.4 角边角(2)
在证明两个三角形全等时,应注意图形中的隐含
条件,常见的有:(1)公共边或公共角相等;(2)对顶角
相等;(3)等边加(或减)等边,其和(或差)仍相等;(4) A.AB=DE
等角加(或减)等角,其和(或差)仍相等;(5)同角或等 B.BC=EF
角的余(补)角相等;(6)由中线或角平分线的定义得 C.∠B=∠E
出线段或角相等;(7)由垂直定义得出直角相等. D.AB∥DE
3.如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥
CE 于D,AD=2.5cm,BE=0.8cm,则DE 的长为
1.到目前为止我们证明三角形全等的方法有多 ( )
少种 是哪些
2.如何证明全等三角形对应边的高相等
A.0.7cm B.1.7cm
C.3.3cm D.2.3cm
4.如图,∠DBC=∠ACB,∠ABD=∠DCA,若
△ABC 的周长为14,BC=4,则△COD 的周长为
3.如何证明全等三角形对应边的中线相等 ( )
4.如何证明全等三角形对应角的平分线相等 A.8 B.10
C.12 D.13
5.如 图,已 知∠B=∠D,AB=DE,要 推 得
△ABC≌△EDF:
5.总结全等三角形有哪些性质
(1)若以“SAS”为依据,缺条件 ;
(2)若以“ASA”为依据,缺条件 ;
(3)若以“AAS”为依据,缺条件 .
6.如图,AC 平分∠BAD,CE⊥AB,且2AE=
1.面积相等的两个三角形 ( ) AB+AD.那么∠ADC 与∠ABC 的关系是 .
A.必定全等 B.必定不全等
C.不一定全等 D.以上答案都不对
2.如图,已知点A,F,C,D 在同一条直线上,AC
=DF,BC∥EF,只需补充一个条件,就可得△ABC
≌△DEF.则下列条件中不符合要求的是 ( )
4 5
课时培优作业
7.如图,点B,C,F,E 在同一条直线上,∠1= 3.如图,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.
∠2,BC=FE,若要根据“角边角”判 定△ABC≌ 给出下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌
△DEF,则需添加的条件是 (只需写出一 △ABM;④CD=DN.其中正确的结论是 ( )
个).
A.①②③ B.①③④
8.如图,点D 是△ABC 边BC 上的中点,连结
C.①② D.②③
AD,过C 作CE⊥AD,过B 作BF⊥AD.
: 4.
如图,E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上
求证 CE=BF.
一点,且BC=CE,若CE=5cm,则CF 的长为
( )
9 5
A.2cm B.3cm C.2cm D.5cm
5.有下列命题:
①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线
对应相等;
②两边和其中一边上的中线(或第三边上的中
线)对应相等的两个三角形全等;
③两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平
分线)对应相等的两个三角形全等;
④两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对
应相等的两个三角形全等.
其中正确命题的个数有 ( )
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
6.如图,∠A=∠B,CE⊥AB,DF⊥AB,且CE
, ,则
1.有两个角和其中一个角的对边对应相等的两 =DF AE=3cm BF= cm.
个三角形 ( )
A.必定全等 B.必定不全等
C.不一定全等 D.以上答案都不对
2.如图,AB=AC,添加下列条件,不能使△ABE
≌△ACD 的是 ( ) 7.如图,D 是∠ABC 的平分线上一点,点P 在
BD 所在直线上,PA⊥AB,PC⊥BC,垂足分别为A,
C,∠ADP=35°,则∠BDC= .
A.∠B=∠C B.∠AEB=∠ADC
C.AE=AD D.BE=DC
4 6
数学 八年级上册
8.完成下面的证明过程: 10.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥
如图,AB∥DC,AE⊥BD,CF⊥BD,BF=DE. AB,在AC 上取一点E,使EC=BC,过点E 作EF⊥
求证:△ABE≌△CDF. AC 交CD 的延长线于点F,求证:AC=EF.
证明:∵AB∥DC,
∴∠1= .
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEB= .
∵BF=DE,
∴BE= .
在△ABE 和△CDF 中,
ì ∠1=
íBE= ,
∠AEB=
∴△ABE≌△CDF( ).
9.如图,∠AOB=90°,OA=OB,直线EF 经过
点O,AC⊥EF 于点C,BD⊥EF 于点D,求证:AC
1.(绥化中考题)如图,=OD. AC
,BD 相交于点O,∠A
=∠D,请补充一个条件,使△AOB≌△DOC,你补充
的条件是 (填出一个即可).
2.(杭州中考题)在△ABC 中,AB=AC,点E,F
分别在AB,AC 上,AE=AF,BF 与CE 相交于点P.
求证:PB=PC,并直接写出图中其他相等的线段.
4 7
