课时培优作业
13.2.6 斜边直角边
判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、 1.如图,Rt△ABC 和Rt△DEF,∠C=∠F=90°.
ASA、AAS、HL.注意:AAA、SSA不能判定两个三角
形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若
有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.“HL”
是直角三角形特有的判定方法,其实际上就是两边及
其中一边的对角对应相等,所对的角是直角,所以它
只对直角三角形适用,对一般三角形不适用.在使用 (1)若∠A=∠D,BC=EF,则 Rt△ABC≌
“HL”过程中要突出直角三角形这个条件.
Rt△DEF的依据是 .
(2)若∠A=∠D,AC=DF,则 Rt△ABC≌
1.“边边角”(SSA)为什么不能判定两个三角形 Rt△DEF的依据是 .
全等 (3)若∠A=∠D,AB=DE,则 Rt△ABC≌
Rt△DEF的依据是 .
(4)若 AC=DF,AB=DE,则 Rt△ABC≌
2.如果“边边角”中的角是直角,那么这两个三角
Rt△DEF的依据是 .
形全等吗
(5)若 AC=DF,CB=FE,则 Rt△ABC≌
Rt△DEF的依据是 .
3.对于两个一般的直角三角形来说: 2.如图,∠A=∠D=90°,AC=DB,则判定
(1)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 △ABC≌△DCB 的依据是 ( )
吗 说明理由.
(2)斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全
等吗 说明理由. A.HL
B.ASA
C.AAS
() D.SAS3一条直角边和一锐角对应相等的两直角三角
如图所示, , ,过点
形全等吗 说明理由. 3. ∠BAC=90°AB=AC A
任意作一直线DE,且作CE⊥ED,BD⊥ED,经测
量CE=2cm,BD=4cm,则DE 的长为 ( )
(4)斜边与直角边对应相等的两个直角三角形是
否全等
A.2cm
4.完成课本“做一做”,你能得到什么结论 B.4cm
C.6cm
D.8cm
5 0
数学 八年级上册
4.如图,已知:EA⊥AB,BC⊥AB,D 为AB 2.如图,点P 是∠BAC 内一点,且P 到AB,
的中点,BD=BC,EA=AB,则下面结论错误的是 AC 的距离PE=PF,则下列哪一个能作为△PEA
( ) ≌△PFA 的理由 ( )
A.AC=ED A.HL B.AAS
B.AC⊥ED C.SSS D.ASA
C.∠C+∠E=90° 3.下列结论正确的个数是 ( )
D.∠ADE+∠C=90° ①两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
5.如图,在△ABC 和△EDC 中,AC=DC,AB ②底边相等,且周长相等的两个等腰三角形
=DE,∠ACB=∠DCE=90°,AB 与CE 交于F, 全等;
ED 与AB,BC 分别交于M,H. ③腰长相等,且有一角是50°的两个等腰三角
求证:CF=CH. 形全等;
④有两边及其中一边上的高对应相等的两个
三角形全等.
A.1 B.2
C.3 D.4
4.如图,已知AC⊥BD 于点P,AP=CP,请增
加一个条件,使△APB≌△CPD(不能添加辅助
线),增加的条件不能是 ( )
A.BP=DP
B.AB=CD
C.AB∥CD
D.∠A=∠D
5.如图,有两个 长 度 相 等 的 滑 梯(即 BC=
EF),左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向上
1.如图,已知△ABC,AB=AC,点 D 在底边 的长度DF 相等,若∠ABC=32°,则∠DFE 的度
BC 上,添加下列条件后,仍无法判 定△ABD≌ 数为 ( )
△ACD 的是 ( )
A.32°
B.28°
A.BD=CD B.∠BAD=∠CAD C.58°
C.∠B=∠C D.∠ADB=∠ADC D.45°
5 1
课时培优作业
6.如图,在四边形ABCD 中,AD=CB,DE⊥ 11.如图所示,已知 AB⊥AC,BD⊥CD,AB
AC 于点E,BF⊥AC 于点F,且DE=BF,则图中 =DC.
