数学 八年级上册
13.4.5 作已知线段的垂直平分线
3.如图,已知△ABC(AC上确定一点P,使PA+PC=BC.(不写作法,保留
作已知线段的垂直平分线的依据是线段垂直 作图痕迹)
平分线上的点到线段两端点的距离相等.根据作垂
线的方法找到两个到线段的两端点距离相等的两
点,那么过这两点就可以画出线段的垂直平分线.作
线段的二等分、四等分、八等分、……其实质上是反
复作线段的垂直平分线,垂直平分线与线段的交点
即可把线段等分.
1.怎样作出已知线段的垂直平分线 简述其 4.如图所示,△ABC 是一块直角三角形余料,
作图步骤. ∠C=90°,工人师傅把它加工成一个正方形零件,
使C 为正方形的一个顶点,其余三个顶点分别在
AB,BC,AC 边上,请你协助工人师傅用尺规画出
裁割线(写出画法,保留作图痕迹).
2.作已知线段的垂直平分线的理论依据是
什么
1.图中的尺规作图是作 ( )
1.下列作图语言中,正确的是 ( )
A.过点P 作直线AB 的垂直平分线
B.延长射线OA 到B 点
C.延长线段AB 到C,使BC=AB
D.过∠AOB 内一点P,作∠AOB 的平分线
A.线段的垂直平分线 2.如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,以
B.一条线段等于已知线段 A 为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC 于点
C.一个角等于已知角 1M 和N,再分别以 M,N 为圆心,大于 MN 的长
D.角的平分线 2
2.如图,在△ABC 中,按以下步骤作图:
为半径画弧,两弧交于点P,连结AP 并延长交BC
于点D.则下列说法中正确的个数是 ( )
1
①分别以B,C 为圆心,以大于 BC 的长为半2 ①AD 是∠BAC 的平分线;②∠ADC=60°;③
径作弧,两弧相交于M,N 两点; 点D 在AB 的垂直平分线上;④AB=2AC.
②作直线MN 交AB 于点D,连结CD,若CD A.1 B.2
=AC,∠B=25°,则∠ACB 的度数为 . C.3 D.4
6 5
课时培优作业
3.如图,使用尺规作图,看图填空: 5.如 图,在△ABC 中,作∠ABC 的 平 分 线
BD,交AC 于点D,作线段BD 的垂直平分线EF,
分别交AB 于点E,交BC 于点F,垂足为O,连结
DF.在所作的图中,寻找一对全等三角形,并加以证
明.(不写作法,保留作图痕迹)
(1)在射线 AM 上 线段 =
;
(2)以点 为圆心,以线段 为
半径作弧交 于点 ;
(3)分别以点 和点 为圆心,
1
以大于 PQ 的长为半径作弧,两弧分别交于点2
和点 ;
(4)以点 为圆心,以任意长为半径作弧,
分别交∠AOB 两边 , 于点 ,
点 .
(贵港中考题)如图,在 中,
4.如图,BD 是矩形ABCD 的一条对角线. 1. △ABC AB=BC
,
点D 在AB 的延长线上.
(1)作BD 的垂直平分线EF,分别交AD,BC
(1)利用尺规按下列要求作图,并在图中标明
于点E,F,垂足为点O(要求用尺规作图,保留作图
相应的字母(保留作图痕迹,不写作法)
, .痕迹 不要求写作法);
作 的平分线 ;
( ① ∠CBD BM2)求证:DE=BF.
②作边BC 上的中线AE,并延长 AE 交BM
于点F.
(2)由(1)得:BF 与AC 的位置关系是
.
2.(珠海中考题)如图,在Rt△ABC 中,∠ACB
=90°.
(1)用尺规在边BC 上求作一点P,使 PA=
PB;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)连结AP,当∠B 为 度时,AP 平
分∠CAB.
6 6(3)根据作图,∠A=∠A',AC=A'C', ∴△DEC≌△DFB(ASA).
在△ACD 和△A'C'D'中, 13.4.5 作已知线段的垂直平分线
ì∠A=∠A' 【课堂作业】
íAC=A'C' ,
1.A 2.105°
∠ACD=∠A'C'D' 3.
∴△ACD≌△A'C'D'(ASA),
∴CD=C'D'.
7.过李庄作l的垂线的垂足处,图略.
