课时培优作业
13.3.2 等腰三角形的判定
等腰三角形的定义既体现等腰三角形的性质 1.下列能判定△ABC 为等腰三角形的是
又可作为等腰三角形的判定定理.“等角对等边”在 ( )
同一个三角形内证明两条边相等,应用极为广泛, A.∠A=40°,∠B=65°
往往通过计算三角形各角的度数,得到角相等,从 B.∠A=80°,∠B=50°
而得到边相等. C.AB=3,AC=2,BC=4
D.AB=3,BC=7,周长为15
2.如图,在矩形ABCD 中,AB1.等腰三角形除具有一般三角形的性质外,还 相交于点O,则图中等腰三角形的个数是 ( )
有哪些特殊性质
2.一个三角形满足了什么样的条件就是一个
等腰三角形呢 A.8 B.6 C.4 D.2
3.已知△ABC 是等腰三角形,∠A 是顶角,分
析如下说法:
3.等腰三角形的性质定理的内容是什么 “等 ①如 果 ∠B 与 ∠C 的 平 分 线 相 交 于 O,则
角对等边”是否为真 怎样证明 △OBC 是等腰三角形.
②如果 AB,AC 两边上的高线相交于O,则
△OBC 是等腰三角形.
4.(1)画一画:先画一个锐角,然后分别以一条 ③如果 AB,AC 两边上的中线相交于O,则
线段AB 的两个端点为顶点在AB 的同侧作两个 △OBC 是等腰三角形.
角,使它们等于已知角,所作两个角另外一条边相 ④在上述任何一种情况下,都有AO⊥BC.
交于点C. 以上说法中,正确的有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
4.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,
(2)比一比:用刻度尺量出上面图形中AC,BC BD,CE 分别是∠ABC,∠BCD 的平分线,则图中
的长度并比较它们的大小 的等腰三角形有
(
.
)
(3)想一想:你能从上面的结果中发现什么
规律
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
5.如图,△ABC 中,D 为AC 上一点,∠C=
5.怎样判定一个三角形为等边三角形 如何
72°, ∠A=∠DBC=36°
,则图中共有 个等
证明
腰三角形.
6.阅读课本例5,思考证明“HL”的关键之处是
什么
5 6
数学 八年级上册
6.若三角形的一个内角为70°,要使它成为等 5.如图,D 是等边△ABC 的边AB 上的一点,
腰三角形,需要另外一个内角为 . CD=BE,∠1=∠2,则△ADE 是 ( )
7.如图,在△ABC 中,∠ABC=45°,高线AD
和BE 交于点F.求证:CD=DF.
A.等腰三角形 B.等腰直角三角形
C.等边三角形 D.直角三角形
6.在△ABC 中,如果∠B=65°,∠A 的外角等
于130°,那么△ABC 等腰三角形.(填“是”
或“不是”)
7.如图,在一次夏令营活动中,小明同学从营
地A 出发,要到A 地的北偏东60°方向的C 处,他
先沿正东方向走了200m 到达B 地,再沿北偏东
30°方向走,恰能达到目的地C,那么,由此可知,B,
C 两地相距 m.
8.如图,在等边△ABC 中,D 是BC 边上异于
1.下列判断正确的是 ( ) B,C 的一点,F 是BC 的延长线上的一点,∠ADE
A.等边三角形都全等 =60°,∠ACF 的平分线CE 交DE 于E,连结AE,
B.面积相等的两个三角形全等 设AB=1,AD=a,CD=m,CE=n.
C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等
D.直角三角形和钝角三角形不可能全等
2.如图,等边三角形ABC 中,中线BE,AD 相
交于点O,则图中等腰三角形的个数有 ( )
(1)DE= (直接填空);
(2)m+n= (直接填空).
9.在△ABC 中,∠BAC=40°,∠ACB=90°,
则在直线BC 或AC 上取一点P,使得△ABP 为等
腰三角形,这样的P 点有 个.