的全等三角形共有 对,其中可根据“HL” (1)请说明AC 与DB 相等的理由;
()
推出的全等三角形有 对. 2 ∠1与∠2相等吗 为什么
第6题 第7题
7.如 图,在△ABC 中,∠C=90°,AD 平 分
∠BAC,DE⊥AB 于E,则△ ≌△ .
8.如图,∠C=90°,AC=10,BC=5,线段PQ
=AB,P,Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC
的射线AD 上运动,点P 运动到 的位置
时,△APQ 与△ABC 全等.
1.(黔西南州中考题)如图,已知AB=AD,那
么添 加 下 列 一 个 条 件 后,仍 无 法 判 定△ABC≌
9.如图,△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6cm, △ADC 的是 ( )
BC=8cm.点P 从A 点出发沿A→C→B 路径向终
点运动,终点为B 点;点Q 从B 点出发沿B→C→
A 路径向终点运动,终点为A 点.点P 和Q 分别以
每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动,两点
都要到相应的终点时才能停止运动,在某时刻,分 A.CB=CD
别过P 和Q 作PE⊥l于E,QF⊥l于F.设运动时 B.∠BAC=∠DAC
间为t秒,则当t 时, PEC 与 QFC C.∠BCA=∠DCA= △ △
D.∠B=∠D=90°
全等.
2.(台州中考题)如图,F 是正方形ABCD 的边
CD 上的一个动点,BF 的垂直平分线交对角线AC
于点E,连结BE,FE,则∠EBF 的度数是 ( )
10.如图是由4个相同的小正方形拼成的正方
形网格,正方形的顶点叫格点,以其中的格点为顶
点可以构成不全等的三角形共有 种.
A.45°
B.50°
C.60°
D.不确定
5 2∵点D 是△ABC 边BC 上的中点, ∵AB=AC,AE=AF,
∴BD=CD. ∴BE=CF.
∵∠BDF=∠CDE(对顶角相等), 在△BEP 和△CFP 中,
在△BDF 和△CDE 中, ì ∠BPE=∠CPF
ì ∠BFD=∠CED í∠PBE=∠PCF
,
í∠BDF=∠CDE, BE=CF
BD=CD ∴△BEP≌△CFP(AAS),
∴△BDF≌△CDE(AAS),∴CE=BF. ∴PB=PC.
【课后作业】 ∵BF=CE,
1.A 2.D 3.A 4.C 5.B 6.3 ∴PE=PF,
7.145° ∴图中相等的线段为 PE=PF,BE=CF,
8.∠2 ∠CFD DF ∠2 DF ∠CFD BF=CE.
ASA 13.2.5 边边边
9.证明:∵∠AOB=90°,∴∠AOC+∠BOD 【课堂作业】
=90°,∵AC⊥EF,BD⊥EF,∴∠ACO=∠BDO 1.D 2.C 3.A 4.B
=90°,∴∠A+∠AOC=90°,∴∠A=∠BOD, 5. 证 明: 在 △ABC 和 △ADC 中,
在△AOC 和△OBD 中, ìAB=AD,
ì∠A=∠BOD ∵ íBC=DC,∴ △ABC ≌ △ADC,∴ ∠BAC
í∠ACO=∠ODB=90°, AC=AC,
OA=BO =∠DAC.
∴△AOC≌△OBD(AAS),∴AC=OD. 【课后作业】
10.证明:∵CD⊥AB,∠ACB=90°,∴∠A 1.A 2.D 3.C 4.C 5.C 6.A 7.15
+∠ACD =90°,∠A + ∠B =90°,∴ ∠ACD 8.4
=∠B. 9.证明:∵BE=CF,
∵EF⊥AC,∴∠CEF=∠ACB=90°. ∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
在△ABC 和△FCE 中, 在△ABC 与△DEF 中,
ì∠BCA=∠CEF ∵AB=DE,AC=DF,BC=EF,
íCB=EC , ∴△ABC≌△DEF(SSS),
∠B=∠ECF ∴∠ABC=∠DEF,
∴△ABC≌△FCE(ASA),∴AC=EF. ∴AB∥DE.
