{AC=DC 在△BCG 和△DCE 中,,AB=DE ∵BC=DC,∠BCG=∠DCE,CG=CE,
∴Rt△ACB≌Rt△DCE(HL), ∴△BCG≌△DCE.
∴∠A=∠D. 7.证明:∵△ABC 是等边三角形,
又∵∠1=90°-∠FCH,∠2=90°-∠FCH, ∴BC=AB.
∴∠1=∠2, ∵△BDE 是等边三角形,
∴在△AFC 与△DHC 中, ∴BD=BE.
ì ∠A=∠D ∵∠ABE+∠ABD=60°
,∠ABD+∠CBD
íAC=DC , =60°,
∠1=∠2 ∴∠ABE=∠CBD,
∴△AFC≌△DHC(ASA), ∴△EBA≌△DBC.
∴CF=CH(全等三角形的对应边相等). 【课后作业】
【课后作业】 1.A 2.B 3.D 4.B 5.B 6.30° 7.①
1.C 2.A 3.B 4.D 5.C 6.3 2 ②③④ 8.60° 9.∠A=50°,∠C=25°
7.ACD AED 8.AP=BC 或AP=AC 9.1 10.(1)证明:∵△ABC 是等边三角形,∴AB
7
或 或12 10.7 =AC
,∠BAC=∠ACB,∵∠BAE+∠BAC=
2 180°,∠ACD + ∠ACB = 180°∴ ∠BAE =
11.解:(1)∵AB⊥AC,BD⊥CD, ∠ACD, 在 △BAE 与 △ACD 中,
∴∠CAB=∠BDC=90°. ì AE=CD
又∵AB=DC,BC=CB, í∠BAE=∠ACD,∴ △BAE≌ △ACD(SAS),
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL), AB=CA
∴AC=DB. ∴AD=BE.
(2)相等.理由: (2)解:∵ △BAE ≌ △ACD,∴ ∠DAC
∵AC=DB,DC=AB,DA=AD, =∠EBA,
∴△DCA≌△ABD,∴∠1=∠2. ∵∠DAC= ∠EAF,∴ ∠EAF = ∠EBA,
【新题看台】 ∵△ABC 是 等 边 三 角 形,∴ ∠BAC =60°,
1.C 2.A ∴∠BAE=120°,即 ∠EAF + ∠BAF =120°,
13.3 等腰三角形 ∴∠EBA+∠BAF=120°,∴∠BFD=60°.
11.证 明:(1)∵ ∠ACB =90°,CG 平
13.3.1 等腰三角形的性质 分∠ACB,
【课堂作业】 ∴∠ACG=∠BCG=45°,又∵∠ACB=90°,AC
1.A 2.D 3.A 4.4cm6.证明:∵EF∥BC,CG∥AB, ì∠ACF=∠CBG
∴ ∠GEC = ∠ACB,∠EGC = ∠GCD, 在△AFC 与△CGB 中,íAC=CB ,∴△AFC
∠GCD=∠ABC. ∠CAF=∠BCG
∵AC=BA, ≌△CGB(ASA),∴AF=CG.
∴∠ABC=∠ACB, (2)延长CG 交AB 于H,∵CG 平分∠ACB,
∴∠GCD=∠ACB,∠CEG=∠EGC, AC=BC,∴CH ⊥AB,CH 平 分AB,∵AD⊥
∴CE=CG,∠ECD=∠GCB. AB,∴AD∥CG,∴∠D=∠EGC.
— 11 —
ì∠AED=∠CEG ∴∠BAD=30°
,∴ ∠BAC= ∠BAD + ∠DAC
在△ADE 与△CGE 中,í∠D=∠EGC , =90°,
AE=CE ∴△ABC 为直角三角形,在直角△AEC 和
∴△ADE≌△CGE(AAS),∴DE=GE,即 AC=DC
直角△DEC 中, ,∴△AEC≌△DEC
DG=2DE,∵AD ∥CG,CH 平 分 AB,∴DG {EC=EC
=BG. (HL).
∵△AFC≌△CGB,∴CF=BG,∴CF= 11.证明:∵BD=BE,∴∠D=∠BED.