A.3个 B.4个 10.如 图,在 △ABC 中,AC =1,BC =2,
C.5个 D.6个 ∠ACB=60°,将△ABC 折叠,使点B 和点C 重合,
3.在△ABC 中,∠A 的相邻外角是70°,要使 折痕为DE.请说明△AEC≌△DEC 的理由.
△ABC 为等腰三角形,则∠B 为 ( )
A.70° B.35°
C.110°或35° D.110°
4.有长度为3cm,3cm,6cm,6cm,12cm,12
cm的六条线段,任选其中的三条组成一个三角形,
则最多能组成不同的等腰三角形 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
5 7
课时培优作业
11.如图所示,D 为△ABC 的边AB 的延长线
上一点,过点D 作DF⊥AC,垂足为F,交BC 于点
E,且BD=BE.求证:△ABC 是等腰三角形. 1.(北 京 中 考 题)在 等 腰 直 角 △ABC 中,
∠ACB=90°.P 是线段BC 上一动点(与点B,C 不
重合),连结AP,延长BC 至点Q,使得CQ=CP,
过点Q 作QH⊥AP 于点H,延长交AB 于点M.
(1)若∠PAC=α,求∠AMQ 的大小(用含α的
式子表示);
(2)用等式表示线段 MB 与PQ 之间的数量关
系,并证明.
12.如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=
AC,CD∥BA,点P 是BC 上一点,连结AP,过点
P 作PE⊥AP 交CD 于E,探究PE 与PA 的数量
关系. 2.(温州中考题)如图,在等边三角形ABC 中,
点D,E 分别在边BC,AC 上,且DE∥AB,过点E
作EF⊥DE,交BC 的延长线于点F.
(1)求∠F 的度数;
(2)若CD=2,求DF 的长.
5 8 ì∠AED=∠CEG ∴∠BAD=30°
,∴ ∠BAC= ∠BAD + ∠DAC
在△ADE 与△CGE 中,í∠D=∠EGC , =90°,
AE=CE ∴△ABC 为直角三角形,在直角△AEC 和
∴△ADE≌△CGE(AAS),∴DE=GE,即 AC=DC
直角△DEC 中, ,∴△AEC≌△DEC
DG=2DE,∵AD ∥CG,CH 平 分 AB,∴DG {EC=EC
=BG. (HL).
∵△AFC≌△CGB,∴CF=BG,∴CF= 11.证明:∵BD=BE,∴∠D=∠BED.
DG,∴CF=2DE. ∵∠BED=∠CEF,
【新题看台】 ∴∠D=∠CEF.
1.C 2.63°或27° 3.15° 4.15 ∵DF⊥AC,
13.3.2 等腰三角形的判定 ∴∠A+∠D=90°,∠CEF+∠C=90°,
【 ,课堂作业】 ∴∠A=∠C
,
1.B 2.C 3.A 4.A 5.3 6.70°或55° ∴AB=BC
7.证明:∵AD,BE 是△ABC 的高线, ∴△ABC
是等腰三角形.
∴AD⊥BC,BE⊥AC, 12.PE=PA
,理由如下:
证明:过点 作 ,垂足为 ,过点
∴∠ADB=∠ADC=90°,∠AEB=90°. P PM⊥AC M P
作 ,垂足为 , 中,
∵∠ABC=45°, PN⊥CD N ∵△ABC ∠BAC=
, ,
∴△ADB 是等腰直角三角形, 90°AB=AC ∴∠B=∠ACB=45°.
∴AD=BD. ∵CD ∥ BA
,∴ ∠B = ∠BCN = 45°,
,
∵∠EBC+∠BFD=90°,∠CAD+∠AFE ∴∠ACB=∠BCN =45° ∵PM ⊥AC
,PN ⊥
=90°,∠AFE=∠BFD, CD
,∴PM =PN.∵ ∠PMC= ∠PNC=90°,
, 与 都
∴∠CAD=∠EBC=∠FBD. ∠ACB=∠BCN=45° ∴△PMC △PNC
, 为等腰直角三角形,在△BDF 和△ADC 中 ∴∠MPC=∠NPC=45°
,即
∠FBD=∠CAD ∠MPN =90°.∵ ∠APE =90°
,∴ ∠APE -
ì
, ∠MPE = ∠MPN - ∠MPE,即íBD=AD
∠APM
∠BDF=∠ADC=90° =∠EPN.
