小结与思考 8.A 9.B 10.B 11.(1)6 12 (2)45 45
(3)90 90 12.28 13.4∶3∶2∶1 14.6
题组训练
15.45° 16.2019 17.240 18.120
(一)分式有意义、无意义和值为0的条件
19.解:设∠B =x°,则∠C =5x°,∵∠A+
1.C 2.B
∠B+∠C =180°,∴60°+x°+5x°=180°,∴6x°
(二)分式的运算
=120°,∴x=20,即∠B=20°.
x-2 -(x-2)(x+2)
1.解:原式=2(x-3)÷ x-3 20.解:设正多边形的边数为n,得180(n-2)
x-2 x-3 =360×3,解得n=8.答:这个正多边形是八边形.
=2(x-3)×-(x-2)(x+2) 21.能,腰长为12cm,底边长为6cm.
1
=- , 22.解:应建在AC,BD 连线的交点P 处.2(x+2)
1 2
当x= 2-2时,原式=- =-4.22
3 3
2.原式= ,当a+3 a=-1
时,原式=2.
理由:若不建在P 处,建在P1 处,由三角形两
3.原式=x-2,取x=10代入,则原式=8.
边之和大于第三边,可知
(注:x 不能取1和2,此题答案不唯一.)
{P1A+P( ) 、 1C>AC三 负整数指数幂 零次幂的应用 ,P1B+P1D>BD
1.B 2.A
即
( ) P1A+P1C+P1B+P1D>AC+BD.四 解分式方程
故应建在P 处.
1.x=2
23.解:∵BD∥AE,
2.解:
66 60
x+3-x=0 ∴∠DBA=∠BAE=57°.
66x-60(x+3)=0
66x-60x-180=0
6x=180
x=30 ∴ ∠ABC = ∠DBC - ∠DBA =82°-57°
检验:把x=30代入x(x+3)=990≠0,
=25°.
∴原方程的解为x=30.
在△ABC 中,∠BAC=∠BAE+∠CAE=57°
3.(1)x=3 (2)x=-3
+15°=72°,
(五)列分式方程解决实际问题
∴∠C=180°-∠ABC-∠BAC=180°-25°
1.D 2.(1)180千米/时 (2)能
-72°=83°.
拓展训练 24.解:(1)∵∠A=60°,BD 是AC 边上的高,
1.(1)
50
100米 (2)20% 2. ∴∠ABD=90°-∠A=90°-60°=30°.47
∵CE 是AB 边上的高,∴∠BEO=90°,
第十一章测试卷 ∴ ∠BOC = ∠ABD + ∠BEO =30°+90°
1.C 2.B 3.B 4.B 5.C 6.C 7.C =120°.
— 23 —
(2)180° ∵AD =BE,CE =DE,∴ Rt△ADE ≌
证明:如图所示. Rt△BEC(HL).
(2)证明:∵Rt△ADE≌ Rt△BEC,∴∠AED
=∠BCE,
∵ ∠BCE + ∠BEC =90°, ∴ ∠AED +
∠BEC=90°
四边 形 ADOE 的 内 角 和 为(4-2)×180° ∴∠CED=180°-90°=90°,∴△CED 是直角
=360°. 三角形.
又∵BD,CE 为△ABC 的高, 21.解:(1)①正确作出角平分线CD;②正确
∴∠ODC=∠OEB=90°. 作出DE.
(2)BDE CDE
∴∠DOE+∠DAE=180°.
证 明:∵CD 平 分 ∠ACB,∴ ∠DCE =
∵∠BAC=∠DAE, 1
2∠ACB.∴∠BAC+∠BOC=180°.
第十二章测试卷 1又∵∠ACB=2∠B,∴∠B=2∠ACB,
1.D 2.C 3.D 4.C 5.C 6.B 7.C ∴∠DCE=∠B,∵DE⊥BC,∴∠DEC=
8.B 9.答案不唯一,如AB=CD 10.5cm 35° ∠DEB=90°.