DG,∴CF=2DE. ∵∠BED=∠CEF,
【新题看台】 ∴∠D=∠CEF.
1.C 2.63°或27° 3.15° 4.15 ∵DF⊥AC,
13.3.2 等腰三角形的判定 ∴∠A+∠D=90°,∠CEF+∠C=90°,
【 ,课堂作业】 ∴∠A=∠C
,
1.B 2.C 3.A 4.A 5.3 6.70°或55° ∴AB=BC
7.证明:∵AD,BE 是△ABC 的高线, ∴△ABC
是等腰三角形.
∴AD⊥BC,BE⊥AC, 12.PE=PA
,理由如下:
证明:过点 作 ,垂足为 ,过点
∴∠ADB=∠ADC=90°,∠AEB=90°. P PM⊥AC M P
作 ,垂足为 , 中,
∵∠ABC=45°, PN⊥CD N ∵△ABC ∠BAC=
, ,
∴△ADB 是等腰直角三角形, 90°AB=AC ∴∠B=∠ACB=45°.
∴AD=BD. ∵CD ∥ BA
,∴ ∠B = ∠BCN = 45°,
,
∵∠EBC+∠BFD=90°,∠CAD+∠AFE ∴∠ACB=∠BCN =45° ∵PM ⊥AC
,PN ⊥
=90°,∠AFE=∠BFD, CD
,∴PM =PN.∵ ∠PMC= ∠PNC=90°,
, 与 都
∴∠CAD=∠EBC=∠FBD. ∠ACB=∠BCN=45° ∴△PMC △PNC
, 为等腰直角三角形,在△BDF 和△ADC 中 ∴∠MPC=∠NPC=45°
,即
∠FBD=∠CAD ∠MPN =90°.∵ ∠APE =90°
,∴ ∠APE -
ì
, ∠MPE = ∠MPN - ∠MPE,即íBD=AD
∠APM
∠BDF=∠ADC=90° =∠EPN.
在 和 中,
∴△BDF≌△ADC(ASA), △APM △EPN
∴CD=DF. ì ∠AMP=∠ENP=90°
【 PM=PN
,
课后作业】 í
∠APM=∠EPN
1.D 2.D 3.B 4.C 5.C 6.是
()a () ∴△APM≌△EPN
(ASA),∴PA=PE.
7.200 8.1 21 9.8
【
: 新题看台
】
10.证明 连结AD.
, , 1.
(1)∵△ACB 是等腰直角三角形,
∵将△ABC 折叠 点B 和点C 重合 折痕为
∴∠CAB=45°,∴∠PAB=45°-α.
1
DE,∴BD=CD= BC,2 ∠EDC=90°.∵AC= ∵QH⊥PA,∴∠AMQ=90°-∠PAB=45°
1,BC =2,∠ACB =60°,∴AC =CD =1, +α.
∴△ADC是等边三角形,∴AD=BD=1,∠DAC (2)线段 MB 与PQ 之间的数量关系为PQ=
=60°. 2MB.
∴ ∠B = ∠BAD,∠B + ∠BAD =60°, 证明:连结 AQ,过点 M 作 MN⊥BQ 于点
— 12 —
数学 八年级上册
13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形的性质
顶角、底边和底角这三个概念只是对等腰三角 1.如图,在△ABC 中,AB=AC,过点 A 作
形而言的,当解答与等腰三角形有关的问题时,在 AD∥BC,若∠1=70°,则∠BAC 的大小为 ( )
题设未指明已知的边(角)是等腰三角形的底或腰
(顶角或底角)的情况下,要分情况讨论.
1.什么样的三角形叫等腰三角形
A.40° B.30°
C.70° D.50°
2.如图,AB=AC,BE=CF,AD 是△AEF 的
2.等腰三角形是轴对称图形吗 请找出它的 中线,则图中全等三角形的对数共有 ( )
对称轴.