在 和 中,
∴△BDF≌△ADC(ASA), △APM △EPN
∴CD=DF. ì ∠AMP=∠ENP=90°
【 PM=PN
,
课后作业】 í
∠APM=∠EPN
1.D 2.D 3.B 4.C 5.C 6.是
()a () ∴△APM≌△EPN
(ASA),∴PA=PE.
7.200 8.1 21 9.8
【
: 新题看台
】
10.证明 连结AD.
, , 1.
(1)∵△ACB 是等腰直角三角形,
∵将△ABC 折叠 点B 和点C 重合 折痕为
∴∠CAB=45°,∴∠PAB=45°-α.
1
DE,∴BD=CD= BC,2 ∠EDC=90°.∵AC= ∵QH⊥PA,∴∠AMQ=90°-∠PAB=45°
1,BC =2,∠ACB =60°,∴AC =CD =1, +α.
∴△ADC是等边三角形,∴AD=BD=1,∠DAC (2)线段 MB 与PQ 之间的数量关系为PQ=
=60°. 2MB.
∴ ∠B = ∠BAD,∠B + ∠BAD =60°, 证明:连结 AQ,过点 M 作 MN⊥BQ 于点
— 12 —
N,如图. 5.
【课后作业】
1.B 2.D 3.C 4.C 5.(2)a (3)c
则△MNB 为等腰直角三角形,MB= 2MN. (4)AB 6.(1)O 任意长 (2)O' OC (3)C'
∵AC⊥BQ,CQ=CP,∴AP=AQ,∠QAC CD (4)D' 7.4
=∠PAC. 8.解:如图所示.
∴∠QAM=∠BAC+∠QAC=45°+∠QAC 证 明: 在 △DAC 和
=45°+∠PAC=∠AMQ, △BCA 中,
∴QA=QM. ∵ AD = CB,∠EAC =
∵ ∠MQN + ∠APQ = ∠PAC + ∠APQ ∠BCA,AC=CA,
=90°, ∴△DAC≌△BCA(SAS),
∴∠MQN=∠PAC,∴∠MQN=∠QAC, ∴∠DCA=∠BAC,
∴Rt△QAC≌Rt△MQN, ∴CD∥AB.
, 【新题看台】∴QC=MN ∴PQ=2QC=2MN= 2MB.
2.解:(1)∵△ABC 是等边三角形, 1.B
2.如图所示:△ABC 即为所求∴∠B=60°. .
∵DE∥AB,
∴∠EDC=∠B=60°.
∵EF⊥DE,
∴∠DEF=90°, 13.4.3 作已知角的平分线
∴∠F=90°-∠EDC=30°. 【课堂作业】
(2)∵∠ACB=60°,∠EDC=60°, 1.B 2.C
∴△EDC 是等边三角形, 3.①以O 为圆心,适当长为半径画弧,交OA
∴ED=DC=2. 于M,交OB 于N.
∵∠DEF=90°,∠F=30°, 1
分别以 , 为圆心,大于 的长为
∴DF=2DE=4. ② M N 2MN
半径画弧,两弧在∠AOB 的内部交于点C.
13.4 尺规作图
③画射线OC,射线OC 即为所求.
13.4.1 作一条线段等于已知线段 4.先把∠AOB 分成两个等角,再在∠AOB 外
13.4.2 作一个角等于已知角 1部作∠BOC=2∠AOB,∠AOC 就是所求作的角.
【课堂作业】
1.A 2.D 3.①作射线AP ②在射线AP
上,以A 为圆心,以a的长为半径截取AB=a
4.
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