【课后作业】 【新题看台】
9
1.C 2.C 3.D 4.34cm 5.2 6.4
2
1.3 2.5
或 7
7.解:过D 作DE⊥AB,垂足为E, 14.1.1 直角三角形三边的关系(2)
∵∠1=∠2, 【课堂作业】
∴DE=CD=15, 1.D 2.D 3.C 4.A 5.25 6.24m
在Rt△BDE 中,
8
7. 13
BE= BD2-DE2= 252-152=20, 13
∵CD=DE,AD=AD, 8.解:由题意可得:AB=2.5m,AO=0.7m,
∴Rt△ACD≌Rt△AED, 故BO= 2.52-0.72=2.4(m),∵梯子顶端沿墙
∴AC=AE, 下滑0.4m,∴DO=2m,CD=2.5m,∴CO=
又∵AB2=AC2+BC2,即(AC+20)2=AC2 1.5m,∴AC=CO-AO=1.5-0.7=0.8(m).
+(15+25)2,解得AC=30. 答:梯子底端将向左滑动0.8m.
8.证明:连结 BD,过点 B 作DE 边上的高 【课后作业】
BF,则BF=b-a, 1.A 2.A 3.B 4.D 5.5 6.3 5
∵S五边形ACBED =S△ACB +S△ABE +S△ADE = 7.10
1 1 1
ab+ b2+ ab, 8.解:(1)AC 与BD 的位置关系是2 2 2 AC⊥BD.
证明:
又∵S =S +S +S = ∵△DCE
是由△ABC 平移而得到的,
五边形ACBED △ACB △ABD △BDE
∴△DCE 是等边三角形,且BC=CD,1 1 1
ab+ c2+ a(b-a),2 2 2 ∴∠DBC=∠BDC=30°,
1 1 2 1 1 1 2 ∴∠BDE = ∠BDC+ ∠CDE =30°+60°∴2ab+ 2b + 2ab= 2ab+ 2c + =90°,
1
a(b-a), 即BD⊥DE.2
又
2 2 2 ∵∠E=∠ACB=60°,∴a +b =c .
: , ∴AC∥DE
,∴AC⊥BD.
9.解 如图 延长AE
(2)∵由(1)知,, AC∥DE
,AC⊥BD,
交BC 于F ∵AB⊥BC,
是直角三角形,
AB⊥AD,∴AD ∥BC,
∴△BED
∵BE=2BC=4,DE=2,
∴∠D= ∠C,∠DAE=
∠CFE,又∵点 E 是CD ∴BD= BE
2-DE2= 12=23.
的中点,∴DE=CE,∵在△AED 与△FEC 中, 【新题看台】
∠D=∠C 1.B 2.8 ì
í∠DAE=∠CFE,∴△AED≌△FEC,∴AE= 14.1.2 直角三角形的判定
DE=CE 【课堂作业】
FE,AD=FC 1.直角 ∠B 2.90° 3.直 角 ∠A
∵AD=5,BC=10, 4.2.4 5.A 6.C 7.D 8.(1)15 (2)114
∴ BF = 5,在 Rt △ABF 中,AF = 9.解:(1)∵(m-1)2+(2 m)2=m2-2m
AB2+BF2= 122+52=13,∴AE=6.5. +1+4m=m2+2m+1=(m+1)2,
— 19 —
∴a2+b2=c2, 14.1.3 反证法
∴这个三角形一定是直角三角形; 【课堂作业】
(2)取m=100,那么a=99,b=20,c=101. 1.C 2.A 3.C 4.D 5.三角形三个内角
【课后作业】 的和等于180°
1.C 2.D 3.B 4.C 5.A 6.D 7.D 6.证明:设a是有理数,b是无理数,
8.直角三角形 9.13 直角 10.直角三角形 假设a+b=m 是有理数,这样a,b,m 都是
11.1或2 有理数,
12.(1)在△BDC 中,∠C=90°,BC=3cm, b=m-a,m-a是有理数,则b是有理数,这
CD=4cm,根据勾股定理得,BD2=BC2+CD2, 与已知矛盾,
即BD= BC2+CD2=5cm. 故a+b是无理数,原命题正确.
(2)当∠ABD=90°时,AD2=BD2+AB2,其 7.证明:假设等腰三角形的底角不是锐角,则
中AB=12cm,BD=5cm,则AD= 122+52cm 大于或等于90°.
=13cm. 根据等腰三角形的两个底角相等,则两个底
13.解:连结AC.在Rt△ABC 中,AC2=AB2 角的和大于或等于180°.
+BC2=2,∵AC2+CD2=AD2∴△CDA 也为直 则该三角形的三个内角的和一定大于180°,
, 1 这与三角形的内角和定理相矛盾
,故假设不成立.
