4.1函数与方程课件 北师大必修1
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课件33张PPT。第四章 函数应用第四章 函数应用§1 函数与方程
1．1 利用函数性质判定方程解的存在
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学习目标
重点难点
重点：函数零点与方程根的关系及零点存在的判定．
难点：函数零点存在性的判定．
1．函数的零点
(1)函数y＝f(x)的__________与____________
_____________称为这个函数的零点．
(2)函数y＝f(x)的零点，就是方程__________的解．
图像横轴的交点的横坐标f(x)＝0想一想
1.函数y＝f(x)的零点是“f(x)＝0的点”吗？
提示：“零点”并不是“点”，而是一个“实数”，是f(x)图像与x轴交点的横坐标．
做一做
1.函数y＝x的零点是( )
A．(0,0) B．0 C．1 D．不存在
解析：选B.y＝x与x轴交于原点，y＝0，
∴x＝0.
2．函数f(x)＝x2－2x的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C.x2－2x＝0，∴x＝0，x＝2.
2．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是________的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号________，即______________，则(a，b)内，函数y＝f(x)至少_________零点，即相应的方程f(x)＝0在(a，b)内至少有一个实数解．
连续相反f(a)f(b)<0有一个想一想
2.若函数y＝f(x)在[a，b]上有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？
提示：不一定．如y＝x2在[－1,1]有零点0，但f(－1)·f(1)>0.
做一做
3.已知函数f(x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是( )
A．(3,4) B．(2,3)
C．(1,2) D．(0,1)
解析：选C.f(0)＝－1，f(1)＝－1，f(2)＝5，f(3)＝23，正零点在(1,2)上．
题型一 求函数的零点
下列函数是否存在零点？若存在，求出其零点；若不存在，说明理由．
(1)y＝ax＋2(a≠0)；
(2)y＝4x2＋4x＋1(x＞0)；
(3)y＝ln x－1.
故函数y＝4x2＋4x＋1(x＞0)不存在零点．
(3)函数y＝ln x－1 存在零点．
令lnx－1＝0?lnx＝1?x＝e.
即e是使ln x－1＝0成立的x值，
故x＝e是此函数的零点．
【名师点评】 判断函数的零点，即在定义域内是否有满足f(x0)＝0的x0值存在．要注意零点并不是点而是点的横坐标．
变式训练
1．判断下列函数是否存在零点，如果存在,请求出．
(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；
(2)f(x)＝1＋log3x；
(3)f(x)＝4x－16.
题型二 零点个数的判断
【答案】 C
【方法小结】 判断函数零点个数的方法主要有：
(1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断．
(2)用定理：零点存在性定理．
(3)利用图像的交点：有些题目可先画出某两个函数y＝f(x)，y＝g(x)的图像，其交点的横坐标是f(x)－g(x)的零点．
变式训练题型三 判断零点所在区间
本题满分5分)(2011·高考课标全国卷)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
【思路点拨】 根据零点所在区间的判定定理f(a)f(b)<0.
【解析】 y1＝ex为增函数，y2＝4x－3为增函数，∴f(x)＝y1＋y2＝ex＋4x－3为增函数,
名师微博
这是常用方法，一定要掌握噢！
【答案】 C 5分
【思维总结】 逐个计算区间端点的函数值的正与负，直到区间端点函数值异号，可判定在此区间内有零点．
变式训练
2．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0,若方程有两根,其中一根在区间(－1,0)内,另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．
解：由题意知，抛物线
f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1
与x轴的交点分别在区间
(－1,0)和(1,2)内,可以画出
示意图(如图所示)，观察图像可得
方法技巧
1．求函数的零点时，先考虑解方程f(x)＝0,方程f(x)＝0无实数根则函数无零点，方程f(x)＝0有实根则函数有零点．
2．判断函数f(x)是否在(x1，x2)上存在零点,除验算f(x1)·f(x2)<0是否成立外，还需考察函数在(x1，x2)上是否连续．若要判断根的个数，还需结合函数的单调性．
失误防范
当函数y＝f(x)的图像在闭区间[a，b]上不是连续曲线，或不满足f(a)·f(b)<0时，函数y＝f(x)在区间[a，b]内可能存在零点，也可能不存在零点．
例如：①二次函数f(x)＝x2－2x－3在区间[3,4]上有f(3)＝0，f(4)>0，所以有f(3)·f(4)＝
0，但3是函数f(x)的一个零点．
1．1 利用函数性质判定方程解的存在
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重点难点
重点：函数零点与方程根的关系及零点存在的判定．
难点：函数零点存在性的判定．
1．函数的零点
(1)函数y＝f(x)的__________与____________
_____________称为这个函数的零点．
(2)函数y＝f(x)的零点，就是方程__________的解．
图像横轴的交点的横坐标f(x)＝0想一想
1.函数y＝f(x)的零点是“f(x)＝0的点”吗？
提示：“零点”并不是“点”，而是一个“实数”，是f(x)图像与x轴交点的横坐标．
做一做
1.函数y＝x的零点是( )
A．(0,0) B．0 C．1 D．不存在
解析：选B.y＝x与x轴交于原点，y＝0，
∴x＝0.
