湖北省随州市曾都区四校联考2023届九年级下学期5月月考数学试卷(pdf版含答案)

2022-2023 学年度九年级五月考试试题
初中数学
考试时间：120分钟；分数:120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题 （每小题 3 分，共 30分）
1．下列实数中，比 2小的是（ ）
5 3
A． B．0 C． D．1
2 2
2．如图，小明在做英语作业时，无意中把直角三角板放在了英文本上，他
用量角器测量出 1 38 ，则 2的度数是（ ）
第 2 题图
第 3 题图
A．128 B．138 C．142 D．152
3．为了增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展疫情防控知识竞赛．来
自不同年级的 26 名参赛同学的得分情况如图所示，这些成绩的众数和中位
数分别是（ ）
A．98，98 B．98，97 C．96，98 D．96，96
4．如果一个几何体恰好可以无缝隙地以 3 个不同形状的“姿势”穿过如图所示
的“墙”上的 3 个空洞，则该几何体为（ ）
A． B． C． D
5．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道“牛马问题”：“今有二马、一
牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马
价各几何． ”其大意为：现有两匹马加一头牛价钱超过一万，超过的部分正
好是半匹马的价钱；一匹马加上二头牛的价钱则不到一万，不足部分正好是
半头牛的价钱，求一匹马、一头牛各多少钱？设一匹马价钱为 x 元，一头牛
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价钱为 y 元，则符合题意的方程组是（ ）
x x
2x+y 10000 2x y 10000 2 2
A． B．
y y10000 (x 2y) x 2y 10000
2 2
x x
2x y 10000 2x y 10000 2 2
C． D．
y yx 2y 10000 1000 (x 2y)
2 2
6．2023 年 2 月 15 日，春运落下帷幕，在人流不息的画卷里，“流动的中国”
活力无限，交通运输部相关负责人表示，2023 年春运全社会人员流动量约
47.33 亿人次，比 2022 年同期增长 50.5%，将数据 47.33 亿用科学记数法表
示为（ ）
A．4.733 10 B．0.4733 102 C．4.733 108 D．4.733 109
7．如图，衣架可以近似看成一个等腰三角形 ABC，其中 AB AC， BAC 126 ，
BC 44cm，则高 AD约为（ ）．（参考数据：sin 27 0.45，cos27 0.89，
tan 27 0.51）
第 8 题图
第 7 题图
A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm
8．A、B 两地相距 4000 米，甲货车从 A 地匀速开往 B 地，乙货车在甲货车
出发 10 分钟后，从 B 地沿同一公路出发匀速开往 A 地，到达 A 地后停止，
而甲继续开往 B 地，到达 B 地后才停止．两车之间的距离 y（米）与甲货车
出发的时间 x（分钟）之间的函数关系如图中的折线CD—DE—EF —FG所
示：①甲的速度为 100 米/分钟；②乙的速度为 140 米/分钟；③乙货车从 B
80 1000
地到 A 地用的时间为 分钟；④当乙到达 A 地时，甲离 B 地的距离为
3 3
米．上述说法正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④
9．在数学“综合与实践”活动课上，小红同学用正方形纸片制作成图 1 所示的
七巧板，并拼成图 2 的“奔跑者”形象．已知图 1 中正方形纸片的边长为 6，
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1
图 2 中 EM FM ，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即 AB，CD之间的距离是