8.已知:线段a和∠α,如下图(1). 4.画法:第一步:画出∠C 的平分线交AB 于
求作:Rt△ABC,使 BC=a,∠C=90°,∠A E;第二步:作CE 的垂直平分线,分别交AC,BC
=∠α. 于点F,D;第三步:连结EF,ED.
作法:(1)作∠α的余角∠β. 【课后作业】
(2)作∠MBN=∠β. 1.C 2.D 3.(1)截取 AB a (2)A r
(3)在射线BM 上截取BC=a. FB C (3)P Q M N (4)O OA
(4)过点C 作CA⊥BM,交BN 于点A,如图 OB C D
(2). 4.(1)如图:
△ABC 就是所求的直角三角形.
(2)证明:∵四边形ABCD 为矩形,
∴AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD.
【新题看台】
∵EF 垂直平分线段BD,
(1)作图如下:①如图1;
∴BO=DO.
②如图2:
在△DEO 和△BFO 中,
ì ∠ADB=∠CBD
íBO=DO ,
∠DOE=∠BOF
∴△DEO≌△BFO(ASA),
(2)△DEC≌△DFB ∴DE=BF.
证明:∵BH∥AC, 5.解:画角平分线与线段的垂直平分线,如图
∴∠DCE=∠DBF, 所示.
又∵D 是BC 中点,
∴DC=DB.
在△DEC 与△DFB 中,
ì∠DCE=∠DBF
∵ íDC=DB , 答案不唯一,如△BOE≌△BOF.
∠EDC=∠FDB 证明:∵BD 为∠ABC 的平分线,
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∴∠ABO=∠CBO. (2)如果两条直线平行,那么这两条直线垂直
∵EF⊥BD,∴∠BOE=∠BOF=90°. 于同一条直线(在同一平面内),真命题;
∵BO=BO, (3)内错角相等,假命题,举反例略;
∴△BOE≌△BOF(ASA). (4)等边三角形有一个角是60°,真命题.
【新题看台】 8.(1)假命题.
1.(1) 反例:a=2,b=-3,有a>b,但a2(2)逆命题:若a2>b2,则a>b.
此命题为假命题.
反例:a=-2,b=-1,有a2>b2,但a9.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是
(2)BF∥AC “有两个角相等的三角形是等 腰 三 角 形”.是 真
2.(1) 命题.
已知:△ABC 中,∠B=∠C.
求证:△ABC 是等腰三角形.
(2)30
13.5 逆命题与逆定理
13.5.1 互逆命题与互逆定理 证明:过点A 作AH⊥BC 于点H,则∠AHB
【课堂作业】 =∠AHC=90°.
1.D 2.C 3.A 4.两直线平行 同位角 在△ABH 和△ACH 中,
相等 同位角相等,两直线平行 是 ì∠B=∠C
5.(1)
逆命题:在一个三角形中,等边对等角. ∵ í∠AHB=∠AHC,∴△ABH ≌△ACH
真命题. AH=AH
(2)逆命题:内角和等于360°的多边形是四边 (AAS),∴AB=AC,∴△ABC 是等腰三角形.
形.真命题. 10.(1)证 明:∵ △ABC 是 等 边 三 角 形,
(3)逆命题:两个底角相等的三角形是等腰三 ∴∠A=∠B=∠C=60°,AC=AB=BC,∵AD
角形.真命题. =BE=CF,∴AC-CF=BC-BE=AB-AD,
6.(1)逆命题为:有理数必为自然数.原命题 ∴CE=AF=BD,∴在△ADF,△BED,△CFE
为真命题,逆命题为假命题. ì AD=BE=CF
(2)逆命题为:若a=b,则|a|=|b|.原命题为 中,í∠A=∠B=∠C,
, 假命题 逆命题为真命题. CE=AF=BD
(3)逆命题为:如果∠α+∠β=180°,那么∠α ∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS),∴DF
与∠β是邻补角.原命题 为 真 命 题,逆 命 题 为 假 =ED=FE,∴△DEF 是等边三角形.
命题. (2)解:(1)的逆命题成立,已知:△DEF 是等
【课后作业】 边三角形,求证:AD=BE=CF.证明:∵△DEF
1.C 2.A 3.B 4.B 5.B 是等边三角形,∴∠EDF=∠EFD=∠DEF=
6.如果3a=3b,那么a=b 60°,DF=EF=DE,∵△ABC 是等边三 角 形,
7.(1)同旁内角互补,两直线平行,真命题; ∴∠A=∠B=∠C=60°,∴∠ADF+∠AFD=
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