∴a2+b2=c2, 14.1.3 反证法
∴这个三角形一定是直角三角形; 【课堂作业】
(2)取m=100,那么a=99,b=20,c=101. 1.C 2.A 3.C 4.D 5.三角形三个内角
【课后作业】 的和等于180°
1.C 2.D 3.B 4.C 5.A 6.D 7.D 6.证明:设a是有理数,b是无理数,
8.直角三角形 9.13 直角 10.直角三角形 假设a+b=m 是有理数,这样a,b,m 都是
11.1或2 有理数,
12.(1)在△BDC 中,∠C=90°,BC=3cm, b=m-a,m-a是有理数,则b是有理数,这
CD=4cm,根据勾股定理得,BD2=BC2+CD2, 与已知矛盾,
即BD= BC2+CD2=5cm. 故a+b是无理数,原命题正确.
(2)当∠ABD=90°时,AD2=BD2+AB2,其 7.证明:假设等腰三角形的底角不是锐角,则
中AB=12cm,BD=5cm,则AD= 122+52cm 大于或等于90°.
=13cm. 根据等腰三角形的两个底角相等,则两个底
13.解:连结AC.在Rt△ABC 中,AC2=AB2 角的和大于或等于180°.
+BC2=2,∵AC2+CD2=AD2∴△CDA 也为直 则该三角形的三个内角的和一定大于180°,
, 1 这与三角形的内角和定理相矛盾
,故假设不成立.
角三角形 ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=2AB 所以等腰三角形的底角是锐角.
1 1
×BC+ AC×CD= + 2.故四边形 ABCD 【课后作业】2 2
1.D 2.C 3.C 4.D 5.D 6.m 不是偶
1
的面积是
2+ 2. 数(m 为奇数)
14.解:∵E 为AB 的 中 点,AB=4,∴BE 7.一个三角形中至少有两个钝角
=2, 8.三角形的外角小于或等于和它不相邻的任
∴CE2=BE2+BC2=22+42=20. 何一个内角
同理可求得EF2=AE2+AF2=22+12=5, 9.证明:假设∠A,∠B,∠C 中有两个角是钝
CF2=DF2+CD2=32+42=25, 角,不妨设∠A,∠B 为钝角,
∵CE2+EF2=CF2. ∴∠A+∠B>180°,这与三角形内角和定理
∴△EFC 是以∠CEF 为直角的直角三角形. 相矛盾,故假设不成立,原命题正确.
15.(1)锐角 钝角 10.证明:假设a与b相交,
(2)∵c为最长边,2+4=6,∴4≤c<6,
a2+b2=22+42=20,
①a2+b2>c2,即c2<20,0
则过 M 点有两条直线平行于直线c,
≤c<25时,这个三角形是锐角三角形;
这与过直线外一点平行于已知直线的直线有
②a2+b2=c2,即c2=20,c=25,∴当c= 且只有一条相矛盾,
25时,这个三角形是直角三角形; 所以a∥b.
③a2+b220,c>25,∴当25 11.已知:在△ABC 中,∠B>∠C,求证:AC
AB.
【新题看台】 证明:假设 AC=AB 或AC1.B 2.C AB,则∠B=∠C,与已知矛盾,故AC=AB 是错
— 20 —
的;若AC∠C 相矛 =3 13dm;所以最短路径为3 13dm.
后,故ACAB. 【新题看台】
12.证 明:① 假 设 PB=PC.∵AB=AC, 1.A 2.25 3.(32+36)
∴∠ABC= ∠ACB.∵PB =PC,∴ ∠PBC =
∠PCB.∴∠ABC-∠PBC=∠ACB-∠PCB, 14.2 勾股定理的应用(2)
∴∠ABP=∠ACP,在△ABP 和△ACP 中, 【课堂作业】
ìAB=AC 1.D 2.C 3.10
í∠ABP=∠ACP,∴△ABP≌△ACP,
4.(1)
BP=CP
∴∠APB = ∠APC.这 与 题 目 中 给 定 的
∠APB>∠APC 矛盾,∴PB=PC 是不可能的.
②假 设 PB>PC,∵AB=AC,∴ ∠ABC
=∠ACB.
∵PB>PC,∴∠PCB>∠PBC.∴∠ABC- 7 10
∠PBC>∠ACB-∠PCB,∴∠ABP>∠ACP, (2) 10
又 ∠APB > ∠APC,∴ ∠ABP + ∠APB > 【课后作业】
∠ACP+∠APC,∴180°-∠ABP-∠APB< 1.B 2.C 3.- 5 4.8 5.(1)8 (2)
180°-∠ACP-∠APC,∴∠BAP<∠CAP,结 (2)n-1 6.15.5
合AB=AC、AP=AP,得:PB7.如图(a)、图(b)、图(c).
PB>PC 矛盾,∴PB>PC 是不可能的.
综上所述,得:PB【新题看台】
A
14.2 勾股定理的应用(1)
【课堂作业】
1.24 2.5 3.A 4.C 5.A 6.C
7.解:设竿长x 米,则城门高(x-1)米,根据
题意得x2=(x-1)2+32,解得x=5.答:竿长
5米.
