∴∠MAD+∠ADM=90°, ∴△AEC 的面积=△CDF 的面积,
∴∠AMD=90°,即AM⊥DM. 而△BCE 的面积=△ABC 的面积-△AEC
(2)如图,作 MN⊥AD 的面积,
于点N. △ACF 的面积=△ACD 的面积-△CDF 的
∵∠B=90°,AB∥CD, 面积,
∴BM⊥AB,MC⊥CD. ∴△BCE 的面积=△ACF 的面积.
∵AM 平分∠BAD,DM 平分∠ADC, ∵四边形AECF 的面积=△AEC 的面积+
∴BM=MN,MN=CM, △ACF 的面积,
∴BM=CM,即 M 为BC 的中点. ∴四边形AECF 的面积=△AEC 的面积+
10.证明:在Rt△PFD 和Rt△PGE 中,
△BCE 的面积,
{PF=PG, ∴四边形AECF 的面积=△ABC 的面积.DF=EG
又∵四边形ABCD 的面积=△ABC 的面积
∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),
+△ACD 的面积,
∴PD=PE.
四边形 的面积 的面积,
∵P 是OC 上一点,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴ ABCD =2△ABC
∴四边形AECF 的面积为四边形 的∴OC 是∠AOB 的平分线. ABCD
11.证明:作 MN⊥OA 于 N,MH ⊥OB 于 面积的一半.
H,∵OP 平 分∠AOB,MN ⊥OA,MH ⊥OB, 【新题看台】
1 1.A 2.B
∴MN=MH,∴S△FEM = ·2 EF
·MN,S△CDM
1 第14章 勾股定理
= CD·2 MH.
又∵EF=CD,∴S△FEM=S△CDM . 14.1 勾股定理
14.1.1 直角三角形三边的关系(1)
【课堂作业】
1.A 2.C 3.D 4.(1)25 (2)12
5.(2)2017
6.解:∵∠ACB=90°,AC=12cm,BC=16cm,
12.解:四 边 形 AECF 的 面 积 为 四 边 形 ∴AB=20cm.
ABCD 的面积的一半. 根据 直 角 三 角 形 的 面 积 公 式,得 CD =
理由:如 图 过 点 C 分 别 AC·BC
作CG⊥AB 于 点 G,CH ⊥ AB =9.6cm.
AD 于点H. 在Rt△ACD 中,
∵AC 为 ∠BAD 的 平 AD= AC2-CD2=7.2cm.
分线,
1 1
∴CG=CH. 7.梯形的面积= (2 a+b
)(a+b)=2ab+
又∵AB=AD, 1 1
ab+ c2,所以 22 2 a +2ab+b
2=ab+ab+c2,
∴△ABC 的面积=△ACD 的面积.
又∵AE=DF, 即a2+b2=c2.
— 18 —
【课后作业】 【新题看台】
9
1.C 2.C 3.D 4.34cm 5.2 6.4
2
1.3 2.5
或 7
7.解:过D 作DE⊥AB,垂足为E, 14.1.1 直角三角形三边的关系(2)
∵∠1=∠2, 【课堂作业】
∴DE=CD=15, 1.D 2.D 3.C 4.A 5.25 6.24m
在Rt△BDE 中,
8
7. 13
BE= BD2-DE2= 252-152=20, 13
∵CD=DE,AD=AD, 8.解:由题意可得:AB=2.5m,AO=0.7m,
∴Rt△ACD≌Rt△AED, 故BO= 2.52-0.72=2.4(m),∵梯子顶端沿墙
∴AC=AE, 下滑0.4m,∴DO=2m,CD=2.5m,∴CO=
又∵AB2=AC2+BC2,即(AC+20)2=AC2 1.5m,∴AC=CO-AO=1.5-0.7=0.8(m).
+(15+25)2,解得AC=30. 答:梯子底端将向左滑动0.8m.
8.证明:连结 BD,过点 B 作DE 边上的高 【课后作业】
BF,则BF=b-a, 1.A 2.A 3.B 4.D 5.5 6.3 5
∵S五边形ACBED =S△ACB +S△ABE +S△ADE = 7.10
1 1 1
ab+ b2+ ab, 8.解:(1)AC 与BD 的位置关系是2 2 2 AC⊥BD.
证明:
又∵S =S +S +S = ∵△DCE
是由△ABC 平移而得到的,
五边形ACBED △ACB △ABD △BDE
∴△DCE 是等边三角形,且BC=CD,1 1 1
ab+ c2+ a(b-a),2 2 2 ∴∠DBC=∠BDC=30°,
1 1 2 1 1 1 2 ∴∠BDE = ∠BDC+ ∠CDE =30°+60°∴2ab+ 2b + 2ab= 2ab+ 2c + =90°,
1
a(b-a), 即BD⊥DE.2
又
2 2 2 ∵∠E=∠ACB=60°,∴a +b =c .
: , ∴AC∥DE
,∴AC⊥BD.
9.解 如图 延长AE
(2)∵由(1)知,, AC∥DE
,AC⊥BD,
交BC 于F ∵AB⊥BC,
是直角三角形,
AB⊥AD,∴AD ∥BC,
∴△BED
∵BE=2BC=4,DE=2,
∴∠D= ∠C,∠DAE=
∠CFE,又∵点 E 是CD ∴BD= BE
2-DE2= 12=23.