3.将两腰AB 和AC 重叠在一起,折痕为AD,
你能发现什么 A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
3.如图,点C 是线段AB 上一点,以AC,BC 为
边在AB 的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形
4.等腰三角形顶角的平分线所在的直线是等 CBE,比较AE 和BD 的大小 ( )
腰三角形的对称轴吗
5.等腰三角形底边上的中线所在的直线是等 A.AE=BD
腰三角形的对称轴吗 底边上的高所在的直线呢 B.AE>BD
C.AED.不能确定
4.在等腰三角形ABC 中,AB=AC,其周长为
6.你有什么发现 能得出等腰三角形的哪些 16cm,则AB 边c的取值范围是 .
性质 5.如图,△ABC 中,AB=AC,AE=AD,则图
中全等三角形有 对.
7.什么样的三角形叫等边三角形 等边三角
形有哪些性质
5 3
课时培优作业
6.如图,在△ABC 中,AB=AC,延长BC 至D 3.如图,△ABC 中,AB=AC,∠BAD=25°,
使CD=BC,点E 在AC 上,过E 作EF∥CD,过C 且AD=AE,则∠EDC= ( )
作CG∥AB 交 EF 于 G,连 结 BG,DE,求 证:
△BCG≌△DCE.
A.25° B.10°
C.15° D.12.5°
4.如图,在△ABC 中,点 D 在BC 上,AB=
AD=DC,∠B=80°,则∠C 的度数为 ( )
A.30° B.40°
C.45° D.60°
7.如图,已知△ABC 是等边三角形,点 D 是 5.如图所示,在△ABC 中,AB=AC,D 为BC
AC 边上一动点,△BDE 是等边三角形,连结AE. 上一点,BF=CD,CE=BD,则∠FDE 等于( )
求证:△EBA≌△DBC.
1
A.90°-∠A B.90°-2∠A
1
C.180°-∠A D.45°-2∠A
6.如图,等腰三角形ABC 中,AB=AC,∠A
=20°,D 是AB 边上一点,AD=BC,连结CD,那
么∠BDC 的大小是 .
1.一个等腰三角形的两边长分别是3和7,则 7.如图,C 为线段AE 上一动点(不与点A,E
它的周长为 ( ) 重合),在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边
A.17 B.15 三角形CDE,AD 与BE 交于点O,AD 与BC 交于
C.13 D.13或17 点P,BE 与CD 交于点Q,连结PQ.以下五个结论:
2.如图所示,AB∥EF∥CD,∠ABC=90°, ①AD=BE;②AP=BQ;③PQ∥AE;④∠AOB=
AB=DC,那么图中的全等三角形有 ( ) 60°;⑤DE=DP.
恒成立的结论有 (把你认为正确的序
号都填上).
A.4对 B.3对
C.2对 D.1对
5 4
数学 八年级上册
8.如图,已知△ABC 三个内角的平分线交于 11.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=
点O,点D 在CA 的延长线上,且DC=BC,AD= BC,E 为AC 边的中点,过点A 作AD⊥AB 交BE
AO,若 ∠BAC = 80°,则 ∠BCA 的 度 数 为 的延长线于点D,CG 平分∠ACB 交BD 于点G,F
. 为AB 边上一点,连结 CF,且∠ACF=∠CBG.
求证:
(1)AF=CG;
(2)CF=2DE.
9.如 图,已 知 △ABC 中,AB =BD =DC,
∠ABC=105°,求∠A,∠C 的度数.
1.(日照中考题)已知△ABC 的周长为13,且
10.如图,△ABC 是等边三角形,点D,E 分别 各边长均为整数,那么这样的等腰△ABC 有( )
是BC,CA 的延长线上的点,且CD=AE,DA 的延 A.5个 B.4个
长线交BE 于点F. C.3个 D.2个
(1)求证:AD=BE; 2.(呼和浩特中考题)等腰三角形一腰上的高
(2)求∠BFD 的度数. 与另一腰的夹角为36°,则该等腰三角形的底角的
度数为 .
3.(徐州中考题)如图,在等腰三角形纸片ABC
中,AB=AC,∠A=50°,折叠该纸片,使点A 落在
点B 处,折痕为DE,则∠CBE= .
4.(黔西南州中考题)如图,已知△ABC 是等
边三角形,点B,C,D,E 在同一直线上,且CG=
CD,DF=DE,则∠E= 度.
5 5