, ( )
11.18° BC' 又 12.70° 10 13.3 14.100° ∵DE=DE ∴ △BDE≌△CDE AAS .
22.解:(1)有3对,分别是△AOC≌△BOD,
15.3 16.2
△AOE≌△BOE,△ABC≌△BAD.
17.证明:∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ECD. (2)OE⊥AB.
AB=CE, 证明:在△ABC 和△BAD 中,
在△ABC 和△CED 中,{∠BAC=∠ECD, {AC=BD
,
AC=CD, ∠BAC=∠ABD,
∴△ABC≌△CED(SAS),∴∠B=∠E. AB=BA,
18.证明:∵BF=CE,∴BF+FC=CE+FC, ∴△ABC≌△BAD(SAS).
∴BC=EF. ∴∠CBA=∠DAB.∴OA=OB.
∵AB⊥BE,DE⊥BE,∴∠B=∠E=90°. ∵E 是AB 的中点,∴OE⊥AB.
又∵AB=DE, 23.(1)证明:∵BD⊥直线m,CE⊥直线m.
∴△ABC≌△DEF. ∴∠BDA=∠CEA=90°.
19.解:(1)证明:∵BF=EC,∴BF+FC=EC ∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°.
+CF,即BC=EF. ∵∠BAD+∠ABD=90°,∴∠CAE=∠ABD.
又∵AB=DE,AC=DF,∴△ABC≌△DEF. 又∵AB=AC,∴△ADB≌△CEA.
(2)AB∥DE,AC∥DF. ∴AE=BD,AD=CE,∴DE=AE+AD=
理由:∵△ABC≌△DEF, BD+CE.
∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE, (2)解:成立,理由如下:∵∠BDA =∠BAC=
∴AB∥DE,AC∥DF. α,∴ ∠DBA + ∠BAD = ∠BAD + ∠CAE =
20.(1)不全等.添加EF⊥CD(此处不唯一), 180°—α,∴∠DBA=∠CAE,
则Rt△ADE 与Rt△BEC 全等. ∵∠BDA=∠AEC=α,AB=AC,
证明:∵F 是 CD 中 点 且 EF⊥CD,∴CE ∴△ADB≌△CEA,∴AE=BD,AD=CE,
=DE. ∴DE=AE+AD=BD+CE.
∵AD∥BC,∠A=90°,∴∠B=∠A=90°. (3)由(2)知,△ADB≌ △CEA,BD =AE,
— 24 —
∠DBA=∠CAE. 即∠BAD=∠CAE.
∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形, ì AB=AC
,
∴∠ABF=∠CAF=60°,∴∠DBA+∠ABF 在△BAD 和△CAE 中,í∠BAD=∠CAE,
=∠CAE+∠CAF, AD=AE,
∴∠DBF=∠FAE, ∴△BAD≌△CAE,∴BD=CE.
∵BF=AF,∴△DBF≌△EAF, ∵AC=BC,∴BD=BC+CD=AC+CD,
∴DF=EF,∠BFD=∠AFE, ∴CE=AC+CD.
∴∠DFE = ∠DFA + ∠AFE = ∠DFA + 24.证明:过D 作DG∥AC 交BC 于G.
∠BFD=60°,∴△DEF 为等边三角形.
第十三章测试卷
1.D 2.C 3.B 4.D 5.D 6.B 7.C
8.D 9.B 10.C 11.2 12.7 13.60°或120°
14.6cm2 15.95 16.60 17.4cm 18.(0,0)
19.如图,点P 即为所求. ∴∠DGF= ∠FCE,∠GDF= ∠E,∠BGD
=∠BCA.
又∵DF=EF,∴△DGF≌△ECF(AAS),
∴CE=DG,又∵BD=CE,∴DG=BD,∴∠B=
∠BGD,∴∠B=∠BCA,∴AB=AC,∴△ABC
是等腰三角形.