角三角形 ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=2AB 所以等腰三角形的底角是锐角.
1 1
×BC+ AC×CD= + 2.故四边形 ABCD 【课后作业】2 2
1.D 2.C 3.C 4.D 5.D 6.m 不是偶
1
的面积是
2+ 2. 数(m 为奇数)
14.解:∵E 为AB 的 中 点,AB=4,∴BE 7.一个三角形中至少有两个钝角
=2, 8.三角形的外角小于或等于和它不相邻的任
∴CE2=BE2+BC2=22+42=20. 何一个内角
同理可求得EF2=AE2+AF2=22+12=5, 9.证明:假设∠A,∠B,∠C 中有两个角是钝
CF2=DF2+CD2=32+42=25, 角,不妨设∠A,∠B 为钝角,
∵CE2+EF2=CF2. ∴∠A+∠B>180°,这与三角形内角和定理
∴△EFC 是以∠CEF 为直角的直角三角形. 相矛盾,故假设不成立,原命题正确.
15.(1)锐角 钝角 10.证明:假设a与b相交,
(2)∵c为最长边,2+4=6,∴4≤c<6,
a2+b2=22+42=20,
①a2+b2>c2,即c2<20,0
则过 M 点有两条直线平行于直线c,
≤c<25时,这个三角形是锐角三角形;
这与过直线外一点平行于已知直线的直线有
②a2+b2=c2,即c2=20,c=25,∴当c= 且只有一条相矛盾,
25时,这个三角形是直角三角形; 所以a∥b.
③a2+b220,c>25,∴当25 11.已知:在△ABC 中,∠B>∠C,求证:AC
AB.
【新题看台】 证明:假设 AC=AB 或AC1.B 2.C AB,则∠B=∠C,与已知矛盾,故AC=AB 是错
— 20 —
数学 八年级上册
14.1.2 直角三角形的判定
1.不是所有的c都是斜边,要根据题意具体分 1.在△ABC 中,a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C
析.若三角形的三边a,b,c满足a2-b2=c2,似乎与 所对的边长.若a2=b2-c2,则△ABC 是
勾股定理的逆定理不一样,但可变形为b2+c2= 三角形, 是直角.
a2,仍可得该三角形是直角三角形. 2.△ABC 的三边为a=1.2cm,b=1.6cm,c=
2.勾股定理是已知直角,得三边关系,它是直 2cm,则∠C= .
2
角三角形的重要性质之一;而逆定理是已知三角形 3.已知△ABC 的三边分别为AB=m -1,AC
的三边关系,得直角,它是直角三角形的判定方法 =2m,BC=m2+1,则△ABC 是 三角形,
之一,也是用来证明两条线段互相垂直的方法之一. 其中 =90°.
3.常见的勾股数:(1)3,4,5;(2)6,8,10;(3)5, 4.在△ABC 中,三边a,b,c 满足:a
2+b2=
2 2
12,13;(4)7,24,25;(5)9,40,41.每组勾股数扩大相 25,a -b =7,c=5,则最大边上的高是 .
同的倍数得到的数也是勾股数. 5.如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边
长为1,则△ABC 的形状为 ( )
1.直角三角形有什么性质 一个三角形满足
什么条件,才能是直角三角形
A.直角三角形 B.锐角三角形2.一个三角形各边长数量应满足怎样的关系
, C.钝角三角形 D.以上答案都不对式时 这个三角形才可能是直角三角形
6.△ABC 的三边长分别为a,b,c,下列条件:
①∠A=∠B-∠C;②∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶
, 5
;③a2=(b+c)(b-c);④a∶b∶c=5∶12∶13,
3.结合三角形三边长度的平方关系 你能猜一
其中能判断△ABC 是直角三角形的个数有 ( )
猜三角形的三边长度与三角形的形状有怎样的关
A.1个 B.2
个
系吗
C.3个 D.4个
7.下列各组数中,是勾股数的一组是 ( )
A.4,5,6 B.5,7,12
C.12,13,15 D.21,28,35
4.勾股定理的逆定理的内容是什么 应用勾
8.如图,已知在四边形 ABCD 中,AC⊥BC,
股定理的逆定理时要注意什么问题
AB=17,BC=8,CD=12,DA=9.
(1)求AC 的长;
(2)求四边形ABCD 的面积.
5.如果一个三角形中较短两条边的平方和不
等于最长边的平方,则这个三角形可能是直角三角
形吗 可能是什么三角形
6.什么样的数称为勾股数
7 9
课时培优作业
9.已知三角形的三边分别为a,b,c,且a=m 6.有下列四个三角形:
-1,b=2 m,c=m+1(m>1). ①△ABC 的三边之比为9∶40∶41;
(1)这个三角形一定是直角三角形吗 为什么 ②△ABC 的三边之比为11∶60∶61;
(2)试给出一组直角三角形的三边的长,使它 ③△ABC 的三角之比为1∶2∶3;
的最小边不小于20,另两边的差为2,三边均为正 ④△ABC 的三角之比为3∶4∶5.