2
（ ）
第 9 题图 第 10 题图
13 11 11
A．4 B． C． D．
2 2 3
2
10．如图，二次函数 y ax bx c a 0 的图象经过点 1,2 ，与 x 轴交点的横
坐标分别为x ，x ，其中-1 x1 0，1 x2 21 2 ．下列结论：①abc 0；②2a b 0；
③当 x m 1 m 2 时，am2 bm 2 c；④b 1．其中正确的个数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题 （每小题 3分，共 18 分）
0
11．计算： cos30 1 2 __________．
12．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD是⊙O 的直径，若 CAD 75 ，则 B
的度数是 ________．
第 12 题图 第 16 题图
13．已知关于 x 的一元二次方程 x2 mx 2m 1 0的两个实数根的平方和为 7，
那么 m 的值是___________
14．若 (2x y 3)2 x 2y 6 0，则 x y的值是_________．
15．例．求 1＋2＋22＋23＋…＋22008 的值．
解：可设 S＝1＋2＋22＋23＋…＋22008，则 2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22009
因此 2S﹣S＝22009﹣1，所以 1＋2＋22＋23＋…＋22008＝22009﹣1．
请仿照以上过程计算出：1＋3＋32＋33＋…＋32022＝_____．
16．如图，在正方形 ABCD中，点M 是 AB上一动点，点E是CM 的中点，AE
绕点 E顺时针旋转90 得到EF ，连接DE ，DF ．则 CDF ______，若正方形
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ABCD的边长为 2，则点M 在射线 AB上运动时，CF 的最小值是______．
三、解答题
3x x x
17．（6 分）已知：A ，先化简 A，再从 1 x 2中取一个
x 1 x 1 x
2
1
合适的值代入，求 A 的值．
2
18．（7 分）如图，一次函数 y kx b(k 0)与反比例函数 y 的图象相交于
x
点 A 2，1 、B n， 2 两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)连接OA、OB，求△AOB 的面积：
2
(3)当 kx b 时，直接写出 x 的取值范围．
x
19．（8 分）已知：如图△ABC 中， B 90 , AB 3, BC 4，点D是BC边上一
点．
(1)尺规作图：以 AC 为对角线作平行四边形CDAE（要求：保留作图痕迹，不
写作法）；
(2)填空：当 BD 时，平行四边形CDAE是菱形．
20．（10 分）随着移动互联网的迅猛发展，人们购物的支付方式更加多样、
便捷．某商场想了解顾客支付方式的选择情况，设计了一份问卷进行调查，
要求被调查者选择且只选择一种最喜欢的支付方式．现将调查结果绘制成如
图所示的两幅不完整的统计图．
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请结合图中所给出的信息，解答下列问题：
(1)扇形统计图中m ____________，“其他”支付方式所对应的圆心角为
______________度；
(2)补全条形统计图；
(3)若该商场一天内有 3000 次支付记录，请你估计选择现金支付的次数；
(4)甲乙两人到商场购物，如果四种支付方式选择的可能性一样，请用列表或
画树状图的方法，求出两人选择同一支付方式的概率．
21．（9 分）如图， AB为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点 P 是直径 AB上的一
点（不与A ， B 重合），过点 P 作 AB的垂线交BC的延长线于点Q．
(1)在线段 PQ 上取一点D，使 DQ=DC，连接DC ，求证：DC 是⊙O 的切线；
3
(2) cos B ，BP 6， AP 1，求 QC 的长．