20.略 25.解:(1)∵AP=AQ,∴∠APQ=∠AQP.
21.(1)证明:∵AB 的垂直平分线MN 交AC ∵△ABC 是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,
于点D, ∴∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=80°.
∴DB=DA,∴△ABD 是等腰三角形. (2)①如图所示.
(2)30° (3)32 ②证明:如图,
22.法一:解:需添加条件是BE=CF. ∵AP=AQ,
理由是:∵在△ABC 中,AB=AC,∴∠B= ∴∠APQ=∠AQP,
∠C,又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠DFC ∴∠APB=∠AQC.
=90°, ∵△ABC 是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,
∵BE =CF,∴ △BED ≌ △CFD (ASA), ∴∠BAP=∠CAQ.
∴DE=DF. ∵点Q 关于直线AC 的对称点为M,
法二:解:需添加条件是BD=DC. ∴AQ =AM,∠QAC= ∠MAC,∴ ∠MAC
理由 是:连 接 AD,∵AB=AC,BD=CD, =∠BAP,
∴AD是∠BAC 的角平分线,又∵DE⊥AB,DF⊥ ∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠PAC=60°,
AC,∴DE=DF. ∴∠PAM=60°.
23.解:CE=AC+CD. ∵AP=AQ,∴AP=AM,∴△APM 是等边
探求过程: 三角形,∴PA=PM.
∵△ABC 为等边三角形, 第十四章测试卷
∴AB=AC=BC,∠BAC=60°. 1.B 2.A 3.D 4.C 5.A 6.D 7.C
又∵△ADE 为等边三角形. 8.C 9.B 10.C 11.A 12.B 13.答案不唯一
∴AD=AE,∠DAE=60°, 如:a8÷a2=a6或a4a2=a6等 14.5 6 15.-18
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
— 25 —
16.2(a-1)2 17.答案不唯一,如4x 或-4x (3) [(原 式 = x+1)(x-1) 15 ·
1 x-1
-x-1]
18.-3 19.
(1)-2x3-3x2 (2)x+2y 1-x x2-16· 1-x
(x-4)(x+4)
2= ·
1 (x-4) x-1 (x-4)
2= x-1
20.解:原式=4x-1,当 x= 时,原 式10 = 1-x x+4 2+4
(x-4)2=-
,当x=2时,原式x-4 =-2-4=3.3
-5. ( ) x+1+x
(x+1) (x-1)2
4 原 式 = × =
21.本题答案不唯一,如2a2+3ab+b2-(a2 (x+1)(x-1) x+1
+ab)=a2+2ab+b2=(a+b)2. (x+1)
2 (x-1)2
( )( )× =x-1,当x=2时,原
22.解:x2+ 2-6x+10 +35=x2-6x+9 x+1 x-1 x+1y y
式
+ 2+10 +25+1=(x-3)2+(+5)2+1, =2-1=1.y y y
∵( )2 ,( )2 , ( )2 ( 21.
(1)解:方程的两边同乘(x+1)( ),得x-3 ≥0 y+5 ≥0 ∴ x-3 +
x-1
y
2
+5)2
(
+1>0,即多项式x2+ x x+1
)+1=x -1,解得x=-2.
y2-6x+10y+35的
检验:把x=-2代入(值总是正数. x+1
)(x-1)=3≠0.
∴原方程的解为:23.△ABC 是等边三角形. x=-2.
: 2 2 2 ( ) , 2 (2)解:方程两边都乘( )( ),得理由 ∵a +2b +c -2ba+c =0 ∴a + x+2 x-2
,解得 ,
b2-2ab+b2+c2-2bc=0,∴(a-b)2+(b-c)2= x+2=4 x=2
0,∴a-b=0,b-c=0,则a=b,b=c,
经检验 不是分式方程的解,原分式方程
∴a=b=c, x=2
无解
∴△ABC 是等边三角形. .
