江油市名校2022-2023学年高二下学期6月月考（期末）
数学试题参考答案（理科）
1. A 2. B 3. B 4.C 5. D 6. D 7. D 8. A 9. A 10.C 11. B 12. D
13.6 14．252种 15．—120 . 16.（﹣∞，3]
17.【详解】（1）由已知可得：和是的两个根，
由的极大值在处取得，故
解得：
（2）由（2）知，的极小值为：
结合的单调性可作其草图，如下所示
函数有三个零点等价于与有三个交点，所以.
18．【详解】（1）在随机抽取的100位老年人中，年龄在且未使用过打车软件的人数为，
所以随机抽取的这1位老年人的年龄在且未使用过打车软件的概率．
（2）由题可知，X的所有可能取值为0，1，2，
且， ， ．
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
故X的数学期望．
（3）在随机抽取的100位老年人中，使用过打车软件的共有（人），
所以估计该公司至少应准备张代金券．
19．【详解】（1）取AB的中点为K，连接MK，NK，
由三棱柱得：四边形为平行四边形，
因为M是中点，则，又平面，平面，
故平面，同理得平面，
又NK∩MK＝K，平面MKN，平面MKN，
故平面平面，平面MKN，故平面；
（2）因为侧面为正方形，故，而平面，
平面平面，又平面平面，
故CB⊥平面，平面，所以CB⊥AB，
又，所以NK⊥AB，
因为AB⊥MN，已证NK⊥AB，又NK∩MN＝N，平面MNK，平面MNK，
故AB⊥平面MNK，平面MNK，故AB⊥MK，
又，所以，所以BC，BA，两两垂直．
故可建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，
则，故，，，
设平面BNM的法向量为，则，从而，取z＝1，则，
设直线AB与平面BNM所成的角为θ，则
20.【详解】（1）因为底面，平面，所以．
因为，，所以．
所以，所以．
又因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．
又平面EAC， 所以平面平面PBC．
（2）解：
以点C为原点，CB，CA，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．
设点E的坐标为，因为，所以，
即，，，所以．
所以，．
设平面ACE的一个法向量为，则．
所以，取，则，．
所以平面ACE的一个法向量为．
又因为平面PAC，所以平面PAC的一个法向量为．
设平面PAC与平面ACE的夹角为，
则．
所以，平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为．
21．【详解】（1）函数的定义域为．，
当时，，而，所以，
当时，，而，所以．
所以当时，，即．综上，在上单调递增．
（2）即， 设，
当时，结合（1）知，在上是增函数，则，
所以当时，不等式显然成立．
当时，， 令，则，
当时，，，所以，
所以为增函数，．
当时，，从而有，此时不等式恒成立．
当时，令，即，
由前面分析知，函数在上是增函数，
且，．
故存在唯一的，使得．
当时，，为减函数且．
所以与恒成立矛盾．综上所述，的取值范围为．
22．【详解】（1）当时，曲线的参数方程为（t为参数），
因为，且，
所以曲线的直角坐标方程为.
（2）当时，曲线的参数方程为（t为参数），
因为，，
所以曲线的直角坐标方程为，
由题意易知在直线，且直线的斜率为，倾斜角为，
故设直线l的参数方程为（为参数），
将直线l的参数方程代入，得，易得，
设点A，B，M对应的参数分别为，，，则由韦达定理得，
又线段AB的中点为M，所以，所以.
23.【详解】（1）当时，.
当时，，解得：；
当时，，无解；
当时，，解得：；
综上所述：的解集为或.
（2）（当且仅当时取等号），，解得：或， 的取值范围为.江油市名校2022-2023学年高二下学期6月月考（期末）
数学试题（理科）
一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数满足，其中为的共轭复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．给出如下四个命题：
①若“或”为假命题，则均为假命题；
②命题“若且，则”的否命题为“若且，则”；
③若是实数，则“”是“”的必要不充分条件；
④命题“若则”的逆否命题为真命题.
其中正确命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，是直线，是平面，若，，则“，”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
6．已知命题，；命题，.若为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（ ）
A．90 B．10 C．10 D．90
9．某校有演讲社团 篮球社团 乒乓球社团 羽毛球社团 独唱社团共五个社团，甲 乙 丙 丁 戊五名同学分别从五个社团中选择一个报名，记事件A为“五名同学所选项目各不相同”，事件为“只有甲同学选篮球”，则（ ）
A． B． C． D．
10.如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，是棱的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．设函数，若是的极大值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知不等式对任意实数x恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．某班有45名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，则理论上在85分到90分的人数约是________．（按四舍五入法保留整数）
附：，，．
14.．2023年成都大运会需招募志愿者，现从川大的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙2人不能负责语言服务工作，则不同的选法共有_______种．
15.展开式中，的系数为__________.
16．已知函数f（x）＝+ax﹣3（a∈R），若对于任意的x1，x2∈[1，+∞）且x1＜x2，都有成立，则a的取值范围是 ___________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17．已知三次函数的极大值是20，其导函数的图象经过点，.如图所示.
(1)求a，b，c的值并指出的单调区间；
(2)若函数有三个零点，求m的取值范围.
18.．《中华人民共和国老年人权益保障法》规定，老年人的年龄起点标准是60周岁．为解决老年人打车难问题，许多公司均推出老年人一键叫车服务．某公司为调查老年人对打车软件的使用情况，在某地区随机抽取了100位老年人，调查结果整理如下：
年龄/岁 80岁以上
使用过打车软件人数 41 20 11 5 1
未使用过打车软件人数 1 3 9 6 3
(1)从该地区的老年人中随机抽取1位，试估计该老年人的年龄在且未使用过打车软件的概率；
(2)从参与调查的年龄在且使用过打车软件的老年人中，随机抽取2人进一步了解情况，用X表示这2人中年龄在的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；
(3)为鼓励老年人使用打车软件，该公司拟对使用打车软件的老年人赠送1张10元的代金券，若该地区有5000位老年人，用样本估计总体，试估计该公司至少应准备多少张代金券．
19．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，AB＝BC＝2，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)若AB⊥MN，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
20．如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点E在棱PB上．
(1)证明：平面平面PBC；
(2)当时，求二面角的余弦值．
21．已知函数，．
(1)研究函数在区间上的单调性；
(2)若对于，恒有，求的取值范围．
选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.
如果多做，则按所做的第一题记分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），直线l的方程为.
(1)当时，求曲线的直角坐标方程；
(2)当时，已知点，直线l与曲线交于A，B两点，线段AB的中点为M，求的长.
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求a的取值范围.