5
22．（10 分）“美丽乡村”建设全面改善了农村环境面貌，吸引大量返乡人员
在家兴创业，某村结合本村优势成立了合作社，计划投资开展水产养殖和草
莓种植，根据市场调查与预测，水产养殖的利润 y1与投资量 x（ x 0）成正
比例关系，如图 2 所示；草莓种植的利润 y2 与投资量 x成二次函数关系，如
图 1 所示（注：利润与投资量的单位都是万元）．
(1)直 y y x．接．写．出．利润 1与 2 关于投资量 的函数关系式；
(2)如果该村合作社以 8 万元资金投入水产养殖和草莓种植，至少获得多少利
润？能获取的最大利润是多少？
(3)在（2）的基础上要保证获利不低于 22 万元，该村合作社至多应投资水产
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养殖多少万元？
23．（10 分）综合与探究
(1)如图 1，在正方形 ABCD中，点 E，F 分别在边BC，CD上，且 AE BF ，则
线段 AE与 BF 的之间的数量关系为______；
(2)【类比探究】如图 2，在矩形 ABCD中， AB 3， AD 5，点 E，F 分别在边
BC，CD上，且 AE BF ，请写出线段 AE与 BF 的数量关系，并证明你的结论．
(3)【拓展延伸】如图 3，在Rt△ABC 中， ABC 90 ， AB 4，BC 6，D 为
BC上一点，且 BD 2，连接 AD，过点 B 作BE AD于点 F，交 AC 于点 E，
求 BE 的长．
24．（12 分）如图，抛物线 y ax2 bx 2 2(a 0)与 y 轴相交于点 C，且经过
A(1,0)，B(4,0)两点，连接 AC ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 P 为抛物线在 x 轴下方图形上的一动点，是否存在点 P，使
1
PBO CAO ，若存在，求出点 P 坐标；若不存在，说明理由；
2
(3)若抛物线顶点为 M，对称轴与 x 轴的交点为 N，点 Q 为 x 轴上一动点，以
Q、M、N 为顶点的三角形与△AOC 相似．请直接写出点 Q 坐标．
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参考答案：
1．A 2．A 3．B 4．A 5．A
6．D 7．B 8．B 9．B 10．C
3 1
11． 或 3 12．15 /15 度 13． 1
2 2
32023 - 1
14．9 15．
2
16． 45度 2
【详解】解：如图 1 所示，延长 AE交DC 的延长线于点H ，
点 E是CM 的中点，
ME EC，
四边形 ABCD是正方形，
AB∥CD，
MAE H ， AME HCE，
△AME≌△HCE(AAS)，
AE EH ，
又 ADH 90 ，
DE AE EH，
AE 绕点 E顺时针旋转90 得到EF ，
AE EF ， AEF 90 ，
AE DE EF ，
DAE ADE， EDF EFD，
AEF DAE ADE EDF EFD 360 ，
2 ADE 2 EDF 270 ，
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ADF 135 ，
CDF ADF ADC 135 90 45 ；
如图 2 所示，连接 FC，过点C 作CF DF 于F ，
Q CDF 45 ，
点 F 在直线DF 上运动，
当CF ^ DF 时，CF 有最小值，最小值为CF 的长度，
CD 2， CDF 45 ，
2
CF 2 ，即CF 有最小值为 2 ，
2
故答案为： 45 ， 2 ．
17． 2x 4， A 8
3x x x
【详解】解： A
x 1 x 1 x
2 1
3x(x 1) x(x 1) (x 1)(x 1)

(x 1)(x 1) x
2x 4 -------4 分
1 x 2 ∵由题意得 x 1或 0 -----5 分
∴可取 x 2代入 2x 4，则 A 8．----6 分
18
2 2
【详解】（1）解：把 B n， 2 代入 y 得： 2 ，
x n
解得 n 1，
∴B 1， 2 ，
2k b 1
把 A 2，1 ，B 1， 2 分别代入 y kx b得 ，
k b 2