2
24.解:(1)a2 2 3
()解:去分母得:( ) ,
-b a -b3 a4-b4 (2)an 3 x x-1 -4=x -1
n 去括号得:-b x
2-x-4=x2-1,
解得:x=-3,
(3)29-28+27-…+23
1
-22+2= [3× 2- 经检验x=-3是分式方程的解.
(-1)][29+28×(-1)+27×(-1)2+…+23× (4)解:方程两边都乘(x+3)(x-3),得
(-1)6+22×(-1)7+2×(-1)8+(-1)9]+1= 3+x(x+3)=x2-9
1 3+x2+3x=x2-9[
3 2
10-(-1)10]+1=342.
解得x=-4
25.(1)a2-b2 (2)a-b a+b (a+b)(a 检验:把x=-4代入(x+3)(x-3)≠0,
-b) (3)a2-b2=(a+b)(a-b) ∴x=-4是原分式方程的解.
(4)①n2+2n+1-m2 ②999991 22.(1)300米/分 (2)600米
第十五章测试卷 23.解:(1)设第一次购进了x 台电风扇,则第
1.B 2.A 3.D 4.B 5.D 6.C 7.C 二次购进了(x-10)台电风扇,
8.A 9.A 10.C 11.=-3 12.x≠±1 150x由题意得 =150+30,x-10
5
13.a-2 14.(x+1)(x-1) 15.7 16.6 解得x=60,
17.5 18.1 经检验,x=60是原分式方 程 的 解,且 符 合
1 题意,
19.(1)1 (2)-2 则x-10=60-10=50.
20.解:(1)原式=1+2x-4+x2-2x+1=x2 答:第一次购进了60台电风扇,第二次购进了
-2,当x= 3时,原式=3-2=1. 50台电风扇.
1 2 (2)第一次获利:(250-150)×60=6000(元);(2)原式= ,当a-1 a= 2+1
时,原式=2. 第二次获利:(250-150-30)×50=3500(元).
— 26 —
总共获利6000+3500=9500(元). ∴ ∠AOB = ∠AOE,同 理 求 出 ∠COD
答:商场共获利9500元. =∠COE,
期中测试卷 1∴∠AOC=∠AOE+∠COE= 2 ×180°=
1.A 2.C 3.D 4.B 5.D 6.C 7.A
90°,∴OA⊥OC;
8.D 9.C 10.B 11.3(3)∵Rt△ABO≌Rt△AEO,∴AB=AE,同
14.17 15.15 16.4 17.460° 18.5 19.15
理可得CD=CE,
20.13
∵AC=AE+CE,∴AB+CD=AC.
21.22.5°
27.解:(1): 如图1
,作CM⊥ 轴于 M,则CM
22.解 过P 作PE⊥OB 于E,因为∠AOP= y
,
∠BOP=15°,PD⊥OA,所以PD=PE, =4
,
因为PC∥OA,所以∠BCP=∠BOA=30°,在 ∵∠ABC=∠AOB=90° ∴∠CBM+∠ABO
=90°,1 1 ∠ABO+∠OAB=90°
,
Rt△PCE 中,PE= PC,所以2 PE=2×4=2
, ∴∠CBM=∠BAO,
因为PE=PD,所以PD=2. 在△BCM 和△ABO 中,
23.证明:(1)∵∠BAC=∠DAE, ì∠BMC=∠AOB=90°
,
∵∠ABC=90°,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE í∠CBM=∠BAO,
-∠DAC,即∠BAD=∠CAE. BC=AB,
ìAB=AC
, ∴△BCM≌△ABO(AAS),
在△ABD 和△ACE 中,í∠BAD=∠CAE, ∴OB=CM=4,∴B(0,-4).
AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)∵△ABD≌△ACE,∴∠BDA=∠AEC.
∵AD=AE,∴∠ADC=∠AEC,∴∠BDA
=∠ADC.