2．函数f(x)＝x2－2x的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C.x2－2x＝0，∴x＝0，x＝2.
2．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是________的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号________，即______________，则(a，b)内，函数y＝f(x)至少_________零点，即相应的方程f(x)＝0在(a，b)内至少有一个实数解．
连续相反f(a)f(b)<0有一个想一想
2.若函数y＝f(x)在[a，b]上有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？
提示：不一定．如y＝x2在[－1,1]有零点0，但f(－1)·f(1)>0.
做一做
3.已知函数f(x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是( )
A．(3,4) B．(2,3)
C．(1,2) D．(0,1)
解析：选C.f(0)＝－1，f(1)＝－1，f(2)＝5，f(3)＝23，正零点在(1,2)上．
题型一 求函数的零点
下列函数是否存在零点？若存在，求出其零点；若不存在，说明理由．
(1)y＝ax＋2(a≠0)；
(2)y＝4x2＋4x＋1(x＞0)；
(3)y＝ln x－1.
故函数y＝4x2＋4x＋1(x＞0)不存在零点．
(3)函数y＝ln x－1 存在零点．
令lnx－1＝0?lnx＝1?x＝e.
即e是使ln x－1＝0成立的x值，
故x＝e是此函数的零点．
【名师点评】 判断函数的零点，即在定义域内是否有满足f(x0)＝0的x0值存在．要注意零点并不是点而是点的横坐标．
变式训练
1．判断下列函数是否存在零点，如果存在,请求出．
(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；
(2)f(x)＝1＋log3x；
(3)f(x)＝4x－16.
题型二 零点个数的判断
【答案】 C
【方法小结】 判断函数零点个数的方法主要有：
(1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断．
(2)用定理：零点存在性定理．
(3)利用图像的交点：有些题目可先画出某两个函数y＝f(x)，y＝g(x)的图像，其交点的横坐标是f(x)－g(x)的零点．
变式训练题型三 判断零点所在区间
本题满分5分)(2011·高考课标全国卷)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
【思路点拨】 根据零点所在区间的判定定理f(a)f(b)<0.
【解析】 y1＝ex为增函数，y2＝4x－3为增函数，∴f(x)＝y1＋y2＝ex＋4x－3为增函数,
名师微博
这是常用方法，一定要掌握噢！
【答案】 C 5分
【思维总结】 逐个计算区间端点的函数值的正与负，直到区间端点函数值异号，可判定在此区间内有零点．
变式训练
2．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0,若方程有两根,其中一根在区间(－1,0)内,另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．
解：由题意知，抛物线
f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1
与x轴的交点分别在区间
(－1,0)和(1,2)内,可以画出
示意图(如图所示)，观察图像可得
方法技巧
1．求函数的零点时，先考虑解方程f(x)＝0,方程f(x)＝0无实数根则函数无零点，方程f(x)＝0有实根则函数有零点．
2．判断函数f(x)是否在(x1，x2)上存在零点,除验算f(x1)·f(x2)<0是否成立外，还需考察函数在(x1，x2)上是否连续．若要判断根的个数，还需结合函数的单调性．
失误防范
当函数y＝f(x)的图像在闭区间[a，b]上不是连续曲线，或不满足f(a)·f(b)<0时，函数y＝f(x)在区间[a，b]内可能存在零点，也可能不存在零点．
例如：①二次函数f(x)＝x2－2x－3在区间[3,4]上有f(3)＝0，f(4)>0，所以有f(3)·f(4)＝
0，但3是函数f(x)的一个零点．