k 1
解得 ，
b 1
答案第 2 页，共 11 页
∴一次函数解析式为 y= x 1； -----3 分
（2）解：令 x 0，则 y 1，
∴直线 AB与 y 轴的交点C 0， 1 ，即OC 1，
1 1 3
∴ S△AOB OC xB xA 1 1 2 ； ----5 分
2 2 2
2
（3）解：由图象可知不等式 kx b 的解集为： x< 2或0 x 1． ---7 分
x
19
【详解】（1）解：以点A ，点C 为圆心，适当长为半径画弧交于两点，连接两点
交 AC 于点O，连接DO并延长，在延长线上截取OD OE，连接 AD， AE，CE，
如图所示，即为所求，
证明：由以点A ，点C 为圆心，适当长为半径，画弧交于两点，连接连点交 AC 于
点O，
可知，该直线为线段 AC 的垂直平分线，即：OC OA，
又∵OD OE，
∴四边形CDAE是平行四边形； -----4 分
（2）设 BD x，
∵BC 4，
答案第 3 页，共 11 页
∴CD 4 x，
∵平行四边形CDAE是菱形，
∴ AD CD 4 x，
∵ B 90 ， AB 3，
2
则由勾股定理可得：BD2 AB2 AD2，即： x2 32 4 x ，
7
解得： x ，
8
7
故答案为： ． -----8 分
8
20
60
【详解】（1） 200（人）
30%
50
m% 100% 25%
200
∴m 25，
30
“其他”支付方式所对应的圆心角为 360 54 ----2 分
200
故答案为： 25，54．
（2）补全条形统计图如图，
60 30% 200人，200 50 60 30 60人
补全条形统计图如图所示：
----4 分
（3）3000 30% 900，
答：估计选择现金支付的次数约为 900 次；----6 分
（4）解：画出树状图如图所示，
答案第 4 页，共 11 页
由树状图可知，共有 16 种结果，并且每一种结果出现的可能性相同，其中两人
恰好都选择同一支付方式的结果有 4 种，
所以两人恰好都选择微信支付的概率为1 ∕ 4。——（10 分）
21
【详解】（1）解：证明：连接OC ，如图，
QOC OB，
2 B，
DQ DC，
1 Q，
QP PB，
BPQ 90 ，
Q B 90 ，
1 2 90 ，
DCO 180 1 2 90 ，
OC CD，
而OC 为 O的半径，
CD为 O的切线； ----4 分
（2）连接 AC ，如图，
AB为 O的直径，
答案第 5 页，共 11 页
ACB 90 ，
BC BC 3
在Rt△ABC 中， cos B ，
AB AP PB 5
而BP 6， AP 1，
21
BC ，
5
PB 3
在Rt BPQ中， cos B ，
BQ 5
6
BQ 10
3 ，
5
21 29
QC BQ BC 10 ．----9 分
5 5
22． 【详解】（1）解：设 y kx，y ax21 2 ，
把P 1，2 代入 y1 kx中得： k 2； -----1 分
1
把Q 2，2 代入 y ax22 中得：2 4a，解得 a ； ----2 分
2
1
∴ y1 2x x 0 ，y2 x
2 x 0 ------3 分
2
（2）解：设投入水产养殖的资金为 m 万元，则投入草莓种植的资金为 8 m 万
元，总利润为 W万元，
1 2
由题意得，W 2m 8 m
2
1
m2 16m 64 2m
2
1
m2 12m 64
2
1 2
m 6 14，
2
1
∵ 0，0 m 8，
2
∴当m 6时，W最小，最小值为 14，
∴至少获得 14 万元的利润；
1 2 1 2
当m 0时，W 0 6 14 32，当m 8时，W 8 6 14 16，
2 2
∵32 16，
∴当m 0时，W最大，最大为 32，
答案第 6 页，共 11 页
∴能获取的最大利润是 32 万元； ---------7 分
1 2
（3）解：当W 22时，则 m 6 14 22，
2
解得m 2或m 10（舍去），
∴要保证获利不低于 22 万元，则m 2，
∴投入水产养殖的资金至多为 2 万元．----10 分
23
【详解】（1）解：设 AE与 BF 相交于点 P ，如图，
∵正方形 ABCD，
∴ ABC C 90 ， AB BC，
∵ AE BF ，