【新题看台】 【新题看台】
1.AB=DC(答案不唯一) 1.AC=DF(或∠B=∠DEF 或AB∥DE)
2.证明:在△ABF 和△ACE 中, 2.C
ì AB=AC 13.2.6 斜边直角边
í∠BAF=∠CAE, 【课堂作业】
AF=AE 1.(1)AAS (2)ASA (3)AAS (4)HL
∴△ABF≌△ACE(SAS), (5)SAS 2.A 3.C 4.D
∴∠ABF=∠ACE(全等三角形的对应角相 5.证明:∵∠ACB=∠DCE=90°,
等),BF=CE(全等三角形的对应边相等). ∴在Rt△ACB 与Rt△DCE 中,
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{AC=DC 在△BCG 和△DCE 中,,AB=DE ∵BC=DC,∠BCG=∠DCE,CG=CE,
∴Rt△ACB≌Rt△DCE(HL), ∴△BCG≌△DCE.
∴∠A=∠D. 7.证明:∵△ABC 是等边三角形,
又∵∠1=90°-∠FCH,∠2=90°-∠FCH, ∴BC=AB.
∴∠1=∠2, ∵△BDE 是等边三角形,
∴在△AFC 与△DHC 中, ∴BD=BE.
ì ∠A=∠D ∵∠ABE+∠ABD=60°
,∠ABD+∠CBD
íAC=DC , =60°,
∠1=∠2 ∴∠ABE=∠CBD,
∴△AFC≌△DHC(ASA), ∴△EBA≌△DBC.
∴CF=CH(全等三角形的对应边相等). 【课后作业】
【课后作业】 1.A 2.B 3.D 4.B 5.B 6.30° 7.①
1.C 2.A 3.B 4.D 5.C 6.3 2 ②③④ 8.60° 9.∠A=50°,∠C=25°
7.ACD AED 8.AP=BC 或AP=AC 9.1 10.(1)证明:∵△ABC 是等边三角形,∴AB
7
或 或12 10.7 =AC
,∠BAC=∠ACB,∵∠BAE+∠BAC=
2 180°,∠ACD + ∠ACB = 180°∴ ∠BAE =
11.解:(1)∵AB⊥AC,BD⊥CD, ∠ACD, 在 △BAE 与 △ACD 中,
∴∠CAB=∠BDC=90°. ì AE=CD
又∵AB=DC,BC=CB, í∠BAE=∠ACD,∴ △BAE≌ △ACD(SAS),
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL), AB=CA
∴AC=DB. ∴AD=BE.
(2)相等.理由: (2)解:∵ △BAE ≌ △ACD,∴ ∠DAC
∵AC=DB,DC=AB,DA=AD, =∠EBA,
∴△DCA≌△ABD,∴∠1=∠2. ∵∠DAC= ∠EAF,∴ ∠EAF = ∠EBA,
【新题看台】 ∵△ABC 是 等 边 三 角 形,∴ ∠BAC =60°,
1.C 2.A ∴∠BAE=120°,即 ∠EAF + ∠BAF =120°,
13.3 等腰三角形 ∴∠EBA+∠BAF=120°,∴∠BFD=60°.
11.证 明:(1)∵ ∠ACB =90°,CG 平
13.3.1 等腰三角形的性质 分∠ACB,
【课堂作业】 ∴∠ACG=∠BCG=45°,又∵∠ACB=90°,AC
1.A 2.D 3.A 4.4cm6.证明:∵EF∥BC,CG∥AB, ì∠ACF=∠CBG
∴ ∠GEC = ∠ACB,∠EGC = ∠GCD, 在△AFC 与△CGB 中,íAC=CB ,∴△AFC
∠GCD=∠ABC. ∠CAF=∠BCG
∵AC=BA, ≌△CGB(ASA),∴AF=CG.
∴∠ABC=∠ACB, (2)延长CG 交AB 于H,∵CG 平分∠ACB,
∴∠GCD=∠ACB,∠CEG=∠EGC, AC=BC,∴CH ⊥AB,CH 平 分AB,∵AD⊥
∴CE=CG,∠ECD=∠GCB. AB,∴AD∥CG,∴∠D=∠EGC.
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