24.(1)略 (2)B'(-3,-1) C'(-2,1) 图1 图2
25.证明:∵EF⊥AC,∴∠F+∠C=90°. (2)如图2,作CM⊥x 轴于M,交AB 的延长
∵∠ABC=90°,∴∠A+∠C=90°,∴∠A 线于N,则∠AMC=∠AMN=90°,
=∠F. ∵点C 的纵坐标为3,∴CM=3.
在△ABC 和△FBD 中, ∵AD 平 分 ∠CAB,∴ ∠CAM = ∠NAM,
ì∠A=∠F
, ∴在△CAM 和 △NAM 中,∠AMC= ∠AMN,
í∠ABC=∠FBD=90°, AM=AM,∠CAM=∠NAM,
BC=BD, ∴△AMC≌△AMN(ASA),∴CM=MN=
∴△ABC≌△FBD(AAS),∴AB=BE. 3,∴CN=6.
26.证明:(1)过点O 作OE⊥AC 于E, ∵CM ⊥AD,∠CBA =90°,∴ ∠CBN =
∵ ∠ABD =90°,OA 平 分 ∠BAC,∴OB ∠CMD=∠ABD=90°.
=OE, ∵ ∠CDM = ∠BDA,∠CMD + ∠CDM +
∵点O 为BD 的中点,∴OB=OD,∴OE= ∠NCB=180°,∠BDA+∠BAD+∠DBA=180°,
OD,∴OC 平分∠ACD; ∴∠NCB=∠BAD.
(2)在 Rt△ABO 和 Rt△AEO 中,AO=AO, ì ∠NCB=∠DAB
,
OE=OB, 在△CBN 和△ABD 中,íCB=AB,
∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL), ∠CBN=∠ABD,
— 27 —
∴△CBN≌△ABD(ASA), 在△ADE 与△FCE 中,∠ADC=∠ECF,DE
∴AD=CN=6,∵A(5,0),∴D(-1,0). =EC,∠AED=∠CEF,
期末测试卷 ∴ △ADE≌△FCE(ASA),∴ FC=AD(全
)
1.C 2.B 3.D 4.C 5.B 6.D 7.B 等三角形的性质 .
() , ,
8.A 9.B 10.C 11.B 12.A 13.a(x-3y)2 2 ∵ △ADE≌△FCE ∴ AE=EF AD=
14.37° 15.CD=BE 或∠A=∠BCE ( ) 16.-5 CF 全等三角形的对应边相等 .
,
17.3 18.6 19.①②③④ 20.2 又BE⊥AE ∴ BE 是线段AF 的垂直平分
21.(1)-x2 ,y-1.5xy+1
线 ∴AB=BF=BC+CF.
( ( ), (2)x2-4 2+12 -9 ∵AD=CF 已证 ∴AB=BC+AD 等量代y y
22.解:a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)=a2+ 换).
4ab-(a2-4b2)=4ab+4b2. 1 125.解:(1)m2+m+4=(m+ )22 -4+4=
∵a2+2ab+b2=0,∴a+b=0,
1 15 15
∴原式=4b(a+b)=0. (m+ )2+ ≥ ,2 4 4
23.解:如图所示: 15
∴m2+m+4的最小值是4.
(2)原式=-(x2-2x)+4=-(x-1)2+1+
4=-(x-1)2+5≤5,
2 的最大值是
点F 就是所求作的点. ∴4-x +2x 5.
24.证明:(1)∵ AD∥BC(
千米/时
已知),∴ ∠ADC 26.4
=∠ECF(两直线平行,内错角相等),
∵E 是CD 的中点(已知),∴ DE=EC(中点
的定义).