的中点,∴DE=CE,∵在△AED 与△FEC 中, 【新题看台】
∠D=∠C 1.B 2.8 ì
í∠DAE=∠CFE,∴△AED≌△FEC,∴AE= 14.1.2 直角三角形的判定
DE=CE 【课堂作业】
FE,AD=FC 1.直角 ∠B 2.90° 3.直 角 ∠A
∵AD=5,BC=10, 4.2.4 5.A 6.C 7.D 8.(1)15 (2)114
∴ BF = 5,在 Rt △ABF 中,AF = 9.解:(1)∵(m-1)2+(2 m)2=m2-2m
AB2+BF2= 122+52=13,∴AE=6.5. +1+4m=m2+2m+1=(m+1)2,
— 19 —
课时培优作业
第14章 勾股定理
14.1 勾股定理
14.1.1 直角三角形三边的关系(1)
(2)拼图法验证勾股定理要遵循哪些步骤
(1)勾股定理反映了直角三角形中三条边之间
的关系.已知直角三角形任意两边的长度,由勾股定
理可以求出第三边的长度.(2)拼图法是验证勾股定
理的有效方法,一般应遵循以下步骤:拼出图形→
写出图形的面积的表达式→找出等量关系→恒等 1.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成
变形→推导出勾股定理. 的网格中,点A,B 都是格点,则线段AB 的长度为
( )
1.阅读课本本节的内容,完成以下问题:
(1)图14.1.1与图14.1.2两个小正方形P,Q
的面积与大正方形R 的面积存在着怎样的关系
A.5 B.6
C.7 D.25
(2)正方形P 的面积可以用Rt△ABC 哪一条 2.如图,△ABC 中,AB=AC,AD 是∠BAC
边的平方表示 正方形Q 的面积可用Rt△ABC 中 的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC 的长为
的哪一条边的平方表示 正方形R 的面积可用Rt ( )
△ABC 中的哪一条边的平方表示
A.5 B.6
C.8 D.10
() 3.
如图所示,AB⊥CD 于B,△ABD 和△BEC
3 你对 Rt△ABC 三边的数量关系有什么
都是等腰直角三角形,如果
AC=13
,BE=5,那么
发现
CD 的长为 ( )
2.阅读课本本节的内容,完成以下问题:
(1)勾股定理的内容是什么 勾股定理揭示了 A.12 B.13
什么的关系 C.15 D.17
4.在△ABC 中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C 所
对的边分别为a,b,c.
(1)若a=7,b=24,则c= ;
(2)若a=9,c=15,则b= .
7 4
数学 八年级上册
5.如图,已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三
角形,以Rt△ABC 的斜边AC 为直角边,画第二个
等腰直角三角形ACD,再以直角三角形ACD 的斜
边AD 为 直 角 边,画 第 三 个 等 腰 直 角 三 角 形 A.23 B.10
ADE……依此类推,则第2017个等腰直角三角形 C.22 D.6
的斜边长是 . 3.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是
( )
6.如图,△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于
点D,AC=12cm,BC=16cm,求AD,CD 的长.
4.已知一个长方形的长为12cm,对角线的长
为13cm,则该长方形的周长为 .
5.已知:如图,以Rt△ABC 的三边为斜边分别
7.在一张纸上画两个全等的直角三角形,并把 向外作等腰直角三角形.若斜边AB=3,则图中阴
它们拼成如图形状,请用两种方法表示这个梯形的 影部分的面积为 .
面积.利用你的表示方法,你能得到勾股定理吗
6.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创
制了一幅“弦图”(图1),后人称其为“赵爽弦图”,由
弦图变化得到图2,它是用8个全等的直角三角形
拼接而成,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正
方形MNKT 的面积分别为S1,S2,S3.若S1+S2+
S3=12,则S2 的值为 .
1.如图,已知网格图中每个小正方形的边长为
1,则△ABC 的三边a,b,c的大小关系是 ( )
A.a
7.已 知:如 图,△ABC 中,∠C=90°,∠1=
C.c∠2,CD=15,BD=25,求AC 的长.
2.(十 堰 中 考 题)如图,在四边形 ABCD 中,
AD∥BC,DE⊥BC,垂足为点E,连结AC 交DE
于点F,点G 为AF 的中点,∠ACD=2∠ACB.若
DG=3,EC=1,则DE 的长为 ( )
7 5
课时培优作业
8.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧 9.如图,已知AB=12,AB⊥BC 于点B,AB⊥
妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他 AD 于点A,AD=5,BC=10.E 是CD 的中点,求
惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图1或图 AE 的长.
2摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利
用图1证明勾股定理的过程:
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其
中∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2.
证明:连结DB,过点D 作BC 边上的高DF,则
DF=EC=b-a.
1 1
∵S 2四边形ADCB=S△ACD+S△ABC= b + ab,2 2
1 1
又∵S 2四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=2c +2a
(b
1.(甘孜州中考题)如图,我国古代数学家得出
-a),
的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个
1 1 1 1
∴ b2+ ab= c2+ a(b-a), 小正方形密铺构成的大正方形,2 2 2 2 若小正方形与大正
∴a2+b2=c2. 方形的面积之比为1∶13,则直角三角形较短的直
请参照上述证法,利用图2完成下面的证明. 角边a 与较长的直角边b的比值为 .
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其
中∠DAB=90°.
求证:a2+b2=c2.
2.(凉山州中考题)已知直角三角形的两边的
长分别是3和4,则第三边长为 .
7 6