【课后作业】
1.C 2.C 3.D 4.C 5.25 6.能 8.解:∵AC=6,BC=8,∠C=90°,∴AB=
7.解:设AB,CD 交于点M.由题意知AC= AC2+BC2= 62+82 =10.设 DE 的长为x,
CM,BD=DM.所以 AM= 2km,BM= 4+4 由折叠知CD=DE=x,AE=AC=6,BE=4.在
Rt△BDE中,BD2-DE2=BE2,即(8-x)2-x2
= 8(cm).所以 A,B 两村之间的距离为AM+
2, , 1BM= 2+ 8=32(km). =4 x=3S△ADB=2AB
·DE=15.
8.解:(1)BG=5dm 9.解:∵△ADE 与△AFE 关 于AE 对 称,
(2)① 137dm;② 125=55dm;③ 117 ∴AD=AF,DE=FE.∵四边形 ABCD 是矩形,
— 21 —
课时培优作业
14.1.3 反证法
4.反证法证明“等腰三角形ABC 是轴对称图
形”时,应先假设 ( )
(1)反证法的基本步骤:①假设命题结论不成 A.△ABC 是轴对称图形
立,即假设结论的反面成立;②从这个假设出发,经 B.等腰三角形ABC
过推理论证,得出矛盾;③从矛盾判定假设不正确, C.△ABC 是等腰三角形
从而肯定命题的结论正确.(2)反证法的思维方法: D.等腰三角形ABC 不是轴对称图形
正难则反.(3)归缪矛盾主要指如下方面:①与已知 5.用反证法证明“在一个三角形中,不可能有
条件矛盾;②与已有公理、定理、定义矛盾;③自相 两个角是钝角”时,会推出与 矛盾.
矛盾.(4)应用反证法的情形:①直接证明困难;②需 6.用反证法证明:有理数与无理数的和一定是
分成很多类进行讨论;③结论为“至少”“至多”“有 无理数.
无穷多个”类命题;④结论为“唯一”类命题.
1.预习课本,回答下列问题:
(1)什么叫做反证法
(2)一般什么情况下用反证法证明
7.用反证法证明:等腰三角形的底角是锐角.
(3)反证法证题的步骤是什么
2.在△ABC 中,如果AB=c,BC=a,CA=b,
且∠C≠90°,怎样求证a2+b2≠c2 推理过程是怎
样的
1.以下可以用来证明命题“任何偶数都是4的
倍数”是假命题的反例为 ( )
1.命题“a的反例是
A.3 B.4
A.a≤b B.a>b
C.8 D.6
C.a≥b D.a=b
2.用反证法证明“在同一平面内,若a⊥b,a⊥ 2.用反证法证明“3是无理数”时,最恰当的证
c,则b∥c”时,第一步应假设 ( ) 法是先假设 ( )
A.b不平行c B.a 不垂直c A.3是分数 B.3是整数
C.a 不垂直b D.b∥c C.3是有理数 D.3是实数
3.已知:在△ABC 中,AB≠AC,求证:∠B≠ 3.已知△ABC 中,∠B≠∠C,求证:AB≠AC.
∠C.若用反证法来证明这个结论,可以假设 ( ) 若用反证法证这个结论,应首先假设 ( )
A.∠A=∠B B.AB=BC A.∠B=∠C B.∠A=∠B
C.∠B=∠C D.∠A=∠C C.AB=AC D.∠A=∠C
8 2
数学 八年级上册
4.用反证法证明命题:“若a,b是整数,ab能被 11.已知在同一个三角形中如果一边较大,那
3整除,那么a,b 中至少有一个能被3整除”时,假 么它所对的角也较大,简称“大边对大角”.这是一个
设应为 ( ) 真命题.请用反证法证明“大角对大边”.
A.a,b都能被3整除
B.a 不能被3整除
C.a,b不都能被3整除
D.a,b都不能被3整除
5.用反证法证明“多边形的几个不同外角中至
多有3个钝角”第一步应该 ( )
A.假设有2个钝角
B.假设有1个钝角
C.假设没有钝角
D.假设有4个或4个以上的钝角
6.用反证法证明“若m 是整数,且m2 是偶数,
则m 一定是偶数”应先假设 .
7.用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝
角”时,应假设 .
8.用反证法证明“三角形的外角大于和它不相
邻的任何一个内角”,第一步应假设
. 12.如图,在△ABC 中,AB=AC,P 是△ABC
9.用反证法证明“一个三角形中不可能有两个 内的一点,且∠APB>∠APC,求证:PB角是钝角”. 证法).
已知:△ABC.
求证:∠A,∠B,∠C 中不能有两个角是钝角.
10.(用反证法证明)已知直线a∥c,b∥c,求
证:a∥b.
(温州中考题)下列选项中,可以用来证明命题
“若a2>1,则a>1”是假命题的反例是 ( )
A.a=-2 B.a=-1
C.a=1 D.a=2
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