— 28 —
课时培优作业 八年级数学上册(人民教育教材适用)
第十一章测试卷
(满分:100分 时间:90分钟)
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题(30分)
1.如图所示是小强用三根火柴组成的图形,其中符合三角形概念的是 ( )
A B C D
2.下列每组数分别表示三根木棒的长,将它们首尾连接后,能摆成三角形的一组是
( )
A.1,2,1 B.1,2,2 C.1,2,3 D.1,2,4
3.等腰三角形的一边长等于4,一边长等于9,则它的周长是 ( )
A.17 B.22 C.17或22 D.13
1 1
4.如果△ABC 的三个角满足∠A= ∠B= ∠C,那么这个三角形是 (2 3
)
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
5.下列说法错误的是 ( )
A.锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点
B.钝角三角形有两条高线在三角形外部
C.直角三角形只有一条高线
D.任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线
6.下列图形具有稳定性的是 ( )
① ② ③ ④
A.①② B.②③④
C.②④ D.①②③④
7.一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°,这个多边形的边数是 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
8.如图,在△ABC 中,D,E 分别为BC 上两点,且BD=DE=EC,则图中面积相等的
三角形有 对. ( )
— 1 —
A.4 B.5 C.6 D.7
9.下列命题正确的是 ( )
A.三角形的角平分线、中线、高均在三角形内部
B.三角形中至少有一个内角不小于60°
C.直角三角形仅有一条高
D.直角三角形斜边上的高等于斜边的一半
10.如图,点A,B,C,D,E,F 是平面上的6个点,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+
∠F 的度数是 ( )
A.180° B.360° C.540° D.720°
二、填空题(24分)
11.如图,在△ABC 中,AF 是中线,AE 是角平分线,AD 是高,∠BAC=90°,FC=6,
则根据图形填空:
(1)BF= ,BC= ;
(2)∠BAE= °,∠CAE= °;
(3)∠ADB= °,∠ADC= °.
12.如图,飞机要从A 地飞往B 地,因受大风影响,偏离航线(AB)18°(即∠A=18°),飞到了
C 地.已知∠ABC=10°,现在飞机要达到B 地需以 度角飞行(即∠BCD 的度数).
13.四边形ABCD 的外角之比为1∶2∶3∶4,那么∠A∶∠B∶∠C∶∠D= .
14.若n 边形的每一个外角都等于60°,则n= .
15.如图,点D,B,C 在同一直线上,∠A=60°,∠C=50°,∠D=25°,则∠1= .
— 2 —
16.如果从一个多边形的一个顶点出发,分别连接这个顶点与其余各顶点,可将这个多
边形分割成2017个三角形,那么此多边形的边数为 .
17.如图,四边形ABCD 中,若去掉一个60°的角得到一个五边形,则∠1+∠2= 度.
18.如图,小亮从A 点出发,沿直线前进10米后向左转30°,再沿直线前进10米,又向
左转30°,……照这样走下去,他第一次回到出发地A 点时,一共走了 米.
三、解答题(46分)
19.(6分)如图,△ABC 中,∠A =60°,∠B∶∠C =1∶5.求∠B 的度数.
20.(
1
6分)一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的 ,这个正多边形是几边形 3
21.(8分)现有一根长为30cm的细铁丝,用这根铁丝能围成一个有一边长为6cm的
等腰三角形吗 若能,求出其腰长和底边长;若不能,请说明理由.(细铁丝要刚好用完)
— 3 —
22.(8分)西部大开发极大地加快了西部地区的经济发展,某处有4口油井如图所示,
现在要建一个维修站P,试问P 建在何处才能使它到4口油井的距离之和PA+PB+PC
+PD 最小,并说明理由.
23.(8分)如图,经测量,B 处在A 处的南偏西57°的方向,C 处在A 处的南偏东15°方
向,C 处在B 处的北偏东82°方向,求∠C 的度数.
24.(10分)(1)如图①,AB,AC 边上的高CE,BD 交于点O.若∠A=60°,则∠BOC=
;
(2)如图②,若∠A 为钝角,请你画出AB,AC 边上的高CE,BD,CE,BD 所在直线交
于点O,则∠BAC+∠BOC= ,用你已学过的数学知识加以证明.
① ②
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