∴ APB BAP ABP 90 ，
∵ ABP CBF 90 ，
∴ BAP CBF ，
在 ABE和△BCF 中，
BAE CBF

AB CB ，

ABE BCF
∴△ABE≌△BCF ASA ，
∴ AE BF；
故答案为： AE BF；-------3 分
AE 3
（2）解： ．
BF 5
证明：∵ AE BF ，
∴ BAE ABF 90 ．
答案第 7 页，共 11 页
在矩形 ABCD 中， ABC 90 ，
∴ CBF ABF 90 ，
∴ BAE CBF，
∴Rt ABE∽Rt BCF ，
AB AE
∴ ，
BC BF
AE 3
∴ ．-----------6 分
BF 5
（3）解：如图，过点A 作 AB的垂线，过点C 作BC的垂线，两垂线交于点G ，延
长 BE 交CG 于点H ．
∴四边形 ABCG是矩形．
∵ AB CD 4， AG BC 6，
∴CD 6 BD 4．
∴ AD AB2 BD2 2 5．
AD AB 2
由（2）知 ，
BH BC 3
∴BH 3 5 ．
在Rt△BCH 中，CH BH 2 BC2 3，
∵ AB∥CH
∴ ABE∽ CHE，
AB BE
∴ ，
CH EH
4 BE
即 ，
3 3 5 BE
12 5
解得 BE ． --------10 分
7
24
答案第 8 页，共 11 页
0 a b 2 2
【详解】（1）解：将 A(1,0)，B(4,0)代入 y ax2 bx 2 2得， ，
0 16a 4b 2 2
2
a
2
解得 ，
5 2
b
2
2 2 5 2∴ y x x 2 2 ，
2 2
2
∴抛物线的解析式为 y x2
5 2
x 2 2 ； ------3 分
2 2
（2）解：如图 1，作 BE 交 y 轴于E，使 OBE 2 PBO CAO，延长BP交 y 轴
于 F ，过 F 作FG BE 于G ，
当 x 0， y 2 2 ，
∴C 0，2 2 ，OC 2 2
∵ COA EOB 90 ， CAO OBE，
∴△AOC∽△BOE，
OC AO 2 2 1
∴ ，即 ，
OE BO OE 4
解得OE 8 2 ，
在Rt BOE中，由勾股定理得BE OB2 OE2 12，
∵ OBE 2 PBO，
∴ BP为 OBE的平分线，
∴FG OF，
设FG OF x，
答案第 9 页，共 11 页
1 1 1
∴ S BOE S OBF S BEF ，即 OB OE OB OF BE FG ，
2 2 2
1 1 1
∴ 4 8 2 4 x 12 x，
2 2 2
解得 x 2 2，
∴F 0， 2 2 ，
0 4m n
设直线 BF 的解析式为 y mx n，将B，F 代入得 ，
2 2 n
2
m
解得 2 ，

n 2 2
2
∴直线 BF 的解析式为 y x 2 2 ，
2
2
y x 2 2
2
联立 ，
2 2 5 2y x x 2 2
2 2
x1 2 x2 4
解得 ， ，
y 2 y2 01
∴P 2， 2 ； ---------7 分
5
（3）解：由题意知，抛物线的对称轴为直线 x ，
2
5 9
当 x ， y 2 ，
2 8
5 9 5 9
∴M ， 2 ，N ，0 ，MN 2，
2 8 2 8
∵以 Q、M、N 为顶点的三角形与 AOC相似，且 AOC QNM 90 ，
∴分 AOC∽ QNM ， AOC∽ MNQ两种情况求解；
5
设Q c，0 ，则QN c ，
2
AO OC 1 2 2
①当 AOC∽ QNM 时， ，即 9 ，
QN MN QN 2
8
9
解得QN ，
16
5 9
∴ c ，
2 16
答案第 10 页，共 11 页
49 31
解得 c1 ， c2 ，
16 16
49 31
∴此时的Q点坐标为 ，0 或 ，0 ；
16 16
AO OC 1 2 2
②当 AOC∽ MNQ时， ，即 9 QN ， MN QN 2
8
9
解得QN ，
2
5 9
∴ c ，
2 2
解得 c3 7， c4 2，
∴此时的Q点坐标为 7，0 或 2，0 ；
49 31
综上所述，Q点坐标为 ，0 或 ，0 或 7，0 或 2，0 ．--------12 分
16 16
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