整数. 其中是直角三角形的是 ( )
A.①②
B.①③
C.②③④
D.①②③
7.如图,正方形组成的网格中标出了AB,CD,
EF,GH 四条线段,其中能构成一个直角三角形三
边的线段是 ( )
1.将一个直角三角形的各边都扩大或缩小相
同的倍数后,得到的三角形 ( )
A.可能是锐角三角形
B.不可能是直角三角形
A.CD,EF,GH
C.仍然是直角三角形 B.AB,CD,EF
D.可能是钝角三角形 C.AB,CD,GH
2.在下列说法中错误的是 ( ) D.AB,EF,GH
A.在△ABC 中,∠C=∠A-∠B,则△ABC 8.如图,△ABC,S1,S2,S3 分别是以AB,AC,
为直角三角形 BC 为 直 径 的 半 圆 的 面 积,若 S1+S2=S3,则
B.在△ABC 中,若∠A∶∠B∶∠C=5∶2∶ △ABC 是 .
3,则△ABC 为直角三角形
3 4
C.在△ABC 中,若a=5c
,b= c,则5 △ABC
为直角三角形
D.在△ABC 中,若a∶b∶c=2∶2∶4,则
△ABC 为直角三角形 9.△ABC 的两边长分别为5,12,另一边长c
3.如果三角形的三边5,m,n 满足(m+n)(m 为奇数,a+b+c是3的倍数,则c应为 ,
-n)=25,那么这个三角形是 ( ) 此三角形为 三角形.
A.锐角三角形 B.直角三角形 10.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c,且a,
C.钝角三角形 D.无法确定 b,c满足:a-3+|b-4|+c2-10c+25=0,请你
4.有六个三角形,它们的边长分别为:①6,7, 判断△ABC 的形状是 .
8;②8,15,17;③ 2,3,5;④7,24,25;⑤12,35, 11.已知:如图,△ABC 是边长3cm的等边三
37;⑥2,3,13.其中直角三角形有 ( ) 角形,动点 P,Q 同时从A,B 两点出发,分别沿
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 AB,BC 方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当
5.如果△ABC 的三边分别为m2-1,2m,m2+ 点P 到达点B 时,P,Q 两点停止,当t= s
1(m>1),那么 ( ) 时,△PBQ 是直角三角形.
A.△ABC 是直角三角形,且斜边长为m2+1
B.△ABC 是直角三角形,且斜边长为2m
C.△ABC 是直角三角形,但斜边长需由m 的
大小确定
D.△ABC 不是直角三角形
8 0
数学 八年级上册
12.如图,在四边形ABCD 中,AB=12cm,BC 15.在△ABC 中,BC=a,AC=b,AB=c,设c
=3cm,CD=4cm,∠C=90°. 为最长边.当a2+b2=c2 时,△ABC 是直角三角
(1)求BD 的长; 形;当a2+b2≠c2 时,利用代数式a2+b2 和c2 的
(2)当AD 为多少时,∠ABD=90° 大小关系,可以判断△ABC 的形状(按角分类).
(1)请你通过画图探究并判断:当△ABC 三边长
分别为6,8,9时,△ABC 为 三角形;当
△ABC 三边长分别为6,8,11时,△ABC 为
三角形.
(2)小明同学根据上述探究,有下面的猜想:
“当a2+b2>c2 时,△ABC 为锐角三角形;当a2+
b2猜想完成下面的问题:
当a=2,b=4时,最长边c在什么范围内取值
时,△ABC 是 直 角 三 角 形、锐 角 三 角 形、钝 角 三
13.如图,在四边形ABCD 中,AB=1,BC=1, 角形
CD=2,DA= 6,且∠ABC=90°,求四边形ABCD
的面积.
14.如图,已知正方形ABCD 的边长为4,E 为
1
AB 的中点,F 为AD 上的一点,且AF=4AD
,试
判断△EFC 的形状. 1.(滨州中考题)下列四组线段中,可以构成直
角三角形的是 ( )
A.4,5,6 B.1.5,2,2.5
C.2,3,4 D.1,2,3
2.(绵 阳 中 考 题)在边长为正整数的△ABC
中,AB=AC,且AB 边上的中线CD 将△ABC 的
周长分为1∶2的两部分,则△ABC 面积的最小
值为 ( )
7 7
A.12 B.36 15
3 7
C.4 7 D.14 15
8 1